|
> 0 uchun shunday
3
N n > N(e) bo'ganda m <, xN < m + e.
1 - misol. { 2 - ^ } , {Зл+З} ketma-ketliklarning aniq yuqori
chegaralari quyidagicha yoziladi. sup{2—
} = 2, sup{3/j+3}=<»,
n
inf {2“ -~}=l inf{3«+3}=6 .
2 - misol. '#={1,2,3...и} bo'lsa s u
p
, inf{7V}=l bo'ladi.
3. Monoton ketma-ketliklar
Ta’rif. Agar {xn} ketma-ketlikning hadlari quyidagi
251
х ,< х 2< х 3< .
< Х П<
.
(х, <Х2 < Х3 < . . . < Хп < . . . )
tengsizliklarni qanoatlantirsa, ya’ni
у n e N
uchun
x < x
.. (x П
Л+1 '
П n+\/
b o ‘lsa,
{ x j
o'suvchi (qat’iy o'suvchi) ketma-ketlik deyiladi.
Ta’rif. Agar {xJ ketma-ketlikning hadlari quyidagi
x, > x
2
> x
3
> . . . >
x n >
. . .
(x, > x
2
> x
3
> . . . >
xn
> . . . )
tengsizliklarni qanoatlantirsa, ya ’ni
V
n e N uchun
x > x .. (x >x ..)
n
и+1 4
n
n+ \f
b o ‘Isa, { x j kamayuvchi (q a t’iy kamayuvchi) ketma-ketlik deyiladi.
0 ‘suvchi (q a t’iy o ‘suvchi), kamayuvchi (q at’iy kamayuvchi) ketma-
ketliklar monoton ketma-ketliklar deyiladi.
w . . I I L ,
n
1
2 3 4
n
Misol.
Ushbu x„ = ---- - : - ,
. . . , —— , . . .
и + 1
2 3 4 5
/2
+ 1
ketma-ketlikning o‘suvchi ekanini ko'rsating.
Bu ketma-ketlikning
_
n
~
1
xn ~
>
xn+i
—
r^r
n
+1
n
+ 2
hadlarini olib, xn+|- x n ayirmani qaraymiz:
_ я + l
n
1
" +1
"
n + 2
я +
1
(я +
1
)(л +
2
)
1
n
Ravshanki,
у n eN
uchun
7
---- rr:---- zr > u-
’
(л + 1)(л + 2)
Demak, V
n eN
da x
n+1
-
xn
>0, ya’ni
xn <
х
л+1
bo'ladi. Bu esa berilgan
ketma-ketlikning o‘suvchi (hatto qat’iy o'suvchi) va quyidan chegaralangan
ekanini bildiradi.
Ta’rif.
Ve > 0, ЗП
0
bo‘lganda
n>n0
ga |x„ - a | < s o‘rinli b o ‘lsa, u
holda
a
soni
{xn}
ning limiti deyiladi va J™ {хл}=а kabi yoziladi.
3-§. Hosila va uning ustida amallar bajarish metodikasi
1. Nyuton masalasi
Masala.
Moddiy nuqta to‘g‘ri chiziqli harakat qilib Mvaziyatda bo‘lganda
harakatning berilgan
t
paytdagi
tezligini toping.
252
и
м
AS
At
М,
Bu masalani yechish uchun quyidagicha faraz qilamiz.
Faraz qilaylik, moddiy nuqta to‘g‘ri chiziqli harakat qilib,
t
vaqt ichida
s
masofani bosib o‘tsin, ya’ni
О
nuqtadan
M
nuqtaga kelsin.
Agar
t
vaqtga yana
At
vaqt qo'shilsa,
At
vaqt ichida moddiy nuqta M,
masofaga keladi. Ma’lumki, bu yerdagi
s
masofa
t
ning funksiyasidir, ya’ni
t
vaqt ichida
s(t)
masofani bosib o‘tadi. U vaqtda
OMt
orasidagi masofa esa
s(t+At)
ga bog‘liq bo'ladi. Agar moddiy nuqtani
At
vaqt ichida bosib o‘tgan
masofasini topadigan bo'lsak, u
AS
=
S(t+At)—S(t)
bo‘ladi.
