|
bo'lsa, ax2+bx+c=0 tenglama ax2+c=0 ko'rinishni oladi, uni
С
С
С
yechilsa, x 2 = — bo'ladi, agar -
< 0
bo'lsa, —
>0
bo'ladi, bunda
a
a
a
ax2+c=
0
tenglama haqiqiy sonlar to'plamida yechimga ega bo'ladi,
С
с
ya’ni xu2 = ± J -. Agar - > 0 bo'lsa, ax3+c=0 tenglama haqiqiy sonlar
to'plamida yechimga ega emas.
b^ 4 ac
yechimga ega bo'lishi uchun------
5
— ^
0
bo'lishi kerak. Bundagi & — Aac
A a
169
4)
Agar c= 0 bo'lsa, ax2+bx+c=0 tenglama ax2+bx=Q ko'rinishni
oladi, uni yechilsa
(ax
2
+
6
x
)=0
=> x(ax+b
) = 0
x = 0
b yechimlari hosil qilinadi.
x =
a
ax2+bx+c
= 0
ko'rinishdagi tenglama ildizlarini yana quyidagi usul
bilan ham hisoblash mumkin. Berilgan tenglamani ax
2
+Z>x= —с
ko'rinishda ifodalab, uning har ikkala tomonini 4a ga ko'paytiriladi,
natijada 4a2xl+4abx=—4ac tenglik hosil bo'ladi. Hosil bo'lgan tenglikning
har ikki tomoniga b2 ni qo'shilacfi: 4a2c2+4abx+b2=b2—4ac bundan:
фах+ЬУ^Ь1—'4ас.
Agar D -b 2-4ac>ti bo'lsa, bu tenglikning har ikki tomonidan
arifmetik kvadrat ildiz chiqarish mumkin:
(
2
ax + b) = л!ь2 - 4 ас.
Bunda ikki hoi bo'lish mumkin:
%
1)
agar
2 a x + K 0
bo'lsa,
- { l a x
+
b)
=
J b 2 - 4 ac,
;
»
2
) agar
2 a x + b > 0
bo'lsa,
2
ax
+
b
=
-Jb2
-
4
ac,
x2
---------
2
---------■
Shunday qilib, diskriminant D^b2—4ac>0 bo'lsa, tenglama ikkita
haqiqiy har xil yechimga ega bo'ladi.
Kvadrat tenglama ildizlarini uning diskriminantiga ko'ra tekshirishni
quyidagi jadval orqali tushuntirilsa, o'quvchilarning mantiqiy fikrlash
qobiliyatlari ortadi:
Agar
0
bo'lsa,
/Х 0
bo'lsa, ikkala ildiz musbat,
A>0
bo'lsa, ikkala ildiz manfiy.
(K0
bo'lsa, ikkala
Ildiz har xil bo'ladi
^<0
bo'lsa, ikkala ildiz musbat,
jH>0
bo'lsa, ikkala ildiz manfiy.
с - ■
*
0
b .
a
£>0
bo'lsa, ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa manfiybo'ladi,
M O
bo'lsa, ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa musbat bo'ladi.
^Й
>0
bo'lsa, ikkala ildiz manfiy bo’ladi
0 bo'lsa, ikkala ildiz musbat bo'ladi.
170
A g ar
a x 2+ b x + c
=:0 t e n g l a m a d a
a = l
b o ' l s a , h o s i l b o ' l g a n
ax2+ b x + c =
0 tenglam a keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. H ar qanday
to'la kvadrat tenglam aning har ikkala tom onini
a
ga bo'lish orqali uni
keltirilgan kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirish mum kin;
a ^ + b x + c = 0
b
e
b
e
bo'lsa, x 2 + - x + —= 0, agar =
p ,
=
q
desak, u holda
x 2+ p x + q = 0
a
a
a
a
tenglama keltirilgan kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi bo'ladi.
Bu tenglamaning yechimi
x l2 = - ~
—
q
formula bilan ifoda-
lanadi.
Misollar: 1)
3x2—
5x+2=0,
a = 3, b——
5, c=2. To'la kvadrat tenglama
yechimi formulasiga ko'ra
_
- b ± y l b 2 - 4 a c
_ 5 ± л/25- 4 - 3 - 2 _ 5 ± 1
1,2
2
a
6
6
5+1
6
,
5 - 1
4
2
X l = ‘ “ T = 6 = 1’
^
Т
“ Г з WI>dL
2)
Ъх1—
5x+2=0 tenglamaning har ikki tomoni 3 ga bo' linsa,
-
5
2
x
- - x + - = 0
bo'ladi. Bu tenglamaning ildizlarini keltirilgan kvadrat
tenglama formulasidan foydalanib topiladi:
5
2
p — y
9 = +
- г м i r
I
5 \
25 2
5 -b 2 5 - 2 4
5
1
t \ / „
q
I
6
Г У
36
3
6
v
36
~ 2 + 2 ■
№
2 " V 4
5 + 1
6
6
6 =
5 - 1
4
2
—
“ Г
1* ^
Т
= 6 = 3 '
6 -§ . Viyet teoremasi
Viyet teoremasi ham m atem atik tushunchalarni kiritishning konkret
induktiv usuli orqali kiritiladi, chunki bu teoremani bayon qilishdan
oldin teorem a xulosasiga olib keladigan quyidagi ko'rinishdagi tushun-
tirish ishlari bilan shug'ullaniladi. Agar
x 2+ p x + q = 0
keltirilgan kvadrat
tenglama diskriminanti manfiy bo'lm asa, uning ildizlari
171
р
р
р
**
2 + \ 4
* Va *2 = Т
Bu x, va x- yechimlarni o‘zaro qo‘shilsa,
— q bo‘laredi.
