«O’zbеknеftgaz» Milliy Xolding Kompaniyasi

Nazariy formulalar yordamida
daliliy egri chiziqlarni 
tekislash
eng kam 
kvadratlar usulini qo’llashga asoslanadi. Ushbu daliliy egri chiziqqa to’g’ri keladigan 
nazariy egri chiziq quyidagi shartlarni qoniqtirishi kerak: barcha daliliy egri chiziqlar 
ordinatalari og’ishining kvadratlari yig’indisi qiymati ularga mos keladigan nazariy 
egri chiziqqa nisbatan minimal qiymatga ega bo’lishi kerak. 
Oldin ko’rsatilgan usul bilan o’zgaruvchanliklar orasidagi aloqa shakli 
aniqlangandan so’ng ular orasidagi statistik bog’liqlikni o’rnatish masalasi shu 
aloqani ifodalovchi tenglama parametrlarini aniqlashdan iborat bo’ladi. 
Eng kam kvadratlar metodi asosida juft normal tenglamalar tuziladi; ularni 
echish orqali va egri chiziq yordamida tenglamaning aniqlanishi zarur bo’lgan 
parametrlari belgilanadi. 
Daliliy egri chiziqni tekislash to’g’ri chiziq tenglamasi y=a+bx bo’yicha 
bajarilishi mumkin. Eng kam kvadratlar usuli bilan a va b parametrlarni hisoblash 
uchun juft normal tenglamalar quyidagi empirik usul bilan tuziladi: 
1) tenglama parametrlari ko’paytiriladigan ifodalar yoziladi; ular 1 va x ga teng; 
2) bu ifodalarga to’g’ri chiziq tenglamasining hadlari ketma-ket ko’paytiriladi va 
hosil bo’lgan ifodaga 
∑
belgisi yoziladi. Bu belgiga aniqlanayotgan a va b 
parametrlar yozib boriladi; shunda 
an
=
a
∑
, bunda n silliqlanayotgan daliliy 
egri chiziqning ordinata o’qlari soniga mos keladi. 
Demak, juft normal tenglama quyidagicha yoziladi:
x
∑
b
na
=
y
∑

; 
2
∑
b
x
∑
a
=
yx
∑
x

. 
(18.18) 
To’g’ri chiziq tenglamasi bo’yicha egri chiziqni tekislash uchun quyidagi daliliy 
ma’lumotlardan foydalanamiz: 
x . . . . . 1 
2 
3 
4
u . . . . . 8 
7 
5 
6 
Mos keluvchi to’g’ri chiziq parametrlarini aniqlash va tenglamani echish uchun 
jadval tuzamiz (18.9-jadval). 
18.9-jadval 
x 
u 
x
2 
xu 
Tekislangan qiymat 
(hisoblangan) u* 
1 
8 
1 
8 
7,7 
2 
7 
4 
14 
6,9 
3 
5 
9 
15 
6,1 
4 
6 
16 
24 
5,3 
10
=
х
∑
26
=
y
∑
30
=
х
∑
2
61
=
хy
∑
(18.18) tenglamaga 18.9-jadvaldagi ma’lumotlarni qo’yib, quyidagilarni olamiz: 
26=4a+10b; 
61=10a+30b. 

---

405 
Tenglamani echib, a=8,5; b=

0,8 ga teng ekanligini topamiz. Demak, 
aniqlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi 
u=8,5

0,8x .
(18.19) 
(18.19) ifodaga x=1, 2, 3, 4 qiymatlarini ketma-ket qo’yib, u*=7,7; 6,9; 6,1; 5,3 
tekislangan qiymatlarini olamiz. 
(18.19) tenglama ham interpolyatsiyaga (dalillar ma’lumotlar oralig’idagi 
abstsissa qiymatlarini hisoblashga), ham ekstrapolyatsiyaga (daliliy qiymatlardan 
tashqarida yotgan abstsissa qiymatlarini hisoblashga) imkon beradi. Birinchi holatda 
x qiymati, mavjud daliliy qiymatlar oralig’idan, ikkinchi holatda esa, maksimal yoki 
minimal daliliy qiymatlardan eng kattasi yoki eng kichigi olinadi. 
Namunali egri chiziq formulasi bo’yicha tekislash

bu holda daliliy egri chiziq 
nuqtalari deyarli to’g’ri chiziqda joylashadi, lekin ular to’g’ri burchakli koordinatalar 
sistemasida yotmasdan, balki yarim logarifmli koordinatalarga mos keladi va 
namunali egri chiziq formulasi u=ab
x 
ko’rinishida ifodalanadi. 
Ushbu tenglama logarifmlanganda lgy=lga+xlgb ifodasi kelib chiqadi, undagi x 
va lgy o’zaro chiziqli bog’langandir. 
x va lgu orasidagi chiziqli bog’liqlikni hisobga olib, yuqorida keltirilgan 
misoldagi kabi, juft normal tenglamani tuzish mumkin: 
b
∑
lg
a+
lg
y)=n
lg
∑ (
; 
2
x
b
lg
х
lg
lg
∑
a
∑
y)=
∑ (

. 
(18.20) 
So’ngra oldingi misoldagiga o’xshatib x; u; lgy; x
2
; xlgy qiymatlari uchun jadval 
tuziladi, tegishli yig’indilar hisoblanadi va (18.20) tenglama yordamida a va b 
parametrlar, so’ngra u* ni tekislangan qiymatlari topiladi. 
Giperbola yoki parabola formulasi bo’yicha tekislash

daliliy egri chiziq 
nuqtalari logarifmik koordinatalar sistemasida deyarli to’g’ri chiziqda yotgan holni 
ko’rib chiqamiz, bunda egri chiziq u=ax

b
yoki u=ax
b
tenglamalariga mos keladi. Bu 
tenglamalar logarifmlanganda lgy=lga

blgx ko’rinish oladi, bunda lgy va lgx o’zaro 
chiziqli bog’langan. 
Oldingi misoldagi kabi juft normal tenglama tuziladi: 
∑
lgy=nlga 

b
∑
lgx ; 
∑
(lgylgx)=lga
∑
lgx 

b
∑
(lgx)
2 
. 
(18.21) 
So’ngra a va b parametrlar va u* ning tekislangan qiymati aniqlanadi.
SHunday qilib, daliliy egri chiziqning tekislanishi o’zgaruvchan miqdorlarning 
o’zgarishini to’g’ri chiziq, namunali egri chiziq va parabola (yoki giperbola) 
qonunlariga bo’ysungan tekislanish hollari uchun ko’rib chiqildi. 
Barcha keltirilgan misollarda eng maqbul nazariy egri chiziqlarni aniqlash 
daliliy egri chiziqlar ordinatalari teng qiymatli deb taxmin qilingan hollar uchun 
olingan, ya’ni bir xil sonli daliliy ma’lumotlar uchun hisoblangan. Eng maqbul egri 
chiziqlar tenglamalari parametrlarini nazariy jihatdan aniqlashda ayrim daliliy 
ordinatalar chastotasini hisobga olish zarur. Daliliy egri chiziqning ordinata 
chastotasini hisobga olish dastlabki ma’lumotlar jadvallarida va juft normal 

---

406 
tenglamalarda qandaydir o’zgarishlarni keltirib chiqaradi. Bunday hollarda juft 
normal tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi: 
∑
fy=a
∑
f+b
∑
xf ; 
∑
(xfy)=a
∑
xf+b
∑
x
2
f . 
(18.22)