Moddiy nuqtani
At
vaqt ichida
AS
masofani bosishi uchun harakatdagi
AS
o‘rtacha tezligi fizika kursidan ma’lumki,
bo'ladi. Nuqtaning
t
vaqtdagi tezligi deb,
At
vaqt oralig‘idagi -0 o ‘rtacha tezlikning
At
nolga
intilgandagi limitiga aytiladi.
AS = S (t + A t ) - S ( t )
At ~
Shuning uchun
lim — = lim
дг
-»0
At
л
/->0
At
S (t + A t ) - S ( t
)
At
(
1
)
Yuqoridagi savolning javobi (1) dagi limitni hisoblashga olib keldi.
Leybnis masalasi.
Dekart koordinatalar sistemasida berilgan
y —f(x )
egri chizig‘ining ixtiyoriy nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm aning absissa o ‘qi-
ning m usbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagining tangensini topish
masalasi hosila tushunchasiga olib keladi.
AABC
dan
tg/3 =
AC
Ax
f ( x + A x ) - f ( x )
Ax
(
2
)
Ta’rif. y= f(x)
funksiyasining kesuvchisi
A B
ning
В
nuqtasini egri
chiziq b o ‘ylab
A
nuqtaga intilgandagi lim itik vaziyati egri chiziqning
shu nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm a deb ataladi.
253
Ах -> 0
da
Z/3
—> Z a
bu holda
В
nuqta egri chiziq bo‘ylab
A
nuqtaga
intiladi:
.
..
A y
..
f { x +
A x ) -
f { x )
tga =
lim — = lim — -------- -—
.
П)
Дх
->0
AX
Дх->0
A x
Yuqoridagi qo'yilgan masalani yechish bizni (3) dagi limitni hisob-
lashga olib keldi.
2.
Hosilaning ta ’rifi:
y= f(x)
funksiya
X
sohada aniqlangan bo'lsin.
Erkli o ‘zgaruvchining birorta x=x^qiym atini olib
X
sohadan chiqmay-
digan
x0+Ax
orttirm a beram iz, u holda
Ay=f[xQ+
Ах)-Дх0) funksiya
orttirmasi hosil b o ‘ladi.
•
T a’rif.
y=f(x)
funksiyasini x=x
0
nuqtadagi funksiya orttirmasi
Ay
ni
argument orttirmasi
Ax
ga bo‘lgan nisbatini Лх->0 dagi limiti mavjud
bo ‘lsa, bu limit berilgan
y = f ( x j
funksiyasini x=x
0
nuqtadagi hosilasi
d ey ilad i va y^, yoki /('*<,) kabi y o z |la d i. U m u m iy h o la td a esa
Ух f'( x ) ;
deb yoziladi,
j.' - Г М lim — = lim / < * > + * * > - / < * . > .
0
Дх->0 A x
Дх->0
Ax
Bu ta ’rif (1) va (3) limitlarga tatbiq qilinsa,
lim — = lim —^
----- Ь? -
s = S ( t) ,
&t->o At
дг-»о
At
A y
/ ( x + A x ) - / ( x )
,
4
lim -— = lim —--------- ------ —- =
y x = f
(x).
Дх—>0 A x
Ллг—>0
Ax
Hosilasining mexanik ma’nosi
M oddiy nuqtani fvaqt ichidagi
s
masofani bosish uchun harakatdagi
tezligini topishdan iborat.
Hosilaning geometrik ma’nosi
Egri chiziqning biror nuqtasiga o ‘tkazilgan urinm ani absissa o ‘qinmg
musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchak koeffitsiyenti tg a ni topish
dan iborat.
254
У - У , г к ^х ~ х ц)> k = tg a =
= у'х = f \ x
о)
b u l a r g a k o ‘ra
Дх->0
Д х
urinm aning burchak koeffitsiyenti tenglamasi
f(x)= f(x$ + f ' ( x 0) ( x - x )
bo ‘ladi.
Misol.
y=x3
kubik parabolaning x = l nuqtadagi urunmasi
f(x)= l+ 3
(x -l)= 3 x -2 tenglama bilan ifodalanadi, chunki
/= 3 x 2
ni x = l nuqtadagi
qiymati / = 3 ga teng bo'ladi.
3. Elementar funksiyalarning hosilalarini topish.
1)
У=с;
/= c '= 0 .
