O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

3.3.Normal taqsimot qonuni

Normal taqsimot qonuni amaliyotda eng ko‘p ishlatiladi. Boshqa qonunlar ichida uni ajratib turadigan bosh xususiyati shundaki, u limit taqsimot bo‘lib, ancha ko‘p uchraydigan tiplarga xos shartlarda boshqa taqsimot qonunlari unga yaqinlashadi

Ta’rif. uzluksiz tasodifiy miqdor va parametrlar bilan normal taqsimot qonuniga (Gauss qonuniga) ega deyiladi, agarda uning ehtimol zichligi funksiyasi ushbu
(3.11)
ko‘rinishga ega bo‘lsa.
«
Normal» atamasi unchalik qulay emas. Ko‘p alomatlar normal qonunga bo‘ysinadi, masalan, insonni bo‘yi, snaryadni uchish uzoqligi va shu kabilar. Biroq agar qaysidir alomat normaldan farqli qonunga bo‘ysunsa, bu - o‘sha alomat bilan bog‘liq bo‘lgan hodisaning «nonormalligidan» aslo darak bermaydi.
Normal taqsimot qonuni egri chizig‘ini normal yoki gauss egri chizig‘i deyiladi. 4.5 a, b-rasmlarda parametrlari va bo‘lgan, ya’ni normal egri chiziq va normal qonunga ega bo‘lgan tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining grafigi keltirilgan. Shunga e’tiborni qaratamizki, normal egri chiziq to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik, nuqtada ga teng bo‘lgan maksimumga ega, ya’ni , va ikkita nuqtalarda ordinatasi bo‘lgan buqilishga ega.
Shuni payqash mumkinki, normal qonun zichligi ifodasidagi parametrlar va harflar bilan belgilangan bo‘lib, biz ular orqali matematik kutilma va dispersiya ni belgilaymiz. Bunday mos kelish tasodif emas. Normal taqsimot parametrlarining ehtimollik-nazariy ma’nosini aniqlashtiruvchi teoremani ko‘ramiz.
Teorema. Normal taqsimot qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bu qonunning parametriga teng, ya’ni
, (3.12)
uning dispersiyasi esa – parametrga teng, ya’ni
(3.13)
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi:

almashtirish o‘tkazamiz. U holda , , integrallash chegaralari o‘zgarmaydi va demak,


(toq funksiyadan koordinat boshiga nisbatan simmetrik oraliq bo‘yicha integral sifatida, birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral - Eyler-Puasson integrali).
tasodifiy miqdorning dispersiyasi:

Avvalgi integralni hisoblashdagi kabi o‘zgaruvchini xuddi o‘shanday almashtiramiz. U holda

Bo‘laklab integrallash metodini qo‘llab, hosil qilamiz

Parametrlar va (yoki ) o‘zgarishida normal egri chiziq qanday o‘zgarishini oydinlashtiramiz. Agar bo‘lib, parametr, ya’ni taqsimot simmetriyasi markazi o‘zgarsa u holda normal egri chiziq abssissalar o‘qi bo‘ylab formasini o‘zgartirmay siljiydi (4.6-rasm).

Agar bo‘lib, (yoki ) parametr o‘zgarsa, u holda egri chiziq maksimumi ordinatasi o‘zgaradi. o‘sishi bilan egri chiziq maksimumi ordinatasi kamayadi, biroq har qanday taqsimot egri chizig‘i ostidagi yuza birga teng bo‘lib qolishi lozim bo‘lgani tufayli egri chiziq abssissalar o‘qi bo‘ylab cho‘zilib, yassiroq bo‘lib qoladi; aksincha, ni kamayishida, normal egri chiziq yuqoriga tortiladi, bir vaqtda yon tomonlaridan siqiladi. 4.7-rasmda parametrli normal egri chiziqlar ko‘rsatilgan, bu yerda . Shunday qilib, parametr (u matematik kutilma ham hisoblanadi) normal egri chiziqni vaziyatini, parametr esa (u dispersiya ham) normal egri chiziq formasini xarakterlaydi.
Tasodifiy miqdorning parametrli normal taqsimoti, ya’ni standart yoki normalashgan taqsimot, mos normal egri chiziq esa standart yoki normalashgan egri chiziq deyiladi.
Normal taqsimot qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini formula bo‘yicha bevosita topishning murakkabligi shu bilan bog‘liqki, (3.11) funksiyadan olingan integral elementar funksiyalarda «olinmaydigan» hisoblanadi. Shuning uchun uni jadvali tuzilgan

Laplas funksiyasi (ehtimollar integrali) orqali ifodalashadi. Laplas funksiyasi, Muavr-Laplas integral teoremasini ko‘rganimizda, bizga uchraganini eslatib o‘tamiz. U yerdayoq uni xossalari ko‘rilgan edi.