|
Matematik paketlar va MS Excel dan foydalanib, formulalar bo‘yicha taqribiy
hisoblashlarni bajarishga oid namunaviy misollar va ularning yechimlari
1-misol.
Hisoblashlar jarayonida biror miqdorlarning quyidagi taqribiy
qiymatlari olingan:
a
= 5,256;
b
= 2,892. Agar ularning chin qiymatlari
A
= 5,158 va
B
= 2,814 bo‘lsa, u holda bu natijalardan qaysi biri aniqroq ekanligini aniqlang.
Yechish:
Berilgan sonlarning absolyut xatoliklari hisoblaylik:
(
a
) =
a
–
A
=
5,256–5,158
0,098 ;
(
b
)
=
b
–
B
=
2,892–2,814
0,078 .
Endi ularning nisbiy xatoliklarini hisoblaylik:
(
a
)=
(
a
) /
a
= 0,098/5,256 = 0,018645 = 1,86%;
(
b
)=
(
b
) /
b
= 0,078/2,892= 0,026971 = 2,7%.
Shunday qilib,
(
a
)<
(
b
) ekan, demak birinchi soning taqribiy qiymati aniqroq.
Hisoblashlarni Maple matematik paketida tekshiramiz:
>
with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]):
a
:=5.158:
A
:=5.256:
a
:=
AbsoluteError
(
a
,
A
);
a
:=RelativeError(
a
,
A
);
b
:=5.158:
B
:=5.256:
b
:=
AbsoluteError
(
b
,
B
);
b
:=
RelativeError
(
b
,
B
);
a
:=0.098
a
:=0.01864535769
b
:=0.078
b
:=0.02697095436
Agar natijalarni yaxlitlash lozim bo‘lsa, u holda:
a
:=
AbsoluteError
(
a
,
A,digits=6
);
a
:=RelativeError(
a
,
A,digits=7
);
2-misol.
Quyidagi tengliklardan qaysi biri aniqroq ekanligini aniqlang:
a
= 9/11 = 0,818;
b
=
18
= 4,24.
Yechish.
Berilgan ifodalarning qiymatlarini kattaroq aniqlikda topaylik:
A
= 0,81818…;
B
= 4.2426… .
Endi ularning absolyut xatoliklarini hisoblaylik:
a
–
A
=
0,81818–0,818
0,00018 =
(
a
);
b
–
B
=
4,2426–4.24
0,0026 =
(
b
).
Ularning nisbiy xatoliklarini hisoblaylik:
(
a
) =
(
a
) /
a
= 0,00019/0,818 = 0,00022 = 0,022%;
(
b
) =
(
b
) /
b
= 0,0027/4,24 = 0,000623 = 0,062%.
Shunday qilib,
(
a
) <
(
b
) ekan, demak 9/11 = 0,818 tenglik aniqroq.
Bu hisoblashlarni MS Excel dasturida bajaramiz (1.6-rasm):
Boshlang‘ich ma’lumotlar
C2:C3
,
E2:E3
yacheykalarga yoziladi. Absolyut
xatolar:
C4
yacheykada
a
–
A
ning qiymati
(=ABS(C2-C3)
),
E4
yacheykada
b
–
B
ning qiymati
(=ABS(E2-E3)
) hisoblanadi. Nisbiy xatolar:
C5
yacheykada
(
a
)
/
a
ning qiymati (
=C4/ABS(C2)
),
E5
yacheykada
(
b
)/
b
ning qiymati
(
=E4/ABS(E2)
) hisoblanadi.
C6
yacheykaga
C5
ning,
E6
yacheykaga
E5
ning foiz
40
miqdori
o‘tkaziladi.
Xulosa:
C6
va
E6
yacheykalar
taqqoslanadi
(=ЕСЛИ(C6>E6),A,B
).
1.6-rasm. Taqribiy miqdorlarning nisbiy xatoliklarini baholash.
3-misol.
Ushbu
a
c
b
a
x
3
funksiyaning
02
,
0
34
,
1
A
,
05
,
0
98
,
7
B
,
1
,
0
74
,
52
C
qiymatlar uchun
a
)
x
– chegaraviy absolyut xatolikni toping;
b
)
(
x
)
– absolyut xatolikni toping;
c
)
(
x
) – nisbiy xatolikni hisoblang;
d
)
x
– chegaraviy
nisbiy xatolikning qiymatini baholang. Hisoblashlarni MS Excel dasturida bajaring.
Yechish.
a
) Dastlab berilgan
x
funksiya uchta
a
,
b
,
c
o‘zgaruvchilarning
funksiyasi. Chegaraviy absolyut xatolikni baholash uchun quyidagi formuladan
foydalanamiz:
c
b
a
x
c
x
b
x
a
x
.
