O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti

To‘plamlar va ularning elementlari To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar yordamida tasavvur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yektlarni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, maktabdagi o‘quvchilar to‘plami va h.k. Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talabalar to‘plami – guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘plami – gala, qo‘ylar to‘plami – poda va h. k. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi ob’yektlar – bu to‘plamning elementlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi natural sonlar, o‘quvchilar, talabalar, nuqtalar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining bosh harflari bilan, ularning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgilanadi. A to‘plam a, b, c, d, e, f elementlaridan tuzilganligi A={a, b, c, d, e, f} ko‘rinishda yoziladi. To‘plam bir qancha elementlardan iborat bo‘lishi mumkin, quyidagi yozuv: aA, a elementning A to‘plamga tegishliligini bildiradi. Agar aA bo‘lsa, u holda «a element A to‘plamga tegishli», «a element A to‘plamning elementi», «a element A to‘plamda mavjud» yoki «a element A to‘plamga kiradi» deb o‘qiladi. aA yoki aA yozuv esa a elementni A to‘plamga tegishli emasligini bildiradi. Masalan, A – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin, u holda 2A, 5A, 628A va 729A bo‘ladi. 2-ta’rif. To‘plamning elementlari soniga to‘plam quvvati deyiladi va n(A) kabi belgilanadi. Masalan, A={a,b,c,d,e,f,g} to‘plamning quvvati n(A)=7ga, B={a}to‘plamning quvvati n(B) = 1 ga, C={b,d,f} to‘plamning quvvati n(C)=3 ga, D={a,g} to‘plamning quvvati n(D)=2 ga teng. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo‘lgan to‘plamlar teng quvvatli to‘plamlar deyiladi. Masalan, A={a,b,c} va C={b,d,f} to‘plamlar teng quvvatli. n(A) = n(C) = 3. To‘plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning ma’lum bir to‘plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatli aniqlangan bo‘lsa, to‘plam berildi deyiladi. Sonli to‘plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to‘plam elementi belgisi, vertikal chiziq va undan keyin to‘plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan: «M ‒ 6 sonidan kichik bo‘lgan natural sonlar» to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plam xarakteristik xossasi orqali M={n |nN va n < 6} ko‘rinishda ifodalanadi Shunga o‘xshash: C={c|c<9, C N}. «C‒9 sonidan katta bo‘lmagan natural sonlar» to‘plami. X={x| -4=0, x R} bo‘lsa, x‒ -4=0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami bo‘ladi. Y={y|-2≤y≤6, y R} bo‘lsa, Y‒ -2 dan 6 gacha bo‘lgan butun sonlar to‘plami hisoblanadi. Ba'zi bir sonli to‘plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: N-natural sonlar to‘plami, Z–butun sonlar to‘plami, N₀–butun nomanfiy sonlar to‘plami, Q–ratsional sonlar to‘plami, R–haqiqiy sonlar to‘plami. To‘plam turlari. To‘plamlar ularni tashkil etuvchi elementlari soniga ko‘ra 3 turda bo‘ladi: 4-ta’rif: Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va Ø ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamning quvvati n(Ø)=0 ga teng. Masalan, +4=0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami, oydagi daraxtlar to‘plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to‘plami bo‘sh to‘plamlardir. 5-ta’rif: To‘plam chekli sondagi elementlardan tashkil topsa, chekli to‘plam deyiladi. Masalan, lotin alifbosi harflari to‘plami, kamalak ranglari to‘plami, raqamlar to‘plami chekli to‘plamlardir. A={a}, B={a,b}, C={a,b,c}to‘plamlar chеkli bo‘lib, ular mоs ravishda bitta, ikkita va uchta elеmеntlardan tuzilgan. 6-ta’rif: To‘plam elementlari soni cheksiz bo‘lsa, bunday to‘plam cheksiz to‘plam deyiladi. Masalan, A={1,2,3,…,n,…}, B={2,4,6,…,2n,…} va barcha ratsional sonlar to‘plami, tekislikdagi nuqtalar to‘plami kabi to‘plamlar chеksiz to‘plamdir. Teng to‘plamlar. To‘plam osti. Universal to‘plam. 7-ta’rif: Bir xil elementlardan tashkil topgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi. Masalan, -4=0 tenglamaning yechimlari to‘plami va |x|=2 tenglamaning yechimlari to‘plami teng to‘plamlardir. Teng to‘plamlar aynan bir xil element-lardan tuziladi va faqat elementlar tartibi bilangina farqlanishi mumkin. 8-ta’rif: B to‘plamning har bir elementi A to‘plamga tegishli bo‘lsa, B to‘plamni A to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deyiladi, buni quyidagicha belgilanadi: B⊂A yoki A B. Masalan, A={a,b,c,d,e,f,g} to‘plam uchun B={a}, C={b,d,f}, D={a,g} to‘plamlarning har qaysisi to‘plam ostidir. Shuning bilan birga bo‘sh to‘plam istalgan to‘plamning va har bir to‘plam o‘zining to‘plam osti (qism to‘plami) bo‘ladi. Quyidagi xossadan ko‘pincha to‘plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi. Agar A⊂B va B⊂A bir vaqtda o‘rinli bo‘lsa, A=B bo‘ladi. Ya‘ni A to‘plamning istalgan elementi B to‘plamga tegishli ekani va B to‘plamning istalgan elementi A to‘plamga tegishli ekani isbotlangan bo‘lsa, bu to‘plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi. 9-ta’rif. B to‘plamning barcha elementlari A to‘plamda mavjud bo‘lib, shu bilan birga A da B ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa, B to‘plam A to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi va A⊆B kabi belgilanadi. 10-ta’rif. A to‘plamning o‘zi va Ø to‘plam shu A to‘plamning xosmas qism to‘plami deyiladi. 11-ta’rif. Agar A1, A2,..., An to‘plamlar A to‘plamning qism to‘plami bo‘lsa, A to‘plam A1, A2,..., An to‘plamlar uchun universal to‘plam deyiladi. Universal to‘plam, odatda, I yoki U harflari bilan belgilanadi. Universal to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud bo‘lib, ulardan biri U ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos qism to‘plamlar bo‘ladi.