|
Nazorat uchun savollar
1.
Matritsa rangi deb nimaga aytiladi?
2.
Matritsaning rangi haqidagi teoremani ayting.
3.
Rangi 2 ga teng bo`lgan matritsaga misol keltiring.
1
0
0
1
107
12-ma`ruza mashg`uloti
Xos va xosmas matrisalar. Teskari matrisa.
Matrisalarning ko’paytmasining rangi. Matrisaviy tenglamalar.
Reja
1.
Xos va xosmas matrisalar.
2.
Teskari matrisa.
3.
Matrisalarning ko’paytmasining rangi.
4.
Matrisaviy tenglamalar
Biz ushbu mavzuimizda
n
M
K
matrisalar algebrasidagi matrisalarning
determinantlari bilan bog’liq masalalar bilan shug’ullanamiz.
Ta’rif 36.1
.
n
A
M
K
matrisaning
det
0
A
bo’lsa,
A
matrisasi xos
(maxsus) va
det
0
A
bo’lsa,
A
matrisaga xosmas (maxsusmas) matrisa deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, agar
A
xosmas yoki xos bo’lsa, u holda
2
A
transponirlangan ham xosmas yoki xos bo’ladi.
Teorema 36.2.
, ,
n
A B C
M
K
uchun
det
det
det
A B
A
B
tenglik
o’rinlidir,
ya’ni
matrisalarning
ko’paytmasining
determinanti
determinantlarining ko’paytmasiga tengdir.
Isbot. Bizga
ij
A
a
va
ij
B
b
matrisalar berilgan bo’lib, ularning
ko’paytmasi
ij
A B
C
c
bo’lsin. Bu matrisalardan
2
n
tartibli
11
12
1
21
22
2
1
2
11
12
21
22
2
1
2
...
0
0
...
0
...
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
1
0
...
0
...
0
1
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
...
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
determinantni tuzib olamiz. Laplas teoremasiga asosan
A
B
(1)
108
tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkinchi tomondan
determinantni
1, 2,...,
n
ustunlarini mos
ravishda
11
21
1
,
,...,
n
b b
b
larga ko’paytirib,
1
n
ustuniga ko’shamiz, so’ngra
12
22
2
,
,...,
n
b
b
b
larga ko’paytirib,
2
n
ustuniga ko’shamiz va hokazo
1
2
,
,...,
n
n
nn
b
b
b
ko’paytirib,
2
n
ustuniga qo’shsak,
determinant o’zgarmagan
holda, uning barcha
ij
b
elementlari nolga aylanadi. Ikkinchi tomondan yuqori o’ng
burchagida turgan nollar o’rniga
1 1
2
...
,
,
1,
i
j
i
ij
in nj
a b
a b
a b
i j
n
elementlar joylashib, bu element
C
ko’paytma matrisaning aynan
ij
c
elementining
o’zidan iboratdir va demak
11
12
1
11
12
1
21
22
2
21
22
2
1
2
1
2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1
0
...
0
0
0
...
0
0
1
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
...
0
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
nn
a
a
a
c
c
c
a
a
a
c
c
c
a
a
a
c
c
c
bo’ladi. Laplas teoremasini yana bir bor qo’llab, determinantni uning oxirgi
n
ta
ustuni bo’yicha yoyamiz.
C
minor uchun to’ldiruvchi minor
1
n
ga teng,
C
minor
1, 2,...,
n
satrlarda va
1,
2, ..., 2
n
n
n
ustunlarda joylashganligi tufayli
1
1
s
n
C
bo’lib,
2
1 2
1 2 ...
1
2 ... 2
2
2
2
n
s
n
n
n
n
n
n
n
bo’lganligi uchun
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n n
C
C
C
C
bo’ladi va nihoyat (1) dan isbotlanayotgan
109
C
A B
A
B
tenglikni hosil qilamiz.
Ushbu teorema bir nechta matrisalarni ko’paytmalari uchun ham o’rinlidir,
ya’ni
1
2
1
2
det
...
det
det
... det
s
s
A A
A
A
A
A
,
bu yerda
i
n
A
M
K
.
Teoremadan xos va xosmas matrisalar uchun muhim xossalar o’rinli bo’lishligi
kelib chiqadi.
Xossa 36.3.
1.
Xos matrisalar ko’paytmasi xosdir;
2.
Agar matrisalar ko’paytmasida biror ko’paytuvchisi xos matrisa bo’lsa, u holda
ko’paytma ham xosdir;
3.
Xosmas matrisani xosmas matrisaga ko’paytmasi xosmasdir. Umuman bir
nechta xosmas matrisalarning ko’paytmasi xosmasdir.
Xuddi shu xossalarni transponirlangan matrisalar uchun aytish mumkin, chunki
t
t
t
A B
B
A
bo’ladi (ko’rsating!).
Bu xossalarni o’rinli bo’lishini ko’rsatishni o’quvchining ixtiyoriga havola
qilamiz.
n
A
M
K
matrisaning hamma
ij
a
K
elementlarini
ij
A
K
algebraik
to’ldiruvchilardan
n
tartibli
11
21
1
12
22
2
*
1
2
...
