O’zbekstan respublikasi joqari ha’m orta arnawli bilimlendiriw ministrligi qaraqalpaq ma’mleketlik universiteti

Avtonomiyalı emes sistemasınıń rezonans jaǵdayındaǵı terbelisleri
Ekinshi tártipli kvazisızıqlı
(29)
teńlemeni qaraymız, bunda hám funkciyaları aldıńǵı rezonans emes jaǵdayındaǵıday shártlerdi qanaatlandıradı, biraq ta bul ret sanı ya pútin san, yamasa pútin sanǵa jaqın san dep uyǵaramız. Májbúrlewshi kúshtiń jiyiligi terbelislerdiń menshikli jiyiligi menen birdey bolatuǵın bunday jaǵday rezonans jaǵdayı dep ataladı.
Bul jaǵdayda

anıqlawısh nolge teń yamasa oǵan jaqın boladı. Sheshimdi anıqlaytuǵın formulalardıń bólimlerinde nol yamasa nolge jaqın shamalar payda boladı, yaǵniy kishi bólimler probleması dep atalatuǵın qıyınshılıq kelip shıǵadı. Sonlıqtan (29) teńlemeler ushın periodlı sheshimlerdiń bar bolıw shártleri burın alınǵan shártlerden pútkilley basqasha boladı.
Meyli tómendegi shártler orınlanatuǵın bolsın:

Sonda (29) teńlemeni
(30)
túrinde jazıwǵa boladı, bunda funkciyası -garmonikalardı (rezonanslıq garmonikalardı) óz ishine almaydı:

Bul jaǵdayda dóretiwshi teńleme
(31)
túrine iye. Onıń ulıwma sheshimi
(32)
boladı, bunda

Solay etip, (31) teńleme rezonanslıq emes jaǵdaydaǵıdan ózgeshe túrde periodlı sheshimler toparına iye boladı.
Dóretiwshi sheshim sıpatında (32) topar sheshimleriniń turaqlılarınıń bazı bir anıq mánislerine sáykes keletuǵın birin qabıl etemiz hám qanday shártlerde (30) teńleme bolǵanda dóretiwshi sheshimge aylanatuǵın periodlı sheshimlerge iye bolatuǵının anıqlaymız.
Bul (30) teńlemeniń periodlı sheshimin arqalı belgileymiz hám
(33)
shártleri orınlanadı dep uyǵaramız, bunda
Endi funkciyasın parametrleriniń dárejeleri boyınsha sheshim dógereginde jayamız:
(34)
Mına belgilewdi kiritemiz:
Qarastırıp atırǵan (34) funkciyası periodlı funkciya bolıwı ushın shamalarınıń tómendegi sistemanı qanaatlandırıwı zárúrli hám jetkilikli:

(35)
Endi rezonanstan uzaq bolǵan jaǵdaydaǵı talıqlawlardı tákirarlap, tómendegilerge iye bolamız:

bunnan
Sonda hám (35) teńleme tómendegi túrge iye boladı:
(36)
_{Bul (36) sistemanıń} bolǵanda nolge aylanatuǵın sheshimlerin tabıw kerek. Sol sebepli (36) teńlemeni ǵa qısqartıwǵa bolmaydı. ǵa qısqartqan jaǵdayda (36) teńlemelerde hám erkin aǵzalar qatnasıp, bul teńlemeler _{boǵanda qanaatlanbaydı. Usı sebepten}
(37)
shárti orınlansın dep talap etemiz.
Endi (34) ańlatǵasın (30) teńlemege qoyıp, qasındaǵı koefficientlerdi teńlestiremiz. Sonda tómendegi teńlemeni alamız:
(38)
Al (33) baslanǵısh shártlerden
(39)
shártleri kelip shıǵadı.
Erikli turaqlılardı variaciyalaw metodı járdeminde (38) teńlemeniń (39) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıratuǵın sheshimin tabamız:

Endi (32) ańlatpasın esapqa alıp hám (37) teńliklerge qoyıp, tómendegige iye bolamız:
(40)
bunda

Eger (40) sistemadan tańlap alınsa, onda (36) teńlemeleri tómendegi kóriniske iye boladı:
(40)
bunnan

Eger bolsa, onda anıq emes funkciyalar haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq (40) sistema, demek (36) sistema da birden-bir sheshimge iye boladı hám bul sheshim ge qarata analitkalıq sheshim boladı. Demek, (40) sistemadan tańlap alınǵan hám onıń ushın bolatuǵın hár bir dóretiwshi sheshim ushın (30) teńlemeniń birden-bir periodlı sheshimi bar boladı hám bul sheshim de boyınsha analitikalıq sheshim boladı.
Endi anıqlawıshın esaplaymız. (34) qatardı (30) teńlemege qoyıp, qasındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, hám funkciyalarınıń tómendegi teńlemelerdi qanaatlandırıwı tiyis ekenin alamız:

Bundaǵı dóńgelek qawsırmalar dara tuwındılarınıń dóretiwshi sheshimlerde esaplanatuǵınn kórsetedi.
(33) baslanǵısh shártlerden shártlerin alamız. Bul shártlerdi paydalanıp hám funkciyaları ushın tómendegi ańlatpalardı alamız:

Demek,

Bul ańlatpalardı funkciyaları ushın ańlatpalar menen salıstırıp, tómendegi teńliklerdiń durıslıǵına ańsat iseniwge boladı:

Usıǵan uqsas tómendegilerdi de alamız:

Demek, shárti

shárti menen teń kúshli.
Teorema. (32) dóretiwshi sheshimge (30) teńlemeniń periodlı sheshimi sáykes keliwi ushın turaqlılarınıń (39) sistemanı qanaatlandırıwı zárúrli. Bul sistemanıń hár bir ápiwayı sheshimine jetkilikli kishi bolǵanda (30) teńlemeniń periodlı sheshimi juwap beredi hám bul sheshim boyınsha analitikalıq sheshim boladı.