O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

3.10. Broyden usuli 
Nyuton-Rafson usuli juda yaxshi yaqinlashishni beradi, ammo Yakob matritsas-
ining teskarisini hisoblash juda ko‘p mashina vaqtini oladi. Bunday hollarda Yakob 
matritsasini hisoblash o‘rniga biror boshqa yaqinlashishni tuzish uslubi 
kvazinyuton 
usullar 
(
algoritlar
) deb ham ataladi. Ana shunday usullardan biri bu 1965 yilda taklif 
etilgan 
Broyden usuli
bo‘lib, u Nyuton-Rafson usulining takomillashtirilgan varianti 
hamda u yuqorida ta’kidlangan kamchilikdan holi. Bu usulning quyidagi ikkita mu-
him farqlari mavjud: 
1)
iteratsiyalarning har bir qadamida Yakob matritsasi to‘g‘risi yoki teskarisi 
hisoblanmaydi, o‘zgaruvchilar chetlashishini sonli baholash uchun qo‘shimcha 
funksiyalar hisoblanilmaydi, faqatgina sxema o‘zgarmas matritsasining mavjudligini 
topishdagi funksiyalardangina foydalaniladi; 
2)
yechimning yaqinlashishini ko‘rsatuvchi so‘nish koeffitsiyenti har bir iter-
atsiyada hisoblanadi, bu o‘z navbatida, Broyden usulining yutug‘i bo‘lib, Nyuton-
Rafson usuli yaqinlashishni kafolat bera olmaydi. Bundan tashqari, bu koeffitsiyent 

---

131 
hatto, hali yechim topilmagan bo‘lsa ham, hisoblash xatoligini baholash imkonini be-
radi. 
Broyden usulining mazmuni quyidagicha: 
Nyuton-Rafson formulasi bo‘yicha navbatdagi 
x
(
k
+1)
yaqinlashishni olish uchun 
k
-yaqinlashishga tuzatma vektor qo‘shiladi, ya’ni: 


)
(
1
)
(
)
1
(
k
k
k
f
W
x





;
)
1
(
)
(
)
1
(





k
k
k
x
x
x
. 
Broyden usulida bu tuzatmaning hammasidan emas, balki uning bir qismidan 
foydalanilmaydi: 
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(





k
k
k
k
x
x
x

, 
bu yerda 
)
(
k

- skalyar koeffitsiyent shunday tanlanadiki, 
)
1
(

k
f
vektor yoki uning 
maksimal qiymat qabul qiluvchi elementi normasi minimumlashtiriladi (yoki ka-
maytiriladi). Agar Nyuton-Rafson usulining yaqinlashishi ta’minlangan bo‘lsa, u 
holda 
)
(
k

>1 ni tanlash hisobiga Broyden usuli juda katta yaqinlashishga erishadi. 
Aksincha, agar Nyuton-Rafson usulining yaqinlashishi ta’minmalangan bo‘lsa, u 
holda 
)
(
k

<1 ni tanlash hisobiga bu yaqinlashish ta’minlanadi. 
Broyden usuli Yakob matritsasi va uning teskarisini hisoblash bilan bog‘liq 
bo‘lgan Nyuton-Rafson usulining qiyinchiligini bartaraf qiladi. Bunga iteratsiyaning 
har bir qadamida Yakob matritsasining o‘rniga quyidagi formula bilan berilgan ya-
qinlashishni hisoblash evaziga erishiladi: 




 
 


)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
k
T
k
k
T
k
k
k
k
k
k
k
k
f
f
H
x
H
x
f
f
H
x
H
H












. (3.33) 
Broyden usulining algoritmi quyidagicha: 
1.
x
(0)
boshlang‘ich yaqinlashish tanlanadi. 
2.
Yakob matritsasi 
W
(0)
ning teskarisini hisoblash bilan 
H
(0)
matritsaning bosh-
lang‘ich qiymati hisoblanadi. 
3.
 
)
(
)
(
k
k
x
f
f

, 
k
=0,1,2, … hisoblanadi. 
4.
)
(
)
(
)
(
k
k
k
f
H
x


hisoblanadi. 
5.
)
(
k

koeffitsiyent shunday tanlanadiki, 
)
(
)
1
(
k
k
f
f


bo‘lsin. 
6.
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(





k
k
k
k
x
x
x

hisoblanadi. 
7.
)
1
(

k
f
matritsa normasining yaqinlashishi tekshiriladi. 
8.


)
(
)
1
(
k
k
f
f


hisoblanadi. 
9.
)
1
(

k
H
matritsa (33) formula bo‘yicha hisoblanadi. 
10.
Hisoblash jarayoni 3-qadamdan takrorlanadi. 
Misol. 
Ushbu

---

132 
 
 












0
2
,
0
1
,
2
2
3
5
1
y
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishini 
)
,
(
0
0
0
y
x
X

= (2; 2) deb olib, 
uning aniq yechimi 
)
,
(
y
x
