O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

R = 1/N * Z*Z`, (9.17)
tarzida bo‘lib, bundagi Z = [z<sub>ji</sub>] - n*N o‘lchamli standartlashgan ma’lumotlar matritsasi, u N ta n o‘lchamli kuzatuvdan iboratdir.
Standartlashgan parametrlar (va omillar) uchun, (9.4), omiliy tahlil modelining matritsaviy ko‘rinishi:
z = A*f + D*u, (9.18)
yoki, barcha N ob’ektlar uchun
Z = A*F + D*U (9.19)
tarzida yozilishi mumkin;
Z = Z(n*N); U = U(n*N).
Bundagi A matritsa (9.6) shartni (teoremani) ham qanoatlantiradi.
Har bir ko‘rsatkich z<sub>j</sub> standartlashtirilgani uchun, uning dispersiyasi 1 ga teng:
s<sub>zi</sub><sup>2</sup> = 1/N * <sup>N</sup><sub>i=1</sub>z<sub>ji</sub><sup>2</sup> = 1. (9.20)
(9.18) yoki (9.4) ifodadagi har bir z<sub>ji</sub> ning qiymatini bunga qo‘ysak:
s<sub>zi</sub><sup>2</sup> = 1 = <sup>m</sup><sub>p=1</sub> a<sub>jp</sub><sup>2</sup> + 2 * <sup>m</sup><sub>pajp*ajq*fpq + dj<sup>2</sup>, (9.21)
bundagi
fpq = 1/N * <sup>N</sup>i=1Fpi Fqi, (9.22)
bu - p va q umumiy omillar orasidagi korrelyatsiya koeffitsiyentlaridir (ya’ni, yuqoridagi F matritsaning elementlaridir).
Omillar o‘zaro korrelyatsiyaga ega bo‘lmasa,
szi<sup>2</sup> = 1 = <sup>m</sup>p=1 ajp<sup>2</sup> + dj<sup>2</sup> = hj<sup>2</sup> + dj<sup>2</sup>, (9.23)
bu holda, har bir standartlashgan parametr dispersiyasi ikki asosiy qismdan: umumiylik va xususiylikdan iborat.
Shunday qilib, omillar koeffitsiyentlari matritsasi A ning har bir satri bo‘yicha koeffitsiyentlar kvadratlari yig‘indisi - ushbu j parametrning (ko‘rsatkichning) umumiyligiga:
hj<sup>2</sup> = <sup>m</sup>p=1 ajp<sup>2</sup> (j=1n), (9.24)
va har bir ustun bo‘yicha koeffitsiyentlar kvadratlari yig‘indisi esa, p omilning ulushiga (hissasiga) tengdir:
Vp = <sup>n</sup>j=1 ajp<sup>2</sup> (p=1m), (9.25)
Bularning yig‘indisi esa, barcha umumiy omillarning jami ulushini ko‘rsatadi:
V = <sup>m</sup>p=1 Vp, (9.26)
buning jami dispersiyaga (standartlashgan parametrlar holida n ga) nisbati “omillashtirishning to‘liqligini” baholaydi:
r = V / n. (9.27)
yoki, shuning o‘zi, foizlarda:
r % = V / n * 100%. (9.28)
Demak, (9.6) gipotezaga asoslangan, omillashtirish natijasini - (9.4) yoki (9.18) yoki (9.19) ifodalar tarzida ifodalash mumkin, omillashtirish darajasini esa, (9.27) yoki (9.28) ko‘rsatkichlar baholaydi<sup>4</sup>
Amalda qo‘llaniladigan omiliy tahlil usullari asosida turli matematik yondashuvlar yotadi. Ularni ikki guruhga bo‘lish mumkin: ortogonal (o‘zaro korrelyatsiyasiz) omillar va ortogonalmas (o‘zaro korrelyatsiyaga ega) omillar sistemasiga olib keladigan usullar. Birinchi tur usullardan asosiysi - bosh omillar usulidir (BOU), u ortogonal va yagona yechim beradi.
Bosh omillar usuli (BOU) algoritmlari juda murakkab bo‘lib, tartibi 10 va undan katta korrelyatsion matritsalar uchun hisoblarni kompyutersiz bajarish amalda mumkin emas. Lekin, bu usulning afzalligi - uning universalligida va omillarning tartiblashganligida, u istalgan, hatto, manfiy koeffitsiyentli korrelyatsion matritsalar uchun ham yaraydi. Yana bir xususiyati - birinchi bosh omildan boshqalari - bipolyardir, ya’ni ularning koeffitsiyentlarining taxminan yarmi manfiy ishoralidir. Bu esa - omilni “antonim” bilan ham atash imkonini beradi.
Demak, BOUda - yechim, yuqorida ko‘rsatilgandek, barcha yechimlar uchun umumiy bo‘lgan shartlarni [masalan, (9.7), (9.18)-shartlar] va yana qo‘shimcha: A`*A = m = diag(1, 2,...,m); 1>2>...>m, (9.29)
shartni qanoatlantiradigan qilib olinadi⁵.
Umumiy omillarning standartlashgan ko‘rsatkichlar dispersiyasidagi ulushi: Vp = p (p=1m) - korrelyatsion matritsa R ning o‘z xos qiymatlari (O‘ХQ) p ga teng.
Ma’lumki, R korrelyatsion matritsaning O‘ХQ va O‘ХVlari spektral teoremaga binoan quyidagi shartga javob beradi:
R*Q = Q*m, (9.30)
bu yerda m - diagonal matritsa, Q esa - ortogonal matritsa:
Q`*Q = I(m*m). (9.31)
Demak, O‘ХVlarni aniqlagandan keyin, bular asosida, omillar koeffitsiyentlari matritsasini quyidagi tarzda tuzsak, BOUga mos yechim olamiz:
A = Q*m^1/2, (9.32)
chunki, o‘zi</sub>