Ozbekiston respublikasi oliy va

1
 - (l - cos
2
 a) - cos
2
 a = 
1
 
- 1
 + cos
2
 a - cos
2
 
a
= 
0
.
I I usul.
(1 
- sin 
a )
(1 
+ sin a ) - cos
2
 
a
= 
1
 - sin
2
 
a
-  cos
2
 a =
= 
1
 - (sin
2
 
a
+ cos
2
 
a )
= 
1
 
- 1
 = 
0.
sin4 x + cos4 x - 1
2-misoI. 
— 7
---------
7
----- - ifodani soddalashtiring.
sin 
X
+ cos 
X
- 1
2
2 
sin4 x + cos4 x - 1
(s*n2 x ) + cos4 
x ~
* 
(l “ cos2 *) + cos4 ~ *
sin 
x 
+ cos 
x 
1
 
(sin
2
 
x) 
+ cos
6
 
x
-
1
 
(l - cos
2
 
x) 
+ cos
6
 
x 
-
1
_ 
1 - 2
 cos
2
 
x
+ 
cos
4
 x 
+ 
cos
4
 x 
-
1
 
_ 
2
 cos
2
 x(cos
2
 x 
-
1
) _ 
2
l- 3 c o s 2x + 3cos
4
x - c o s 6 x + cos
6
x - l
3cos
2
 x(cos
2
 x - 1) 
3
cos (a + /?) + c o s ( a - /3)
3-misol. 
= 
Ctg
ayniyatni isbotlang.
cos(a
+ j3) + 
cos(a
-
fi) _
sin(a + /3) + sin(a - /J)
_ cosacosff -sin asin /? + cosacosP
 + 
sinasin p
 
_
sinacos/3 + cos a sin [5 + sin a
 
cos Д - cos a sin /3
2
cosacosS 
cosa
= -г-;---------
о
= ------ =
• 
2
 sin a cos p 
sma
10 — S. Alixonov
145

---

1 + COS /3 + COS
2
 
P
4-misol. "j 
~ 
f~ r ifodani soddalashtiring.
i + sec p + sec p
1 
+ c os p  + co s
2
 
/3 _ 1 
+ cosf} + COS
2
 
/3 _ 1 
+ cosp + COS
2
P 
_
1 
+ sec p  + sec2 p  
i + _ L _ + _ L _
co s2 p  + c osp + 1
cosp 
c o s 2 p
(l + cosp + COS
2
P j c o s
2
P
COS 
P
COS 
P + 
COS /3 + 1
=»COS 
p .
Yuqoridagilardan ko‘rinadiki, trigonometriya kursida ayniy almashtirishlar 
muhim o‘rin egallaydi. 0 ‘quvchilar trigonometrik ayniy shakl almashtirishlami 
yaxshi o'zlashtirishlari uchun birinchidan, trigonometrik funksiyalaming birini 
ikkinchisi orqali ifodalovchi va asosiy ayniyat kabi formulalarni, ikkinchidan 
esa shu formulalarni trigonometrik ifodani berilishiga qarab tatbiq qila olish 
malakalariga bog'liqdir. Trigonometrik ayniy *'3hakl almashtirishlami bajarish 
uchun quyidagi formulalarni bilishlari kerak:
1. Asosiy trigonometrik ayniyatlar:
1) sin2 
a
+ cos2 
a =
1;
2) fc a =
s i n a
COSfl
1
%
cosa ,
3
) с
tga = —
----
, ( а * к п ) \
4
)seca 
=
sina 
’ 
cos 
a
a * — (2n +
1
)
я * у ( 2 л + 1)
, n e Z ;
, n e Z;
5
) 
cos
e c a = -
7
^— , ( a * лп); n e Z.
sin a
Bu ayniyatlardan kelib chiqadigan formulalar quyidagilardir:
1
) 
tga ■
 ctga = I
к
, n e Z .
2
) 
1
 
+ 
t g a = sec2a,
a
 
(2w + 1)
n e Z .
3) 1 + 
ctg2a  
= cos
ec2a , ( a * n ) ,
n e Z.
1-misol. Ayniyatni isbotlang.
cos 
a(tga
 + 
2)(2tga
 