2
)
y=x"
;
/=nx?-1
I s b o t: у+-Ду=(х+4х)"
Ау=(х+АхУ-х"=хп+пхп-'-Ах+...
n ( n - l ) ( n -
2 )...[я - (л - 1)]Дх"
■“ +
1
- 2
-3 •... • я
М
- 1
/? ( я -
1
)дся 2Ах
1-2
Дх
—>0
Д х
Дх
Дх->0
я ( п -
1
)х”
2Ах
1- 2
+
3) у'х =пх"-\
1
.
I s b o t i :
Ay
=
1
1
Ay
=
х + Дх
х
х - х - Д х
х(х + Дх) ‘
Ау
_
1
Ас
х
2
+ хДх
lim — = - lim
Лх->0
Д х
Дх—>С
дх->°
х 2 + хАх
4)
у=ах; у'=ах1па.
255
Ay = ax(at o -1);
^ = flx(flAX
Ax
Ax
..
A y
* ..
( a to — 1)
j,-,
,
lim — =
a
lim --------- - =
a
In
a;
у
= a*-
Ina.
Дх-»0
A x
Дх-*0
Дх
5, , =
>»
-
1
-~1
1
I s b o t i :
у ~ х г \
у = - ■
х 2
I s b o t i :
y + Ay
= д*+Лх;
Ду = а*+Лх - a*;
2
~ 2-Jx'
6
) у = лях;
/ = cosx.
I s b o t i :
y + A y-sin (x + A x ),
Ay=sin(x+Ax)~~
sinx,
*i\
. A x
__
0
. Ax
.
Ax,
— ------- — . cos(x + — )
Ду = 2 sm — • cos(x + — )
дх
Ax
v
2
. Ax
Av
sin T
lim — = lim
— ~ ~ ■
cos(x + Дх) = cos x.
Дх-И)
X
Дх—>0
ДХ
7) y=cosx
/ x=-sinx
1
8
)
y - t g x ' , / -
----
2
'
cos X
I s b o t i :
sin(x + Ajc)
sinx
Ay _
tg(x
+ Ax) -
tgx __
cos(x + Ax)
cos x _
Ax
Ax
Дх
sin(x + Дх) cos x - cos(x + Дх) sin x
sin Дх
1
Дх cos x cos(x + Ax)
Ax
cos x cos(x + Ax)
Ay
r
sin Ax
1
1
y' = lim — = lim
Ax
0
Ax
x
->0
Ax
COS X • c o s
(x + Дх)
cos
X
256
у .
= ,im jge, (* + Ах) - log,
х
_ |im
Дх-*0
Ах
Дх-»0
Дх
1
+ —
= lim — loga
— ~ ~
=
.
Д х—
>0
х
Дх
X
X
1 1
) ,у=о*; lny=xlna.
= ln a,
= y ln a , / = >>а*
1
па.
/\Х
4. Funksiyaning o ‘ng va chap hosilalari
Ta’rif.
Agar Дх —н-0( Дх -* -0 ) da
~
nisbatning limiti
Дх
urn ^ „ лт Л з ^ Ь Л а )
Ax—»+0 Д х
ДХ->+0
Д х
( lim
lim / Ц - ь AX ) - / ( » , )
Дх-»-0 Д х
Ax—>-0
Д х
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit
f(x )
funksiyasini x
0
nuqtadagi o ‘ng
(ch ap ) hosilasi deb ataladi va u quyidagicha /Т х о+ 0 ), (А х
0
- 0 ) )
belgilanadi.
Misol. Дх)=|х| funksiyaning hosilalarini hisoblang. Bu funksiyani o‘ng
J im n~ =1 ga teng. Chap limiti e s a / ( x — 0) = lim —
Дх-»+0 A x
4 0
’
Дх-»+0
Дх
lim iti/(x
0
+0) = lim —
= 1
ga teng. Chap limiti esa / (x —0) = lim
Дх-»+0Дх
о
Дх—»+
=
- 1
ga teng.
Agar
f[x)
funksiya x
0
nuqtada
f
(x0) hosilaga ega bo‘lsa, funksiya shu
nuqtada bir tomonlama limitlarga ega bo'lib, / ( x
0
+
0
) = /'(x
0
-
0
)= / (xa)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
17 — S. Alixonov
257
Do'stlaringiz bilan baham: |
