O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika – matematika fakulteti Matematika kafedrasi Matematika o’qitish metodikasi ta’lim yo’nalishi

-§Funksiyani maksimum va minimumga ikkinchi tartibli hosila yordamida tekshirish

Faraz qilamiz, x=x₁ nuqtada f’(x)=0 va f”(x) mavjud va x₁ nuqtaning biror atrofida uzluksiz bo’lsin.

TEOREMA: f’(x)=0 bo’lsin va f”(x)<0 bo’lsa, funksiya x₁=x nuqtada maksimumga aksincha, f’(x)>0 da minimumga ega bo’ladi.

Agar kritik nuqtada f”(x)=0 bo’lsa funksiya x=x₁ nuqtada yoki maksimum yoki minimum bo’lishi yoki na maksimum, na minimum bo’lmasligi mumkin. Bu holda tekshirishni 1- hosila yordamida olib borish kerak.

Funksiyani 2- tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshirish sxemasini quyidagi jadvalda tasvirlash mumkin.

F’(X)	F”(X)	Kritik nuqtaning xarakteri
0	-	Maksimum nuqtasi
0	+	Minimum nuqtasi
0	0	Noma’lum

11

Misollar: f(x)= x⁴e^-x2
f ^|(x) = 4x³ e^{ x}2 -2x^{5 e x}2 =x^{3 e x}2 (4-2x²)
f ^|(x)=0, x^{3 e x}2 (4-2x²)=0; ^{e x}2 0 x³=0, x₃=0

4-2x²=0,
X₁₌ x₂=-

Demak, funksiya x₁=-

X₂=0 x₃= kritik nuqtalarga ega.

f ^||(0)=0; f ^||(- ² )<0, f ^||(² )<0. Demak, funksiya x=- va x= nuqtalarda maksimumga ega va bu qiymat
f(² )=4/e² ga teng bo’ladi.
x=0 kritik nuqtani 1- tartibli hosila yordamida tekshiramiz.
f ^|(-1)<0 va f ^|(1)>0
Demak, x=0 nuqtada funksiya f(0)=0 ga teng bo’lgan minimumga erishadi.
f ^||(0)=0; f ^||(- ² )<0, f ^||(² )<0. Demak, funksiya x=- va x= nuqtalarda maksimumga ega va bu qiymat
f(² )=4/e² ga teng bo’ladi.
x=0 kritik nuqtani 1- tartibli hosila yordamida tekshiramiz.
f ^|(-1)<0 va f ^|(1)>0

Demak, x=0 nuqtada funksiya f(0)=0 ga teng bo’lgan minimumga erishadi.

12
Funksiyaning kesmadagi eng kata va eng kichik qiymatlari
y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning hamma nuqtalarida uzluksiz bo’lsin deb faraz qilaylik. Bu holda shu kesmada funksiya eng katta qiymatga ega bo’ladi.
Funksiya [a, b] kesmada o’zining eng katta qiymatiga kesmaning yo bosh nuqtasida, yo oxiri nuqtasida, yo bo’lmasa funksiya uchun maksimum bo’lgan ichki nuqtasida yotishi mumkin. Funksiya o’zining eng kichik qiymatiga kesmaning yo boshida, yo oxirida, yo bo’lmasa funksiya uchun minimum nuqta bo’lgan ichki nuqtada yotishi mumkin.
[a, b] kesmadagi y=f(x) uzluksiz funksiyaning shu kesmada eng katta va eng kichik qiymatlari quyidagi sxema bo’yicha aniqlanadi.

1. 
   funksiyaning kesmadagi barcha maksimumlari va minimumlari topiladi;
   
2. 
   kesmaning bosh va oxirgi nuqtalarida funksiyaning f(a) va f(b) qiymatlari hisoblanadi;
   
3. 
   funksiyaning yuqorida topilgan barcha qiymatlari orasidan eng kattasi va eng kichigi tanlab olinadi, ana shu qiymatlar funksiyaning berilgan kesmadagi eng katta va eng kichik qiymati bo’ladi.
   

Misollar: u=f(x)=2x³-3x²-12x+1 funksiyaning [-2; 5/2] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.

Yechish. Funksiyaning [-2; 5/2] kesmadagi maksimum va minimumlarini topamiz
f ^|(x)=6x²-6x-12
f ^»(x)=0=>6x²-6x-12=0 yoki
x²-x-2=0; x₁=-1; x₂=2.
Funksiyaning 2-tartibli hosilasini topamiz va kritik nuqtalarda f ^||(x)=12x-6 hosilaning ishorasini aniqlaymiz.
f ^||(x)|_x=-1=-18<0; f ^||(x)|_x=2=18>0.
Demak, funksiya x₁=-1 nuqtada maksimumga, x₂=2 nuqtada minimumga ega.
^ymax ^|x=-1^{=8; y}min ^|x=2^=-19.
Endi kesmaning bosh va oxirgi nuqtalarida funksiyaning qiymatini aniqlaymiz;

13
y_max |_x=-2=-3; y_min |_x=5/2=-16,5.

Demak tekshirilayotgan funksiyaning [-2; 5/2] kesmadagi eng katta qiymati y|_x=-1=8;
eng kichik qiymati y_x=2=-19 ga teng ekan.

1. 
   y=x²lnx funksiyaning [1; e] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari topilsin.
   

Yechish: Berilgan funksiyaning hosilasini olamiz.
y^|=2xlnx+x²1/x=x(2lnx+1);
y^|=0, x(2lnx+1)0, chunki funksiya x>0 qiymatlari uchun aniqlangan.
x0; 2lnx+1=0
1
lnx=-1/2; x=e^-1/2=
e
Bu qiymat berilgan kesmaga tegishli emas.
U holda berilgan kesmada funksiyaning kritik nuqtalari yo’q.
Kesmaning bosh va oxirgi nuqtalarida funksiyaning qiymatini aniqlaymiz
y|_x=1=0; y|_x=e=e²
Demak,
y|_x=1=0 funksiyaning eng kichik qiymati, y|_x=e=e² eng katta qiymati ekan.