|
Ta’rif 4.2.
Agar
A
da kiritilgan binar amal
ab c
a bc
,
, ,
a b c
A
uchun o’rinli bo’lsa, bunday amalga assosiativ deyiladi.
Ta’rif 4.3.
Agar algebraik sistemadagi amal assosiativ bo’lsa, bunday
to’plamga yarimgruppa (polugruppa) deyiladi.
Masalan,
natural sonlar to’plami
n
m
qo’shish va
n m
ko’paytirish
amallariga nisbatan yarimgruppaalar bo’ladi.
Teorema
4.4.
Har
qanday
,
m n
va
A
yarimgruppaning
1
2
,
,...,
n m
a a
a
A
uchun
1
2
1
1 2
,
,...,
,...,
...
n
n
n m
n m
a a
a
a
a
a a
a
(1)
tengligi o’rinli.
Bu teoremaning isboti matematik induksiya metodi yordamida ko’rsatiladi va
uni o’quvchining ixtiyoriga havola qilinadi.
Teorema 4.4.dagi (1) tenglik umumlashgan assosiativlik qonuni deb ataladi. Bu
qonun shuni ko’rsatadiki, ushbu
1 2
...
n
a a
a
ifodaning qiymati (berilgan amalga
nisbatan) qaysi tartibda bajarilishiga, ya’ni bu tartibli aniqlovchi qavslarni qanday
qo’yishiga bog’liq emas.
Agar yarimgruppadagi amal ko’paytma bo’lsa,
1
2
1
...
n
n
i
i
a a
a
a
ko’rinishda va agar
1
2
...
n
a
a
a
a
bo’lsa, uni
n
a
ko’rinishda yoziladi. Bu
belgilashlardan va (1) tenglikdan
,
m
n
m
n m
n
nm
a
a
a
a
a
(2)
tengliklarning o’rinliligi bevosita kelib chiqadi.
47
Agar
A
yarimgruppada binar amalining belgisida
a
b
qo’shish belgisi
ishlatilsa, (1) tenglik
1
2
1
...
n
n
i
i
a
a
a
a
yig’indi ko’rinishda yoziladi. Bu
holda (1) tenglik ushbu
1
1
1
n
n
n m
i
n j
k
i
i
k
a
a
a
ko’rinishga ega bo’ladi.
Agar
1
2
...
n
a
a
a
a
bo’lsa,
1
n
i
i
a
na
bo’ladi. Bu belgilashlarga
ko’ra (2) tengliklar ushbu
,
na
ma
n
m a m na
mn a
(3)
ko’rinishga ega bo’ladi (
,
n m
).
Ta’rif 4.5.
A
yarimgruppaning
,
a
A e
A
ae
ea
a
tenglik o’rinli bo’lsa,
e
elementga neytral element deyiladi.
Agar
A
dagi amal ko’paytirish amali bo’lsa,
e
ga birlik va qo’shish amali
bo’lsa,
e
ga nol element deyiladi va mos ravishda 1 va 0 raqamlari orqali yoziladi.
Teorema 4.6.
A
to’plamda berilgan binar amal uchun neytral element mavjud
bo’lsa, u yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik,
A
da ikkita
1
2
,
e e
neytral elementlar mavjud bo’lsin. U
holda
1 2
2 1
2
e e
e e
e
va
2 1
1 2
1
e e
e e
e
tengliklarni olamiz. Bulardan
1
2
e
e
tenglik kelib chiqadi.
Teoremaning isbotidan ko’rinib turibdiki,
A
ning yarimgruppa bo’lishiga
ahamiyatga ega emas.
Ta’rif 4.7.
Neytral elementga ega bo’lgan yarimgruppaga monoid deyiladi.
Masalan,
,
polugruppa bo’lib, u monoid ham bo’ladi, chunki 1 soni birlik
(neytral) vazifasini bajaradi, lekin
,
polugruppa bo’lib, monoid bo’lmaydi,
chunki
da 0 soni, ya’ni neytral element mavjud emas.
A
monoid,
e
A
neytral element va
a
A
biror element bo’lsin. Agar
b
A
element
ab
ba
e
tenglik o’rinli bo’lsa,
b
element
a
ga teskari deyiladi. Agar
A
dagi binar amal
qo’shish amali bo’lsa, “teskari” so’zi o’rniga “qarama-qarshi” so’zi ishlatiladi.
48
Har qanday monoidda ham unda berilgan elementning teskarisi mavjud
bo’lavermaydi, lekin kamida bitta teskari element mavjuddir, bu
e
neytral
elementning o’zidir (bu element o’zi-o’ziga teskarilanuvchidir).
Masalan,
,
monoidda 1 sonidan boshqa teskari elementlar mavjud emas.
Teorema 4.8.
Agar
A
monoidning berilgan
a
elementi uchun teskarisi mavjud
bo’lsa, u yagonadir.
Isbot. Faraz qilaylik,
b
va
c
elementlar
a
ga teskari bo’lsin. U holda
,
ab
ba
e ac
ca
e
va
b
be
b ac
ba c
ec
c
,
ya’ni
b
c
ekanligi kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, ko’paytirish amaliga nisbatan teskari element
1
b
a
ko’rinishda va qo’shish amaliga nisbatan qarama-qarshi element
b
a
ko’rinishda
yoziladi.
Bizga
,*
A
va
,
B
algebraik sistemalar berilgan bo’lsin.