Berilgan
a
c
b
a
x
3
funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
2
3
2
3
3
2
3
3
a
c
b
c
a
c
b
a
a
c
b
a
c
a
c
b
a
a
c
b
a
const
c
b
a
x
a
a
,
3
1
)
(
)
(
]
,
[
3
3
b
a
c
a
b
a
c
a
const
c
a
b
x
b
.
)
(
)
(
1
1
]
,
[
2
3
2
3
3
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
const
b
a
c
x
c
MS Excel jadvalining
A2:B7
yachykalari blokiga boshlang‘ich ma’lumotlarni
kiritamiz (1.7-rasm).
C2:C7
yacheykalarda
a
x
,
b
x
,
c
x
- xususiy hosilalarning
qiymatlari hisoblanadi. Chegaraviy absolyut xatolikni hisoblash uchun
F9
yacheyka-
da ushbu
c
b
a
c
x
b
x
a
x
formula yoziladi.
41
b
)
D2:D7
yacheykalarda o‘zgaruvchilarning yuqori bahosi qiymatlarini
hisoblaymiz:
a
+
=
a
+
(
a
)=1,34+0,02 (
=A3+B3
), xuddi shunday,
b
+
=
b
+
(
b
)
(
=A5+B5
) va
c
+
=
c
+
(
c
) (
=A7+B7
) larni ham.
B9
yacheykada funksiyaning yuqori
bahosi qiymatini hisoblaymiz:
a
c
b
a
x
3
. Xuddi shunday, funksiyaning
quyi bahosi qiymatini
E2:E7
yacheykalardagi
a
-
=
a
–
(
a
) = 1,34–0,02,
b
-
=
b
–
(
b
),
c
-
=
c
–
(
c
) qiymatlardan foydalanib
B10
yacheykada hisoblaymiz:
a
c
b
a
x
3
.
Funksiyaning
absolyut
xatoligi
qiymati
ushbu
x
x
x
2
1
)
(
formuladan
F11
yacheykada topiladi. Topilgan absolyut xatolik
(
F11 yacheyka
) chegaraviy absolyut xatolik (
F9 yacheyka
) dan katta bo‘lmasligi
kerak, ya’ni
x
x
)
(
.
1.7-rasm. Absolyut va nisbiy xatolikni baholash.
c
) Ushbu boshlang‘ich ma’lumotlardan
B11
yacheykada
x
funksiyaning qiymati
topiladi,
F11
yacheykada esa yuqorida topilgan
(
x
) absolyut xatolikdan foydalanib
uning
(
x
) nisbiy xatoligi hisoblanadi.
d
) Berilgan funksiyaning chegaraviy nisbiy xatoligini yuqorida keltirilgan for-
mulalarga ko‘ra quyidagicha ifodalaymiz:
.
3
1
3
1
3
1
3
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
x
42
Ushbu formula
F12
yacheykaga yoziladi, nisbiy xatolik chegaraviy nisbiy xatolikdan
oshib ketmaganligiga ishonch hosil qilinadi, ya’ni
x
x
)
(
.
4-misol.
Arifmetik amallar xatoligini Mathcad matematik paketidan foydalanib
toping.
Yechish.
Faraz qilaylik,
x
va
y
sonlar
x
va
y
absolyut xatoliklari bilan beril-
gan:
x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 2.536 y : = 0.001
U holda ularning nisbiy xatoliklari:
x: = 3.94 x 10
-5
y: = 3.94 x 10
-4
Bu sonlar yig‘indisi va ayirmasining xatoliklarini topamiz:
S1 : = x + y S1 : = x + y
S1 = 5.0738 S1 = 1.1 x 10
-3
S1 = 2.17 x 10
-4
S2 : = x - y S2 : = x + y
S2 = 1.8 x 10
-3
S2 = 1.1 x 10
-3
S2 = 0.61
Demak, ayirmaning nisbiy xatoligi yig‘indining nisbiy xatoligiga qaraganda
2000 marta katta.
Endi
x
va
y
ning boshqa qiymatlarida ko‘paytma va bo‘linmaning xatoligini
hisoblaymiz:
x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 0.006 y : = 0.001
Sonlarning nisbiy xatoliklari:
S3 = 0.015227 S4 = 422.966667
S3 : = x + y S4 : = x + y
S3 : = | S3 | x S3 S4 : = | S4 | x S4
S3 = 6.604259 x 10
-6
S4 = 0.183452
Do'stlaringiz bilan baham: |
