O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi termiz davlat universitetining termiz pedagogika instituti

1-teorema.Agar f(x,y,z) funksiya (S) sirtda berilgan va uzluksiz bo ‘lsa , u holda bu fuksiyaning (S) sirt bo ‘yicha birinchi tur sirt integrali

mavjud va

bo ‘ladi.
Isbot.(S) sirtning bo ‘linishini olaylik . uning bo ‘laklarini

bo'lsin. Bu sirt va uning bo'laklarining Oxy tekislikdagi proeksiyasi (D) sohaning bo'laklashni va uning bo ‘laklarni hosil qiladi.
bo ‘laklashiga nisbatan (1) yig ‘indini tuzamiz.

Ma’lumki, .Bu nuqtaga akslanuvchi nuqta nuqta
bo ‘ladi.Demak , formulaga binoan


bo ‘ladi.
O ‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib topamiz:

Natijada yig ‘indi quydagi


Ko ‘rinishga keladi.
Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig ‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o ‘zgartitib yozamiz:

(4)
Bu tenglikning o ‘ng tomonidagi ikkinchi qo ‘shiluchini baholaymiz :

Bunda

Ravshanki

Funksiya (D) da uzluksiz , desak ,demak, tekis uzluksiz. U holda Kantor
teoremasining natijasiga ko ‘ra olinganda ham shunday topiladiki,
(D) sohaning diametri bo ‘lgan har qanday bo ‘lishi uchun

bo ‘ladi.Unda


va demak

(4)tenglikning o ‘ng tomonidagi birinchi qo ‘shiluvchi

Esa

Funksiyaning integral yig ‘indisidir.Bu funksiya (D) sofada uzluksiz.Demak , da integral yig ‘indi chekli limitga ega va

Bo ‘ladi. Bu munosabatni etiborga olib (4) tenglikda da limitga o ‘tib topamiz.


Demak

Teorema isbot bo‘ldi.
Birinchi tur sirt intеgrallarining хоssalari. Yuqоrida kеltirilgan tеоrеma uzluksiz funktsiyalar birinchi tur sirt intеgrallarining ikki karali Riman intеgrallariga kеlishini kursatadi. Binоbarin bu sirt intеgrallar хam ikki karali Riman intеgrallari хоssalsri kabi хоssalarga ega buladi.