O’zbekstan respublikasi joqari ha’m orta arnawli bilimlendiriw ministrligi qaraqalpaq ma’mleketlik universiteti

Rezonanstan uzaq jaǵdaylarda avtonomiyalı emes sistemalardıń terbelisleri
Kishi parametrdiń mánisinde ádettegi sızıqlı oscilyatorǵa aylanıwshı bir erkinlik dárejeli sızıqlı emes sistemanı, yaǵniy
(7)
teńlemesi menen súwretlenetuúın sistemanı qaraymız. Bul jerde -kishi parametr, al -turaqlı shama bolıp, biz onı pútin sannan ózgeshe dep esaplaymız. Berilgen hám funkciyaları ózgeriwshisi boyınsha periodlı úzliksiz funkciyalar, olardı Fure qatarına jayıladı dep esaplaymız. Sonıń menen birge , funkciyası bazıbir oblastta hám ózgeriwshileri hám parametri boyınsha onıń jetkilikli kishi mánislerinde analitikalıq funkciya.
Usı shártlerdi (7) teńlemesiniń periodlı sheshimlerin tabıw máselesin qaraymız.
hám funkciyalarınıń boyınsha ge teń bolǵanlıqtan, izlenip atırǵan periodlı sheshimniń de periodı ge teń yamasa oǵan ólshemli bolıwı múmkin. Biz periodlı sheshimlerdi úyrenemiz.
Puankare metodına muwapıq, dáslep (7) teńlemeden bolǵanda alınatuǵın
(8)
dóretiwshi teńlemeniń periodlı sheshimlerin sheshimlerin tabıwımız tiyis.
Meyli
(9)
bul funkciyanıń Fure qatarı bolsın. Shárt boyınsha pútin sannan ózgeshe bolǵanlıqtan, (2) teńlemesi periodı ge teń periodlı sheshimge iye. Bul sheshim (2) teńleme menen anıqlanatuǵın sızıqlı sheshimge iye . Bul sheshim (2) teńleme menen anıqlanatuǵın sızıqlı sistemanıń májbúriy terbelislerine sáykes kelip, ol
(10)
formulası menen anıqlanadı.
Bul (4) dóretiwshi sheshim (8) teńlemesiniń periodı ge teń bolǵan birden-bir periodlı sheshimi boladı. Qanday shártler orınlanǵanda (7) tiykarǵı teńlemeniń bolǵanda dóretiwshi sheshimge aynalatuǵın periodlı sheshimdi túrinde belgileymiz, bunda arqalı hám shamalarınıń baslanǵısh mánisleriniń sol shamalardıń dóretiwshi sheshimdegi baslanǵısh mánislerinen awısıwları belgilengen. Solay etip, shárt boyınsha
(11)
Usı sheshim periodlı sheshim bolıwı ushın
(12)
shártleriniń orınlanıwı zárúrli.
Kerisinshe, eger (12) shártler orınlansa, onda sheshim periodlı boladı. Solay etip (12) teńlemeleri periodlı sheshimniń periodlı bolıwınıń zárúrli hám jetkilikli shártleri boladı.
Bul teńlemeler usı sheshimniń belgisiz baslanǵısh mánislerin anıqlaw ushın xızmet etedi (7) teńlemeniń periodlı sheshiminiń bar bolıwı haqqındaǵı másele (12) teńlemelerdiń hám shamalarına qarata sheshiliwi haqqındaǵı máselege keledi.
_Bunda hám shamaları _{bolǵanda nolge aylanıwı zárúr, sebebi izlengen periodlı sheshim bolǵanda dóretiwshi sheshimge aylanıwı tiyis.
Endi (12) teńlemelerdi qarayıq. Shárt boyınsha} funkciyası hám boyınsha analitikalıq funkciya bolatuǵın oblastta (10) dóretiwshi sheshim de jatadı dep esaplaymız. Usı shártte differenciallıq teńlemeler teoriyasında kórsetilgendey _{funkciyası da} hám ǵa qarata analitikalıq funkciya boladı. bolǵanda bul funkciya dóretiwshi sheshimge aylanıwı tiyis bolǵanlıqtan, biz onı
(13)
túrinde jaza alamız, bunda - waqıttıń belgisiz funkciyaları. Bul funkciyalardı tabıw ushın (13) qatardı (7) teńlemege qoyamız hám shamalarınıń birdey dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestiremiz. hám nıń birinshi dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip,
(14)
teńlemelerin alamız. Sonıń menen birge, (11) baslanǵish shártlerden
(15)
teńliklerin alamız. (14) hám (15) dan:
Demek,
(16)
Bul jerde
(16) teńleme bolǵanda birdeylik túrde qanaatlanadı. Sonıń menen birge, bul teńlemelerdiń sol jaqlarınıń ge qarata funkcionallıq anıqlanıwshı bolǵanda nolden ózgeshe. Haqıyqattanda, bul anıqlawısh ushın