*1
+*2
= - y +
- q - ~ - - q = - p, ko‘paytirilsa
X! •
X
2
=
-\
- q
^ i ,
X2
f
J l
2
„2
„2
•=— ——
1
-
a
=
a
4
4
4 4
tengliklar hosil bo‘ladi. Bularga ko'ra teoremani quyidagicha ifodalash
mumkia
T e o r e m a . Agar keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga
ega bo'lsa, bu ildizlarning yig‘indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan
x oldidagi koeffitsiyentga, ularning ko'paytmasi esa shu tenglamaning
ozod hadiga teng bo'ladi.
Misql. xJ-3x+2=0 tenglamani Viyet teoremasi asosida tekshiring.
Xi + x
7
= 3
shuning u c h u n x 2 = 2 boMadi. Agar berilgan tenglama yechilsa,
3 / 9
3
1
*
1,2
=
~ 2
*
~ 2
~
2
*
2
’ bundan x = 2 , x2= l ekani topiladi. Demak,
Xj + x
2
= 2 + 1 = 3, X,-Xj=2,l = 2.
Bundan tashqari, bu sistema yechilsa, noma’lumlarning biriga nisbatan
berilgan tenglama hosil bo‘ladi:
jxjxj +x
2
3x
2
/ 2
_
2
x2 -2 )= > x
2
-3 x
2
+ 2 = 0.
I
X| •
X
2
= 2
Shuningdek x, noma’lumga nisbatan yechish ham mumkin.
172
7-§. Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan
tenglamalar
1. ах4+йхг+ с = 0 (1) tenglama bikvadrat tenglam a deyiladi. Bunda
a, b
va
с
berilgan sonlar bo'lib,
a*0
dir. Agar (1) da
x 2= z
desak,
a z2+ b z+ c = Q
(2) ko'rinishdagi kvadrat tenglam a hosil b o'lad i. Bu
j
2
t e n g l a m a
z
g a n i s b a t a n y e c h i l a d i :
z\
=
+
-- ~ 4 ~
va
2 a
l
=
Л
-----^
4flC . Agar г >0 va
z>>0 (a >
0, c>0, b2—4ac>0,
b<0
2 a
yoki a< 0, c<0,
b2—
4ас>0, 6>0) b o 'lsa , (1) k o'rin ish dag i kvadrat
tenglama quyidagi ko'rinishdagi to 'rtta yechimga ega bo'ladi:
j - b
-
- 4 ac
l- b +
- 4 ac
* *
=
H
--------
2a
--------•
^
-
4
-------- S --------•
1- misol.
x* — Зх2 — 4 =
0 tenglamani yeching.
Agar
x2—z
deb belgilansa, tenglama
z2—3 z~ 4 = 0
ko'rinishni oladi. Bu
tenglamaning yechimi ?,=4 va ^ = - 1 bo'lib x, 2=±2 bo'ladi,
x3 = = ± y[I\
yechimi esa haqiqiy sonlar to'plamida mavjud emas.
2 - misol. 2x4-5x2+3=0.
a—2, b~—5, c=
3.
Y e c h i s h . Agar
x2= z
desak, berilgan tenglama 2г2-5г+3=0 ko'rinishni
oladi. Bunda Z>=b2—4ac=25—24=1>0:
5 + l
2
/з
ha = - j - > ъ =
2
’ z2 = l.
*
1,2
= ± J z = ± y j - ;
хи =±7Г = ±
1
.
Yechimni formulalardan foydalanib topish mumkin:
v
_
. |5 ^ T _ .
[4
_
\
4
V 4
\ 4
’
_ J_ i 5 - y / 2 5 ^ m
J. [ 5 7 T _ ^ [ 3
*3A
\
4
1 4
Ч
2
'
Maktab matematika kursida o'zaro teskari noma’lum ifodalarni o'z ichiga
olgan tenglamalar ham kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Fikrimizning
dalili sifatida quyidagi tenglamani yechaylik:
173
( x i
2
_ ( x + i
^ X
+ lJ ^
X
3
2 '
Bu ko'rinishdagi tenglamalarni yechish jarayonida o'qituvchi eng awalo
Do'stlaringiz bilan baham: |
