|
Natija 37.2
. Agar ko’paytmasidan bitta ko’paytuvchisi xosmas bo’lsa, u holda
ko’paytmaning rangi keyingi ko’paytuvchining rangiga teng bo’ladi.
Isbot
. Haqiqatan ham,
C
AB
bo’lib,
A
xosmas matrisa bo’lsin. U holda
teoremaga asosan,
r C
r A B
r B
bo’ladi. Ikkinchi tomondan,
1
B
A
C
dan
1
r B
r A C
r C
hosil bo’lib, bu ikki tenglikda
r C
r B
tenglikni o’rinli bo’lishligi kelib chiqadi.
Endi to’g’ri burchakli matrisalarni ko’paytirishidan va teskari matrisaning
xossalaridan foydalanib, Kramer qoidasining yana bir usulining isbotini keltiramiz.
Bu usul noma’lumlarini ketma-ket yo’qotish va ayniqsa determinant usuli kabi
uzundan-uzoq hisoblashlarni talab qilmaydi. Bizga
P
maydonda
n
ta noma’lumli
n
ta tenglamalar sistemasi
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...............................................
...
n n
n n
n
n
nn n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
(1)
115
berilgan bo’lib, bu sistemaning
A
asosiy matrisasining
det
0
d
A
bo’lsin. U
holda noma’lumlardan iborat ustunini
X
bilan ozod hadlardan iborat ustunini
B
bilan belgilab olamiz, ya’ni
1
1
2
2
,
n
n
x
b
x
b
X
B
x
b
.
AX
ko’paytma ma’noga ega, chunki
A
matrisaning ustunlar soni
X
matrisaning
satrlar soniga tengdir, shu bilan birga bu ko’paytma (1) sistema tenglamalarining chap
qismidan tuzilgan ustun bo’ladi. Shunday qilib, (1) sistema quyidagi matrisaviy, ya’ni
bir noma’lumli matrisaviy tenglamaga teng kuchli tenglama bo’ladi:
AX
B
.
(2)
Bu tenglama har ikkala tomonini
A
xosmas matrisaning
1
A
teskari
matrisasiga ko’paytirsak,
1
1
1
1
1
1
,
,
,
A
AX
A B
A A X
A B
EX
A B
X
A B
tenglikni hosil qilamiz. Ushbu
1
A B
matrisa bir ustunini matrisa bo’lib, uning
elementlari
1
1
2
2
1
...
j
j
nj n
A b
A b
A b
d
yig’indilardan iborat bo’ladi. Shunday topilgan
1
X
A B
ustuni matrisa (2)
tenglamaning yagona yechimi bo’ladi.
n n
tartibi tenglamalar sistemasi uchun berilgan matrisaviy tenglamani
m n
tartibli tenglamalar sistemasi uchun ham tuzish mumkin. Haqiqatan ham bizga
P
maydonda
m n
tartibli tenglamalar sistemasi
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...............................................
...
n n
n n
m
m
mn n
m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
(3)
berilgan bo’lsin. U holda noma’lumlar oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan matrisa
116
11
12
1
21
22
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
bo’lib, uning nomaelumlaridan va ozod hadlaridan tuzilgan ustunli matrisalar
1
1
2
2
,
m
m
x
b
x
b
X
B
x
b
bo’lib, (3) sistema
AX
B
(4)
matrisaviy tenglamaga teng kuchli bo’ladi. Bu matrisaviy tenglama quyidagicha
ishlanadi, agar
rankA
rankA
bo’lsa, sistema birgalikda bo’lib,
A
matrisani rangini aniqlovchi
r
M
olinib, bu
determinanti
r
M
bo’lgan
r
A
matrisa bilan va noma’lumlari oldidagi koeffisiyentlar
r
M
minor beruvchi ustunli matrisani
r
X
bilan, qolgan
n
r
ta noma’lumlarni o’ng
tomonga o’tkazib, bulardan va ozod hadlardan tuzilgan ustunli matrisani
n r
B
deb
olsak, u holda (4) tenglama
r
r
n r
A X
B
(5)
tenglamaga teng kuchli bo’lib, uning
det
0
r
r
A
M
xosmas matrisa bo’lib, (2)
matrisaviy tenglamalar yechish usuliga kelamiz, ya’ni
1
r
r
n r
X
A B
(6)
Shuni ta’kidlaymizki, bu yerda
n r
B
ustunli matrisa o’zgaruvchili matrisa bo’lib,
ozod o’zgaruvchilarining har bir qiymatida
n r
B
hosil bo’lib, unga oid
r
X
xususiy
yechimni topib olamiz. Shunga asosan, (6) ifoda
r
X
larni topuvchi umumiy
yechimlar formulasidir.