...
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
(2)
matrisani tuzib olamiz.
*
A
matrisaga
A
matrisaning biriktirilgan (yoki o’zaro)
matrisasi deyiladi. Shunday hosil bo’lgan
*
A
yana
n
M
K
qarashlidir. Endi
*
AA
va
*
A A
ko’paytmalarni topamiz:
*
*
0
...
0
0
...
0
... ... ... ...
0
0
...
d
d
AA
A A
d
(3)
110
diagonal matrisadan iborat bo’lib, bu yerda
det
d
A
. Haqiqatan ham,
A
matrisani
i
satrini
*
A
matrisaning
i
ustunining mos ravishda ko’paytirib qo’shsak,
*
AA
matrisaning
i
satr va
i
ustuniga
1
1
2
2
...
i
i
i
i
in
ni
a A
a A
a A
element hosil bo’lib, bu element, bizga ma’lumki,
d
ga teng bo’ladi. Xuddi shunday
A
matrisani
i
satrini
*
A
matrisani
i
ustunidan farqli boshqa ustunlariga mos
ravishda ko’paytirib qo’shsak,
1
1
2
2
...
,
i
j
i
j
in
nj
a A
a A
a A
i
j
element bizga ma’lumki, nolga teng bo’ladi. Xuddi shunday
K
kommutativ halqa
bo’lganligi tufayli
*
A A
ham (3) ifodadan iborat bo’ladi. Bundan tashqari (3) dan
*
0
...
0
0
...
0
det
det
... ... ... ...
0
0
...
d
d
AA
d
*
det
det
n
A
A
d
*
det
n
d
A
d
tenglikni hosil qilamiz. Agar
K
butun sohali halqa bo’lib,
A
xosmas matrisa bo’lsa,
u holda
*
1
det
0
n
A
d
ni hosil qilamiz va demak
*
A
ham xosmas matrisa bo’ladi.
Endi
K
P
maydon bo’lib,
A
xosmas matrisa bo’lsin. U holda quyidagi
ko’paytmasi
*
*
1
1
0
...
0
1
0
...
0
0
...
0
0
1
...
0
1
... ... ... ...
... ... ... ...
0
0
...
0
0
...
1
A
A
AA
d
d
d
d
E
d
d
birlik matrisa bo’lib,
A
matrisaga
*
1
A
d
teskari matrisa
111
1
11
21
2
12
22
1
*
1
2
...
...
1
...
...
...
...
...
n
n
n
n
nn
A
A
A
d
d
d
A
A
A
A
A
d
d
d
d
A
A
A
d
d
d
bo’ladi. Tabiiyki,
1
*
1
A
A
d
ham xosmas matrisadir.
Misol
.
3
1
3
1
1 0
0
1
1
A
matrisaning determinanti
1
d
A
va demak
xosmas matrisa bo’lib, unga teskari matrisa mavjud.
A
ning algebraik to’ldiruvchilari
11
21
31
12
22
32
13
23
33
1,
2,
3,
1,
3,
3,
1,
3,
4
A
A
A
A
A
A
A
A
A
va demak tirkalgan matrisa
*
1
2
3
1
3
3
1
3
4
A
bo’lib, teskari matrisa
1
1
2
3
1
3
3
1
3
4
A
matrisadan iborat va osonlik bilan tekshirib ko’rish mumkinki
1
1
AA
A A
E
bo’ladi (tekshiring!).
P
maydonda hamma
n
tartibli xosmas matrisalar to’plamini
,
GL n P
yoki
n
GL
P
bilan belgilab olamiz,
,
n
GL n P
M
P
. U holda
,
GL n P
matrisalarni ko’paytirish amaliga nisbatan nokommutativ gruppa bo’ladi. Haqiqatan
112
ham,
,
,
A B
GL n P
dan
n
A B
GL
P
bo’ladi, chunki
A B
xosmas
matrisa. Bundan tashqari
n
GL
P
da assosiativlik qonuni o’rinli, aks holda u
n
M
P
da ham o’rinli bo’lmasligi mumkin.
n
E
GL
P
, chunki
1
E
va nihoyat
n
A GL
P
matrisaga
1
A
teskari
matrisa mavjud bo’lib, u xosmasdir va demak
1
n
A
GL
P
.
n
GL
P
gruppaga
to’liq chiziqli gruppa deb ataladi va bu gruppa zamonaviy algebrada muhim ahamiyat
kasb etadi. O’z navbatida bu gruppada markaziy rolni o’ynovchi uning
, det
1
n
n
SL
P
A
GL
P
A
qism gruppasidir (tekshiring!) bu qism gruppaga maxsus chiziqli gruppa yoki gohida
unimodulyar gruppa deb ham atashadi. Albatta ayrim adabiyotlarda determinanti
1
ga teng bo’lgan
n
UL
P
qism gruppani unimodulyar gruppalar deb yuritiladi.
Bundan tashqari
*
:
\ 0
n
f GL
P
P
P
*
det
n
GL
P
A
A
P
akslantirish syuryektiv gomomorf akslantirish
(tekshiring!) bo’lib, uning yadrosi
n
Kerf
SL
P
iborat bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
