O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

13.3. Regression model o’zgaruvchilarini nochiziqliligi va
uni hal etish usullari.

Yuqorida biz eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholanadigan chiziqli modellarni tuzish usullarini ko’rib o’tdik. Chiziqli model yetarli darajada egiluvchan (barqaror) bo’lgani regressiyani turli shakllari ko’rinishlariga yo’l qo’ygani bilan ko’pgina foydali funktsional shakllarga ega emas. Quyida biz o’z parametrlari nochiziqli hisoblangan modellarni tekshirib chiqamiz. Quyidagi formula regression modelni umumiy ko’rinishi hisoblanadi:

(8)
Chiziqli model hususiy holatda bo’lishi mumkin. Lekin bu hol unga bir qancha imkoniyatlarni beradi. Masalan quyidagi model chiziqliga aylantirilishi mumkin emas:
(9)
U chiziqli aylanadir, qachonki quyidagi tenglama ham nochiziqli hisoblansa:
(10)
Lekin bizni tahlil uchun u chiziqli regression model sifatida ko’riladi. Ikkinchisi tenglamani ikki tarafini logarifmlash orqali chiziqliga aylantiriladi.
Regression tahlilning kontekstida (8) model parametrlarini baholashni qo’llovchi usul yordamida tavsiflash mumkin.
Quyidagilar (9) funktsiya parametrlarining eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholash uchun birlamchi shart hisoblanadi:
(12)
(13)
(14)
Bu tenglamalar umumiy yechimga ega emas. Ayrim yo’l qo’yishlardan so’ng nochiziqli regression modelni quyidagi usul yordamida aniqlamiz.
Ta’rif. Nochiziqli regression model bu yerda tenglamalar yordamida keltirilganki, bu tenglamalar uchun parametrlarning eng kichik kvadratlar usuli yordamida baholashni birlamchi shartlari nochiziqli funktsiya hisoblanadi.
Shunday qilib, chiziqsiz hisoblash texnikasi atamalarida keltirilgan bo’lib, ushbu atamalar regressiya funktsiyasi shaklini emas,balki parametrlarini baholash uchun qullaniladi.
Quyida keltirilgan model nochiziqli model hisoblanadi:
(15)
Nochiziqli regression modellar uchun olingan ko’pgina natijalar ₀ bo’lganda h(x, ) Teylor funktsiyasi chiziqli shaklga keltirilishiga asoslangan:
(16)
Yuqoridagi model chiziqlashtirilgan regression model deb ataladi. O’xshash hadlarni keltirilgan holda quyidagini olamiz:
(17)
Aytaylik, xususiy hosilaga teng bo’lsin.
Ma’lum ₀ qiymat uchun u noma’lum parametrlarni funktsiyasi emas, balki tanlanma funktsiya hisoblanadi. Endi quyidagiga ega bo’lamiz:
(18)
Ma’lum bo’lgan hadlarni tenglamaning chap tarafiga qo’yib regression modelni olamiz:
(19)
Eng kichik kvadratlar usuli - parametrlarni baholashning eng qulay usuli. Ko’p sonli tahliliy natijalar statistika uchun olingan bo’lib, bu statistika, masalan asoslilikni va asimptotik me’yoriylikni baholashda qo’llaniladi.Lekin, xatolar me’yoriy taqsimlangan holdan tashqari boshqa barcha hollarda ushbu usul samarali baholash uchun hizmat qilishiga ishonch hosil qilish mushkul.
Asimptotik natijalarni olish uchun biz ((1G’n)X) tanlanma momentlar matritsasi musbat aniqlangan Q matritsaga mos tushadi deb taxmin qilamiz. Shunga o’xshash tarda, biz xuddi shartlarni ular parametrlarni xaqiqiy qiymatlarida hisoblangan holda chiziqlilashtirilgan modellarni erkin o’zgaruvchilarga qo’yamiz. Shuning uchun quyidagi kelib chiqadi:
(20)
bunda Q - musbat aniqlangan matritsa.
Boshqatarafdan olib qaraganda, eng kichik kvadratlarni nochiziq usul bahosini asimptotik hususiyatlari berilgan.Bu holda xosilalari regressiya tenglamasini erkin o’zgaruvchilari sifatida ko’rib o’tilgan edi.
(20) matrisa musbat aniqlangan matritsa bilan mos tushishi oid shartlar o’z ichiga X erkin o’zgaruvchilari matritsasi ustunlari chiziqli erkinligini anglatuvchi chyeklamalarni olgan.
Eng kichik kvadratlarni nochiziqli usulida funktsiya mezoni bo’lib quyidagicha hisoblanadi:
(21)
Og’ish kvadratlari minimumi uchun birlamchi shart bo’lib quyidagi hisoblanadi:
(22)
Shuni ta’kidlash kerakki, quyidagi formula chiziqli model shartlari bilan mos tushadi va nochiziqli optimallash standart masalasi hisoblanadi:

Ushbu masala miqdoriy usulda hal qilinishi mumkin. ushbu holatda ko’pincha Gauss-Nüyuton usuli qo’llaniladi.
Ayrim hollarda vektor-parametr yangicha rol o’ynashi mumkin. Bu holda hisoblashlar yangidan amalga oshiriladi. Iteratsiya, vektorlarni keyingi parametrlari bilan mos tushishi taxmin bo’yicha farq kichraymagunga qadar davom ettiriladi.
Bu usulni ustunliklaridan biri shuki, bunda baho iteratsiyasi natijasi, 2 o’lchash ko’paytuvchini chyetlagan holda, asimptotik kovariatsion matritsani aniq bahosini beradi. ² bahoni asosligini quyidagi qoldiqdan foydalangan holda o’rnatish mumkin:
(23)
1G’n-k to’g’rilangan erkinlik darajasi katta ahamiyatga ega emas, chunki barcha natijalar asimptotik harakterga ega. (23)
baho maksimal aqiqatga yaqinlik bahosi hisoblanadi. Ko’rsatilganki:
, (25)
bunda
(26)
Taxminni tekshirib ko’rish va xulosa chiqarish avvaliga bo’limlardagi qo’llangan usullar yordamida amalga oshirish mumkin. Muammo regressiyani muvofiqlik mezonini baholashda vujudga keladi. Unda
(27)
va bu noldan birgacha bo’lgan qiymatlarni qabul qiladi. Lekin bu kattalik aloqa zichligini yanada aniqroq tarzda yoritib beradi.