Umuman
n
M
P
matrisalar algebrasida,
,
n
A B
M
P
uchun
AX
B
yoki
XA
B
117
tenglamalarni
det
0
A
bo’lganda
1
X
A B
yoki
1
X
BA
yechish mumkin, bu yerda
1
A B
va
1
BA
har xil yechimlardir. Bundan tashqari
AX
B
C
yoki
XA
B
C
tipdagi tenglamalarni yechish mumkin bo’lib,
1
X
A
C
B
yoki
1
X
C
B A
yechimlardan iborat bo’ladi. Keltirilgan matrisaviy tenglamalar to’g’ri to’rtburchakli
tipdagi matrisalar uchun ham o’rinlidir.
Misol
.
XA
B
tenglamada
1 1
0
1
1
1
2
0
1
2
1
0 ,
1
1
1
1
1
1
3
1
0
A
B
3 3, 4 3
matrisalar bo’lib,
det
2
A
va demak
1
1 1
0
3 2
1
3 2
1 2
0
1 2
2
0
1
1 2
1
1 2
1
1
1
1
1
1
3
0
2
3 2
1
1 2
3
1
0
1 2
1
1 2
X
BA
.
118
13-ma`ruza mashg`uloti
n-tartibli arifmetik fazo. n-o’lchovli vektorlar sistemasi uchun chiziqli
bog’liklik va chiziqli erklilik tushunchalari
Reja:
1.
n-tartibli arifmetik fazo.
2.
n-o`lchovli vektorlar sistemasi.
3.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqliligi
4.
Vektorlar sistemasining chiziqli ekliligi
Tayanch iboralar:
arifmetik fazo, vektor, komponenta, vektor fazo, chiziqli
bog`liq, chiziqli erkli, ort.
Mashg`ulotning maqsadi:
talabalarda n-o`lchovli vektorlar sistemasi, ularning
chiziqli bog`liqligi yoki bog`lanmaganligi haqidagi bilim v ako`nikmalarni
shakllantirish.
Bizga bo’sh bo’lmagan
A
to’plam va qandaydir
1
n
natural son berilgan
bo’lsin.
n
A
to`plam deb, elementlari
1
2
( ,
,...,
),
,
1,
n
i
a a
a
a
A i
n
bo’lgan
to’plamni qaraymiz. Biz elementni
1
2
( ,
,...,
)
n
a a
a
ko’rinishda yozib, vektor deb
ataymiz. Bu yerdagi
1
2
,
,...,
n
a a
a
elementlarga
vektorining kompanentalari
(koordinatalari) va ixtiyoriy
i
a
elementiga
i
- komprnentasi (koordinatasi) deb
ataymiz. Ko’p hollarda
vektorni
n
- o’lchamli vektor deb ham aytiladi.
n
A
to’plamga esa
A
to’plamning
n
- o’lchamli dekart kubi deyiladi.
n
A
to’plamda
1
2
( ,
,...,
)
n
a a
a
va
1
2
( ,
,...,
)
n
b b
b
vektorlar
teng deyiladi, agar
,
1,
i
i
a
b
i
n
tengliklar o’rinli bo’lsa, aksincha vektorning mos koordinatalari
teng bo’lgan vektorlarga teng vektorlar deyiladi.
A
K
kommutativ birlik halqa uchun
n
K
dekart ko’paytmali
n
- o’lchamli
vektorlar to’plamida qo’shish amalini kiritamiz:
1
2
1
2
1
1
2
2
( ,
,...,
) ( ,
,...,
)
(
,
,...,
)
n
n
n
n
a a
a
b b
b
a
b a
b
a
b
(1)
Hosil bo’lgan
n
- o’lchamli
vektor ya’ni
n
K
to’plamga qarashli bo’ladi. Bu
amalga nisbatan
n
K
vektorlar to’plami abel gruppasini tashkil etadi. Bu yerda neytral
element vazifasi
(0, 0,..., 0)
n
o
K
koordinatalar noldan iborat bo’lgan nol vektr va ixtiyoriy
vektoriga
1
2
(
,
,...,
)
n
a
a
a
vektor qarama - qarshi vektori bo’ladi.
119
Shunga asosan ayirma
1
1
2
2
(
)
(
,
,...,
)
n
n
a
b a
b
a
b
bo’ladi.
Endi
(
, )
n
K
abel gruppasiga tashqi ko’paytma deb nomlangan ko’paytmani
quyidagicha kiritamiz:
1
2
1
2
( ,
,...,
)
(
,
,...,
),
n
n
a a
a
a
a
a
K
Do'stlaringiz bilan baham: |