+1) - 5 sin a cos a = 2,
n
а Ф —
 (
2n
 +1)
2
146

---

I s b o t i :
cos2 
a(tga
 + 2)(2i
ga +
1) - 5 sin 
a
 cos 
a =
2 
(
 sin a
. Y 2 sin a
, , c .
= cos a ------- + 2 II----------+ 1 | - 5 s m a c o s a -
I c o s a
Д c o s a
= 2 sin2 a + 4 sin a cos a + 2 cos2 
a +
 sin a cos a - 5 sin a cos 
a
=
= 2(sin2 
a
 + cos 2 a ) = 2.
2-misol. Ayniyatni isbotlang:
7t
(l + s in a ) ( /g a + c / g a ) ( l - s i n a ) = 
ctga.\
a
Ф
 у ’ ” 6 
^
I s b o t i :
(1 + sin a ) 
(tga + ctga)(
 1 - sin a ) = (1 + sin a )
_ (1 - sin2 a )(sin 2 a + cos2 a ) _
cos2 a
_
s m a
c o s a
4
------- + -------- (1 - sin a ) =
c o s a
sin a
= 
ctga.
sin 
a ■
 cos a
sin a • cos a
II. Ikki burchak yig'indisi va ayirmasining trigonometrik funksiyalari.
1 ) s i n ( a ± / } ) = s in a c o s j3 ± c o s a s in /J ;
2) c o s ( a ± /? ) = c o s a c o s /? + sin a sin /3 ;
3)
’
 
1 + 
tga ■
 tgP
it
a , / 3 , a ±
p * — (2n + l ) , n e Z
4
) 
c t g ( a ± p ) =
ctga ctgp
 +1
ctga
 ± 
ctgp
1-misol. cos!5° ni hisoblang.
( a, p, a = P * лп,пе Z).
Y e c h i s h .
cos!5°= cos(45°—30°) = cos45° cos 30*+sin 45° sin 30°=
= A
. A
+ J L . L = L U
6 + 7 2 ) = 0 , 9 6 5 9 .
2 
2 
2 
2 
4 ' 
’
147

---

2
-misol.
sinl5° ni hisoblang .
Y e c h i s h .
sinl5°= sin(45°—30°) =sins45° cos 30°— cos 45° sin 30°=
e - ж
2 
2 
2 2 
4 '
’
Shuningdek, tgl5°=2-V 3 , cgl5°=2+V3, 
secl5°='/6 
- 4 2
hisoblash mumkin.
— 
В
3-misol. -----
2
-----
2
~o ~ 
+ 
~ P) ayniyatni isbotlang.
1 -
tgLa ■
 tgl p
■ 
tg2a - t g 2p = tga
+ 
tgP 
t g a - tg P _
s b o t i .
i _ t g 2a tg2/} 
l - t g a tgfi 1 + tga tgP
= 
tg(a
+ 
P )tg(a - P).
4-misol.
sin(I s b o t i . sin(a + 
P) ■
sin(a 
- P) =
(sin a cos 
p +
cosasin 
p ) x
x
(sin a cos 
P -
cos 
a
sin 
p
) = sin2 
a
cos2 
p
- sin2 
p
cos2 
a
=
= sin2 
a(l 
- sin2 j3) - sin2 /3(1 - sin2 a ) = sin2 
a -
sin2 
a
sin2
- s in 2 
p
+ sin2 a sin2 
p
= sin2 a - s i n 2 
p.
Keltirish formulalari:

