|
Navoiy mamleketlik kanshilik instituti
Nukus filiali
Pan: Joqari matematika
Tema: Matricalar rangi. Matricalarning amaliy masalalarga tadbiqi.
O'zbetinshe jumis:
1-a.TJ_kurs studenti
Orinladi: _____________________________Qadirbergenov.Z
Qabul qildi: ______________________________ Ibraimov.I
Nukus-2021
Joba :
1. Matritsa reńi.
2. Matritsa reńi haqqındaǵı tiykarǵı teorema
Bizge (1)
tartibli matrisa berilgan bo’lsin. Bu matrisaning ustunlaridan tuzilgan vektorlar sistemasini tuzamiz:
(2)
Tariyp 1.
Matrisaning reńi dep, onıń ústinlerinen dúzilgen vektorlar sistemasınıń reńine aytıladı, yaǵnıy. Tabiykim matrisani reńi tariyp boyınsha esaplaw talay quramalı másele esaplanadı.
Tuwrı tórtmuyushli matrisa onıń qatar hám ústinlerinning kesilisken jayında turıwshı elementlerden tártipli () determinant ajıratıp alamız. Ónim bo'dgan determinantga matrisaning tártipli minori dep ataladı.
Bizni matrisaning minorlari ishinde noldan ayrıqsha eń joqarı tártipli minorlari qızıqtiradi. Daslep tómendegi zárúrli lemmalarni keltiremiz:
Lemma
2. Eger matrisaning barlıq tártipli minorlari nolǵa teń bolsa, barlıq tártipli () minorlari da nolǵa teń boladı.
Tastıyıq. Bizge tártipli minorlar berilgen bolsın. Ol halda Laplas penenteoremasiga tiykarınan, bul minor hámme tártipli minorlarning algebraik jıyındısınan ibarat boladı jáne bular nolǵa teńliginen minorning nolǵa teńligi kelip shıǵadı.
Lemma
3. Eger matrisaning tártipli noldan ayrıqsha bolsa, ol halda sol minorda esaplanǵan ústinlerden dúzilgen vektorlar sisteması sızıqlı erkli boladı.
Tastıyıq. Terissidan shama menen oylaymız, yaǵnıy eger bul vektorlar sisteması sızıqlı baylanısqan bolsa, ol halda minorning ústinleri sol minorning basqa ústinleriniń sızıqlı kombinasiyasidan ibarat boladı hám sonday eken determinantning ózgesheligine tiykarınan minor nolǵa teń boladı. Bul boljawımız bolsa lemma shártiga zid bolıp tabıladı.
Endi matrisaning reńin minorlar yordaida esaplawdı beretuǵın tiykarǵı teoremani keltiremiz:
Teorema 4.
Matrisaning reńi, onıń noldan ayrıqsha eń kata minorlarining rejimine teń bolıp tabıladı.
Tastıyıq. Shama menen oylayıq, matrisaning reńi ga teń bolıp, onıń birinshi ta ústinleri sızıqlı erkli bolsın. Sol ústinlerdiń elementlerinde bas penenminorni tuzib jáne onı óz ishine alıwshı qálegen tártipli minorni qaraymız. Sonı aytymizki lemmaga tiykarınan hám eger tártipli minor ámeldegi bolsa teorema bulmandı ózinde tastıyıq boladı. Shama menen oylayıq tártipli minor
ko’rinishda bo’lsin.
Bu minorni oxirgi ustun bo’yicha yoyib chiqamiz:
bu yerda
dan iboratdir. Hosil bo’lgan tenglikda bo’lganligi uchun
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik barcha uchun to’g’ri bo’lib, uning koeffisiyentlari ga bog’liq bo’lganligi tufayli matrisaning ustuni aynan mos holda koeffisiyentlari bilan olingan birinchi ta ustunining yig’indisidan iborat bo’ladi.
Bul teoremaning tastıyıqlaw dawamında biz zárúrli juwmaqqa keldik, yaǵnıy eger determinant nolǵa teń bolsa, onıń bir usutuni qalǵan ústinleriniń sızıqlı kombinasiyalaridan ibarat boladı, yaǵnıy biz determinantning ózgesheligine teris qasiyetti de orınlı bolıwlıǵın kórsetdik. Ekinshiden teorema shártiga tiykarınan biz tártibi den úlken bolǵan hámme minorlarning nol bolıwın kórsetiwimiz kerek edi, biraq teoremani tastıyıqınıń dawamında tek noldan ayrıqsha óz ishine alıwshı minorni nol bolıwın kórsetsak jetkilikli bolıp tabıladı. Álbette bul matrisani reńin esaplawǵa talay jeńillestiredi.
Biz teoremadan kelip shıqqan halda bir juwmaqqa kelamizki, eger biz matrisani reńi tariypini, onıń qatarlarınan dúzilgen vektorlardıń reńine teń dep alǵanımızda ústin hám qatar boyınsha kiritilgen reńler teń boladı, sebebi noldan ayrıqsha minor onı transponirlash nátiyjesinde noldan ayrıqshasha qolaveradi.
Misal. Usi matrisani
Tártipli matrisani reńin esaplaymiz. Sonı aytymizki bul matrisada eń joqarı tártipli minor, bul úshinshi tártipli minor bolıp tabıladı.
Bul minordi oz ishine oluvchi ikkinchi tartibli minorini qaraymiz:
,
Endi bu noldan farqli minorini o’z ichiga oluvchi minorlarini qaraymiz:
, ,
Hám sonday eken noldan ayrıqsha eń kata minori ekinshi tártipli minori bolǵanlıǵınan rangA= 2 boladı.
Matrisalarni reńin yaǵnıy bir qolay usılı, bul matrisalarga elementar almastırıwlar qóllaw járdeminde tabıw usılı bolıp tabıladı, sebebi bilgenimizdey matrisalarga elementar almastırıwlar tásir etiwi nátiyjesinde unining noldan ayrıqsha minori noldan ayrıqshasha hám nolǵa teń minori nolǵa teńliginshe qolaveradi hám sonday eken, eger A=B bolsa, ol halda
rangA= rangB
boladı.
Nátiyjede biz matrisada jetkiliklishe nollardı payda etip, so'rnra onıń minorlarini esaplasak matrisaning reńin hitsoblash talay ańsat keshedi. Bunnan tısqarı biz elementar almastırıwlar tekǵana matrisaning qatarı ushın bálki ústinleri ushın atqarılıwın talap qilsak, ol halda biz matrisa oǵan ekvivalent bolǵan hám bas penenqiyiqida birler sanı rangA=r ta bolǵan matrisaga keledi. Bul usıldı joqarıda alıp kelgen matrisaga atqaramız :
hasil qilamiz. Bul matrisada tek g’ana bir nolden parqli en u’lken minor bar h’am onin bas diagonalinde eki bir snlari jaylasqan ha’m demek onin rangi 2 ge, bundan ese berilgen matrisani rangi 2 ekenligine hasil qilamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