Ta’rif 4.9.
Agar
:
f
A
B
akslantirish va
,
a b
A
uchun
*
f a b
f a
f b
tenglik o’rinli bo’lsa,
f
akslantirishga
A
ning
B
ga gomomorfizmi deyiladi.
Ta’rifdan ko’rinib turibdiki,
f
gomomorfizm,
A
va
B
dagi amallarni saqlaydi
va bundan tashqari gomomorfizm ta’rifidan yarimgruppa va monoidlar uchun ham
o’rinlidir.
Misol
.
to’plam ko’paytirish
qo’shish amallariga nisbatan monoid
bo’lib,
:
,
ln :
ln
f
f
x
x
akslantirishni qaraymiz. U holda
ln
ln
ln
x y
x
y
bo’ladi va demak
ln
f
logarifmik akslantirish gomomorfizmni beradi.
Teorema 4.10.
:
,*,
, ,
f
A
e
B
e
monoidlar gomomorfizi (bu yerda
e
va
e
lar
*,
amallarga nisbatan neytral elementlar) neytral elementni neytral
elementga va agar
A
monoidda teskari element mavjud bo’lsa, teskari elementni
teskari elementga o’tkazadi.
Isbot.
*
f e
f e e
f e
f e
va demak
f e
B
neytral element
bo’lib, neytral elementning yagonaligidan
f e
e
bo’ladi. Xudi shunday
49
*
f e
f a b
f a
f b
dan
f b
ni
f a
ga teskari element ekanligi
kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Shuni ta’kidlaymizki,
1
1
f a
f a
bo’lib, monoidda mavjud bo’lgan
hamma teskarilanuvchi elementlarning to’plami qism to’plam bo’lib, bu qism to’plam
monoid bo’ladi va unga qism monoid deyiladi.
Nazorat uchun savollar
1.
n
o’rinli algebraik amal ta’rifini ayting.
2.
Binar amal va algebraik sistema qanday ta’riflanadi?
3.
Yarimgruppa ta’rifi qanday bayon etiladi?
4.
Monoid va uning yarim gruppadan farqini ayting.
5.
Binar amal uchun neytral elementning yagonaligini isbotlang.
6.
Algebraik sistemalarga misollar keltiring.
Gomomorfizmlarning yarimgruppalar va monoidlar bilan bog’liq xossalarini
keltiring.
50
6-ma`ruza mashg`uloti
ChIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMALARI VA ULARNING
MATRISALARI
Reja
1.
Chiziqli tenglamalar sistemalari
2.
Chiziqli tenglamalar sistemalarning matrisalari
Bizga
K
halqada
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
...............................................
...
,
n n
n n
m
m
mn n
m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
(1)
tengliklar berilgan bo’lib,
1
2
,
, ...,
n
x x
x
noma’lumlar va uning oldidagi
11
12
,
, ...,
nn
a
a
a
K
elementlarga
noma’lumlar
oldidagi
koeffisiyentlar,
1
2
,
,...,
n
b b
b
K
elementlari esa ozod hadlarga ega bo’lgan
n
ta noma’lumli
m
ta
chiziqli tenglamalar sistemasi yoki
n m
tartibli tenglamalalar sistemasi yoki
qisqacha tenglamalar sistemasi deb ataymiz. Ko’p hollarda qulaylik uchun nima haqda
so’z yuritilishi ma’lum bo’lsa sistema deb ham yuritamiz. Sistemadagi
ij
a
koeffisiyentlarning
,
i j
indeksi, shu koeffisiyentning
i
nchi tenglamaning
j
nchi
noma’lumli oldida turuvchi hadi tushuniladi.
Agar (1) sistemada hamma ozod hadlar
0,
1,
i
b
i
m
bo’lsa, unga bir jinsli
tenglamalar sistemasi deb ataladi. Ko’p hollarda bunga nisbat berib, (1) sistema bir
jinsli bo’lmagan sistema sistema deb ham yuritiladi. Agar (1) sistemada
m
n
bo’lsa,
bu sistema
n
tartibli sistema ham deb o’qiladi.
(1) sistemaning yechimi deb, shunday
0
0
0
1
2
,
,...,
n
x x
x
K
elementlarga
aytiladiki, bu elementlarni tenglamalarning har biridagi
i
x
noma’lumlari o’rniga mos
ravishda
,
1,
i
x i
n
lar bilan almashtirishda (1) sistemaning har bir tenglamasi
ayniyatga aylansa.
Yechimga ega bo’lgan tenglamalar sistemasiga birgalikda bo’lgan sistema
deyiladi.
Masalan, bir jinsli tenglamalar sistemasi hamma vaqt birgalikda, chunki
0
0,
1,
i
x
i
n
lar uning yechimi bo’ladi.
51
Agar (1) sistema yagona (faqat bitta) yechimga ega bo’lsa, unga birgalikda aniq
va agar bittadan ortiq yechimlarga ega bo’lsa aniqmas sistema deyiladi.
Birorta ham yechimlarga ega bo’lmagan sistemalarga birgalikda bo’lmagan
sistemalar deyiladi.
Shuni ta’kidlaymizki, (1) sistemani ko’p hollarda qulaylik uchun qisqacha
1
1,
n
ik
k
i
k
a x
b
i
m
(2)
va agar bir jinsli bo’lsa,
1
0
1,
n
ik
k
k
a x
i
m
Do'stlaringiz bilan baham: |