---

6) 
c t g \ ^ ± a
= 
+tga, ctg(n ± a ) = ±c1ga.
J
IV. Ikkilangan va uchlangan burchakning trigonometrik funksiyalari:
1) sin 2 a = 2 sin a cos a; 2) cos 2 a = cos2 a - sin2 a ;
3) e 2 a = J S “
1 
- t g 2a
2a, a
ф
 ^ \2 n + l ) , n e Z
4) 
ctglcc =
—f ——-
(2 a ,a * n n ,n
e Z );
2ctga
5) sin 3a = 3 s i n a - 4 s i n 3a; 6) cos3a = 4cos3 a - 3 c o s a ;
7) i&3a =
1 - 3
ig2a
3tga - tg3a
2 a , а Ф ^ ( 2 n + l), n e Z
8) С 83а= -З« а - « 3“ f,
1 - 3(g a
^
a * ^ , n 6 Z | ;
. 
2
1 - cos 2a
9) sin 
a =
------------
114 
2
l + cos2a 
; 11) cos a = ------------ ;
10) sin 
a =
з л _ 3 s in a - s in 3 a
__ 3 
_ c o s 3 a + 3 co sa
12) cos a =
1-misol. sino-sin(60°—a)sin(60°+a)= — sin3a ayniyatni isbotlang. 
I s b o t i : s in a sin(600 - a ) • sin(60° + a ) = sin a(sin 2 60° - sin2 a ) =
= s i na l ^ - sin2
2-misol. cosa-cos(60°-a)cos(60°+a)= — cos3a ayniyatni isbotlang.
4
3-misol. 
tgatg(60 °-d )tg (6 0 °+ a )= tg 3 a
ayniyatni isbotlang.
Bu ayniyatlardan foydalanib, quyidagi trigonometrik ifodalarni osonlikcha 
hisoblash mumkin:
a) 
sin 20° sin 40° sin 80° = 1 sin 3 - 20 ° = 1 sin60° = 
-
• — = — ;
4 
4 
4 
2 
8
149

---

b
)
cos 10° ■
cos 50° • cos 70° = — cos 30u =
4
c) tg6° ■
/#54° 
tg66°
=/g!8°.
4-misol. sin3acos
3
a+sin
3
acos3a= — sina ayniyatni isbotlang.
4
I s b o t i :
. .
з 
. 3
- 
. _ cos3a + 3 co sa 
sin 3a cos a + sin a cos 3a = sin 3 a --------- ---------- +
%
_ 3 sin a - sin 3a 
3 , . .
. . 
3 . .
+ cos 3 a -------------------= — (sin 3a cos a + sin a cos 3a) = - sm 4a.
4 
4 
4
5-misol. cosa-cos2acos4a ifodani soddalashtiring.
Y e c h i s h . Berilgan ifoda sina ga ko‘paytiriladi hamda bo‘linadi:
1
cosa ■
 c o s la ■
 cos4a
• sin a _ 
2
sin'Ja ■
c o s la ■
cos 4a
sin a
sin a
1 П . . 
,
- sin 4a cos 4a 
2
• о
- sm 
8
a
2
s i na
sin a
sin 
8
a
8
sin a
,
. , 
, 
, 
sin2fl-cos2a
6
-misoI. tg4a-sec4a= ——---------- r— ayniyatni isbotlang.
sin2fl + cos2a
V. Yarim argumentning trigonometrik funksiyalari
1)
. a
1
1
 - cosa
2)
a
sm —
= 
J
— v - ;
cos —
2
V 
2
2
1
+ co sa
3)
4)
* 
a
~2
* 
a
a g 2
1
- c o s a
1
+ co sa
; [ a / л-(2л + 1), » e Z ];
1
+ cos a
, a
sin a
5) 
t g - =
1
- c o s a ’
1
- c o s a
2
1
+ cos a
sin a
150
; (a * 
n n , n e
Z );

---

_ a
1 + c o s a
s in a
,
6) 
c tg — =
— ;------ = ------------; 
( a * n n , n e Z ) .
2 
srn a 
1 - c o s a
1-misol. 
/&7°30' ni liisoblang.
Y e c h i s h .
&7°30
l - c o s l 5 ° _ 
+
( 4 - У б + ^ ) ( У б + У2)
I ( V 6 - V 2 )
( 4 6 - Щ 4 6 + 4 2 )
= М + 42/2_- 4 л /3 - 8 = 
^
_
7
з
+ л
_ 1
4
1-j& 215° 
л/3 
2-misoI. 
j + /g?15n~ ~ 
~2
n* i^otlang.
I s b o t i . 1 
tg
15 = -----1 + cos 30, =