Demek, anıq emes funkciyalardıń bar bolıwı haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq, (16) teńlemeleri jetkilikli kishi bolǵanda birden-bir sheshimge iye, onıń ushın
boladı hám ge qarata analitikalıq funkciya boladı. Bul sheshimdi _{funkciyaǵa qoyıp, (7) teńlemeniń bir hám tek bir periodlı sheshimin alamız hám bul sheshim} ge qarata analitikalıq sheshim boladı.
Solay etip, qarastırıp atırǵan rezonanslıq emes jaǵday ushın (7) teńlemeniń bir hám tek ǵana bir periodlı sheshimi bar boladı, bul sheshim _{bolǵanda dóretiwshi sheshimge aylanadı hám} ge qarata analitikalıq funkciya boladı.
Endi izlengen periodlı sheshimdi tabıw máselesin qarayıq.
Dálillegenimiz boyınsha bul sheshim ge qarata analitikalıq funkciya bolǵanlıqtan ol tómendegi túrge iye boladı:
(17)
bunda - bazıbir periodlı funkciyalar. Bul funkciyalardı tabıw ushın (17) qatardı (7) teńlemege qoyamız hám dıń birdey dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestiremiz. Sonda ushın
(18)
teńlemesi, al ushın
(19)
teńlemesi alınadı, bunda shamalarınıń periodlı koefficientli pútin racional funkciyaları. Solay etip, funkciyalardı tabıw (18) hám (19) teńlemelerdıń dara periodlı sheshimlerin tabıwǵa alıp kelindi.
Meyli barlıq esaplanǵan bolsın hám olar periodlı funkciyalar bolıp shıqsın. Sonda waqıttıń belgili periodlı funkciyası boladı hám
pútin sannan ózgeshe bolǵanlıqtan ushın (19) teńlemeniń bir hám tek bir periodlı sheshimi
(20)
bar boladı. Bul jerde funkciyasınıń Fure koefficientleri. funkciyası belgili bolǵanlıqtan, (7) teńlemeni formal túrde qanaatlandıratuǵın periodlı koefficientli bir hám tek bir ǵana (17) qatarı bar degen juwmaqqa kelemiz. Demek, bul qatar izlengen periodlı sheshimdi de kórsetedi hám ol sonlıqtan parametrlerdiń jetkilikli kishi mánislerinde jıynaqlı boladı.
Solay etip, (19) teńlemelerinen funkciyalatrın tawıp, olardı (17) qatarǵa qoyıp, (7) teńlemesiniń izlengen periodlı sheshimine iye bolamız.
Biz joqarıda sanın pútin sanǵa teń emes hám oǵan jaqın da emes dep esapladıq. Bul jaǵday rezonans emes jaǵday dep ataladı. Eger de sanı pútin sanına teń bolmasa onnan az ayrılsa, onda (7) teńlemesi menen súwretlenetuǵın sistema rezonans jaǵdayında dep aytıladı. Rezonans jaǵdayında kvazısızıqlı sistemalar óz ayrıqshalıqlarına iye bolǵanlıqtan óz aldına izertlenedi.
Mısal. Kishi parametr metodı járdeminde
(21)
teńlemesiniń juwıq periodlı sheshimin tabıń, bunda -kishi parametr.
Sheshiliwi. Biziń jaǵdayımızda bolıp, ol pútin sanǵa teń emes bolǵanlıqtan, rezonans emes jaǵday boladı. (21) teńlemeniń sheshimin
(22)
qatarı túrinde izleymiz. (22) izlengen sheshimdi (21) teńlemege qoyıp, parametriniń birdey dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, tómendegi teńlemelerge iye bolamız:
(23)
(24)
(25)
Dóretiwshi teńleme bolǵan (23) teńlemesi birden-bir
(26)
periodlı sheshimge iye boladı. Bul tabılǵan sheshimdi (24) teńlemesiniń oń jaǵına qoyıp, funkciyasın anıqlaw ushın

teńlemesin alamız. Bul teńlemeni de anıq emes koefficientler metodı menen sheship,
(27)
periodlı funkciyasın alamız.
Endi tabılǵan hám funkciyaların (25) teńlemesiniń oń jaǵına qoyıp, belgisiz funkciyasına qarata

teńlemesin alamız. Bul teńlemeni de anıq emes koefficientler metodı menen sheship,
(28)
periodlı funkciyasın tabamız. Solay etip, tabılǵan (26), (27), (28) funkciyaların (22) ańlatpasına qoyıp, berilgen (21) differenciallıq teńlemesiniń ke deyin dálliktegi periodlı sheshimine iye bolamız: