Kubatur formulalar

KUBATUR FORMULALAR


REJA:
I.KIRISH
1. Kvadratur formulalarni ketma-ket qo’llash.
2. Interpolyatsion kubatur formulalar.
II.XULOSA
III.ADABIYOT

Matematikaning o’zida uning tatbiqlarida ko’pincha karrali integrallarni taqribiy hisoblashga ehtiyoj tuqiladi. Kvadratur formulalar kabi bu yerda ham karrali integralning qiymatini integral ostidagi funksiyaning chekli miqdordagi Р₁, Р₂, ..., P_N nuqtalardagi qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasi yordamida aniqlaydigan

formula kubatur formula deyiladi. Bundagi
Р_1, Р₂, ..., P_N
nuqtalarning to’plami integrallash turi, А_k ( ) kubatur formulaning koeffisiyentlari va R(f) qoldiq had deyiladi. Bu paragrafda kubatur formulalarni tuzishning ayrim usullarini qisqacha ko’rib chiqamiz. Biz asosan ikki karrali integrallarni qaraymiz.
1. Kvadratur formulalarni ketma-ket qo’llash. Kubatur formula tuzishning eng sodda usuli, bu karrali integralni takroriy integral shaklida tasvirlab, bir karrali integrallar uchun qurilgan kvadratur formulalarni qo’llashdan iboratdir.
Faraz qilaylik, integrallash sohasi to’g’ri burchakli to’rtburchak {а х b; с у d} bo’lsin. Ushbu
(13.1)
integralni hisoblash uchun Simpson formulasini ikki marta qo’llaylik. Buning uchun [а, b] va [с, d] oraliqlarning har birini quyidagi nuqtalar bilan ikkiga bo’lamiz:

bu yerda

Shunday qilib, hammasi bo’lib to’qqizta (х_i, у_j) (i, j = 0, 1,2) nuqtaga ega bo’lamiz (6-chizma).

6-chizma
Endi (13.1) integralda ichki integralni hisoblash uchun Simpson formulasini qo’llaymiz:

Har bir integralga yana Simpson formulasini qo’llasak, u holda

yoki
(13.2)
hosil bo’ladi.Bu formulani qisqacha ko’rinishda yozish mumkin:

Bu yerda _ij quyidagi uchinchi tartibli

matritsаning elementidir (6-chizma).
Ko’rsatish mumkin, (13.2) formulaning qoldiq hadi
(13.3)
ko’rinishga ega bo’ladi.
Qoldiq hadning bu ko’rinishidan ma’lum bo’ladiki, 9 nuqtali (13.2) formula darajasi uchdan ortmagan ko’phadlarni aniq integrallaydi.
Misol. Simpson formulasi yordamida

hisoblansin. Bu yerda

deb olamiz. Integral ostidagi funksiya f(x, у)=(х + у)^-2 qiymatlari quyidagi
jadvalda keltirilgan

yi xi	4	4,5	5
0 0,5 1	0,0625000 0,0493827 0,0400000	0,0493827 0,400000 0,0330688	0,0400000 0,0330688 0,1666667

(13.2) kubatur formulani qo’llaymiz:

I= [(0,0625000+0,0400000+0,400000+0,1666667)+
+ 4(0,0493827 + 0,0493827 + 0,03300688 + 0,03300688) +
+ 160,0400000] = 0,044688.

Bir o’lchovli holdagidek bu yerda ham aniqlikni orttirish maqsadida

to’g’ri to’rtburchakning tomonlarini mos ravishda m va n bo’lakchalarga bo’lib, hosil bo’lgan t_n ta kichik to’g’ri to’rtburchaklarning har birida Simpton formulasini hosil qilish mumkin. Faraz qilaylik,
va
bo’lsin, u holda tugunlarning to’ri quyidagi koordinatalarga ega bo’ladi:

Qulaylik uchun f(х_i, у_j) =f_ij deb olib, har bir kichik to’g’ri to’rt burchakka (13.2) formulani qo’llasak, u holda

ga ega bo’lamiz yoki o’xshash hadlarni ixchamlasak

bu yerda quyidagi matritsaning elementidir:

Biz ichki va tashqi integrallarning har ikkalasi uchun ham Simpson formulasini qo’lladik. Ichki integralni bir kvadratur formula bilan hisoblab, tashqi integralni esa boshqa formula bilan ham hisoblash mumkin edi.
Agar soha

tengsizliklar bilan aniqlangan bo’lsa (7-chizma), bu holda ham (13.1) integralni yuqoridagi usul bilan hisoblash mumkin:

bu yerda

Biror kvadratur formulani qo’llab ni hisoblaymiz:
(13.4)
O’z navbatida

integralni boshqa biror kvadratur formula bilan hisoblash mumkin:

7-rasm.
Buni (13.4) ga qo’yib quyidagi

(13.5)
kubatur formulani hosil qilamiz. Biz qaragan (13.4) va (13.5) formulalarda ko’p tugunlar qatnashadi. Bu yo’l bilan borsak, integral karrasi ortgan sari tugunlar soni ham tez ortib boradi. Agar integrallash sohasi п o’lchovli kub bo’lib, qar bir o’zgaruvchi bo’yicha integrallash uchun m tadan nuqta olinsa, u holda tuzilgan kubatur formulaning tugunlari soni N = т^m ta bo’ladi. Shuning uchun ham kubatur formulalar nazariyasida eng yuqori aniqlikka ega bo’lgan formulalar tuzishga harakat qilinadi.