O’zbekiston respublikasi oliy va va o’rta maxsus ta’lim vairligi

Yechish :


1. (AB). AB to’g’ri chiziq tenglama bilan berilgan ekanligini inobatga olsak

2. (BO):

3. (OA):

va nixoyat

3- misol. Egri chiziqli integralni xisoblang

bu yerda L - (a ) aylana.
Yechish:
Qutb koordinatalar sistemasiga o’tamiz.
U xolda
ya’ni,

Demak,

4-misol. 3 o’zgaruvchili I- tur egri chiziqli integralni xisoblang.

Bu yerda
parametrik funktsiyalar orqali berilgan egri chiziq yoyi
Yechish:
t o’zgaruvchiga o’tib olamiz.

ni t orqali ifodalaymiz.

SHunday qilib,

;
Egri chiziqli integrallarni xisoblang 5-14
5.
kvadrat konturi.
6.
kesma
7.


8.


9.

tsikloida yoyi.
10.

zanjir chizig’i.
11.
lemniskataning o’ng yaprog’i
12.

aylana

13

ellipsning chorak qismi
14.
parabola yoyi.
15. tsilindirning quyidan yuqoridan tekisliklar bilan chegaralangan qismi yon yog’i yuzasi xisoblansin.
Yechish :

TSilindir sirti sirtlar koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik, shuning uchun integralni 4 dan biri uchun xisoblab, 4ga ko’paytirish kifoya.
Quyidagilarga egamiz:


Demak





16.
Ellipisni 1- chorakdagi qismi massasi xisoblansin, bu yerda xar bir nuqtadagi zichligi k koeffitsent bilan ordinataga proporsional.
Yechish:



fokuslar orasidagi masofa ekstsentrisitet



m massani xisoblaymiz



formuladan foydalansak, u= Cos t

; ekanini xisobga olsak

17-misol.
bir jinsli sikloida yoyi massasini va og’irlik markazi koordinatalarini toping.
Yechish:

va ni topamiz.

Demak,

Rasmdan ko’rinib turibdiki, tsikloida to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik, shuning uchun

Demak: M_u ni xisoblamasa ham bo’ladi.
. (Buni o’zingiz xisolashinigiz mumkin.) M_x ni xisoblaylik.

Nihoyat,
18-misol.

tsikloida yoyining og’irlik markazini toping.

19-misol.

aylana chorak qismining koordinata o’qlari va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlarini toping.
Yoy zichligi taqsimoti doimiy va k ga teng.
Yechish:
Berilgan egri chiziq (chorak aylana) I-chorakda ga nisbatan simmetrik demak, bir xil

Aylaning tenglamasini parametrik ko’rinishini yozsak, quyidagiga, ega bo’lamiz.

SHunday qilib,

20- misol.

tenglama bilan berilgan ellipsning chorak qismi (I chorakdagi qismi) massasini toping. Zichligi deb oling.
21
Ellips konturining massasini toping.
Uning chiziqli zichligi har bir M (x y) nuqtada ga teng.
22. 1-vint chizig’ining Oz o’qqa nisbatan inertsiya momentini toping.
L yo’naltiruvchi ma’lum bo’lganda, quyidan 0xu, yuqoridan tekisliklar bilan chegaralangan tsilindrik soxaning yuzalari xisoblansin. 23-26
23.
24.
25.
26.
I-tur egri chiziqli integraldan foydalanib, berilgan yoy uzunliklarini xisoblang. 27-30.
27.
28.
29.
30.
I-tur egri chiziqli integraldan foydalanib, egri chiziqlarning og’irlik markazini toping. 31-34
31.
32. +
33.
34.