О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim vazirligi navoiy davlat konchilik instituti

Optimallashtirishning Latranj ko’paytuvchilar usuli
Bu usulning mazmuni quyidagicha ta’riflanadi:
15-maqsadli funksiyani differensiallaymiz va nolga tenglashtiramiz


_(4.12)

yoki qisqacha

(4.13)

16-funksional chegaralarni ham differensiallab, nolga tenglashtiramiz.

(4.14)

Oxirgi har bir m tenglamaning o’ng va chap tomonlarini hozircha noma’lum bo’lgan parametrga (Lagranj ko’paytuvchisiga) ko’paytiramiz.

Bu ko’paytuvchilar har bir tenglama uchun har xil qiymatga ega bo’ladi, natija quyidagicha ifodalanadi.


(4.15)

Endi (19) va (21) larni qo’shsak:

Yoki

(22)

22-tenglik bajarilishi uchun

(23)

Esga solib o’taylik, funksional chegaralarga mos yana m ta tenglama mavjud.

(24)

Shunday qilib, m+n noma’lumli m+n tenglama (23,24) tizimsi hosil bo’ladi va ular izlanayotgan optimal echimlarni aniqligiga imkoniyat yaratadi. Misol sifatida oldingi ko’rilgan tsilindrik idishning optimal o’lchamlarini aniqlash masalasini ushbu usulda takroran echib ko’raylik. Maqsadli funksiya va uning differensiallari:

Funksional chegara va uning differensiallari:

demak (23), (24) larga asosan

Oxirgi tenglamalar tizimsidan quyidagilarni topamiz:

oldingi usulda echilganda ham shunday natija kelib chiqqan edi.

Ko’p parametrli masalalarni echishda kompyuterdan foydalanishga to’g’ri keladi. Buning uchun esa hozirgi kunda amaliy dasturlar to’plami mavjud.


Optimallash masalalarini echish usullari. Optimallashtirishning sonli usullari va chiziqli programmalashtirish usuli

1. 
   Optimallashtirishning navbatma-navbat bir me’yorda izlash usuli.
   
2. 
   Optimallashtirishning "tez tushish" usuli.
   
3. 
   Optimatlashtirishning chiziqli programmalashtirish usuli.
   

Bu usullarga "navbatma-navbat bir me’yorda izlash" va "tez tushish" usullari kiradi. Ikkala usul ham shartsiz optimallashtirish usullaridan bo’lib, maqsadli funksiyaning minimal koeffitsientini aniqlab beradi. Tushunish osonroq bo’lishi uchun ikki parametrli maqsadli funksiyalar ko’riladi.

"Navbatma-navbat bir me’yorda izlash" usulida avvalo parametrlarning dastlabki qiymatlari tanlanadi. Agar parametrlar x₁, x₂ bo’lsa ularning dastlabki qiymatlarini mos ravishda x₁₀, x₂₀ deb olamiz va bu koordinataga mos maqsadli funksiya miqdori J₀₀ da bo’ladi.
Agar endi x₂=x₂₀=const qoldirib x₁ ma’lum bir qadamda o’zgartirib borsak (x₁₀ dan boshlab) va hargal J larni hisoblab borsak, bir necha qqadamdan so’ng uning minimal (yoki maksimal) qiymatiga yitib borish mumkin. Bu nuqtani x₁₁ bilan belgilayimiz. J(x₂₀, x₁₁) esa J₁₀ da belgilanadi.
Keyingi qadamlarda x₁=x₁₁=const qoldirib x₂ parametrga x₂₀ dan boshlab orttirmalar berib boramiz va yuqoridagidek, bir nechta qadamdan so’ng x=x₂₀ da nuqtada J minimal qiymatga erishadi va uni J₁₁ da belgilaymiz. Ana shunday navbatma-navbat izlashni takrorlab borsak, natijasi J ning xaqiqiy minimumini (yoki maksimumini) ma’lum aniqlikda topishga olib keladi.
Bu usulning qo’llanilishi quyidagi misolda ko’rib chiqamiz.
Issiq suvni manbadan (suv qaynatish qozoni) ta’minlanuvchigacha olib boradigan vodopravod liniyasini loyihalash kerak bo’lsin.
Umumiy sarflanadigan xarajat quyidagilarning yig’indisidan tashkil topadi:
1.Issiq suvni truboprovod orqali haydashga sarflanadigan xarajat suvni haydashga sarflanadigan energiyaga bog’liq bo’lganligi uchun bu xarajat quyidagicha ifodalanadi:

bunda D-truboprovod diametri, K₁ - o’zgarmas koeffitsient.

2.Suvni qizdirishga sarflanadigan xarajat:

bunda x izolyasion material qalinligi, K₂-o’zgarmas koeffitsient

3.Trubaga va izolyasion materiallarga sarflanadigan xarajat:

bunda ham K₃ K₄ lar o’zgarmas koeffitsientlar.
Shunday qilib umumiy xarajat formulasi, ya’ni maqsadli funksiya quyidagicha yoziladi:

Loyihachining oldiga shu xarajatni minimallashtiruvchi D va X larning qiymatini aniqlash masalasi qo’yilgan.

Misolni konkretlashtirish uchun o’zgarmas koeffitsient larni deb olsak

konkret maqsadli funksiya kelib chiqadi.

Dastlabki parametr qiymatlarini deb olib, yuqorida keltirilgan navbatma-navbat izlash usulidan foydalanib hisoblangan natijalar 1-jadvalda keltirilgan. Jadvaldan ko’rinib turibdiki xarajat sarfining eng kam miqdori S₀= 4,5609 truba diametrining (albatta ichki diametr) D₀=1,85sm ga, izolyasion material qalinligining X₀=1,37sm ga mos kelar ekan.
Nazariy jihatdan albatta bu usulni parametrlar soni uch va undan ko’p bo’lganda ham qo’llasa bo’ladi, lekin hisoblashlar soni ko’payib ketadi va doimo optimal nuqtaga chegaralangan vaqtda yitib borish mumkin bo’lmasdan qolishi mumkin.
Navbatma-navbat izlash usulida optimallashtirish masalasini echish natijalari

A	X	S	A	X	S
1,0	1,0	12,9427	1,81	1,25	4,5742
2,0	1,0	4,7789	1,82	1,25	4,5734
3,0	1,0	6,0172	1,83	1,25	4,5730
4,0	1,0	7,4912	1,84	1,25	4,5731
1,2	1,0	7,2686	1,83	1,25	4,5730
1,4	1,0	5,4146	1,83	1,30	4,5654
1,6	1,0	4,8234	1,83	1,35	4,5620
1,8	1,0	4,6925	1,83	1,40	4,5623
2,0	1,0	4,7789	1,83	1,31	4,5644
2,2	1,0	4,9629	1,83	1,32	4,5636
2,4	1,0	5,1967	1,83	1,33	4,5629
2,6	1,0	5,4571	1,83	1,34	4,5624
2,8	1,0	5,7326	1,83	1.35	4,5618
1,8	0,25	9,3684	1,83	1,36	4,5617
1,8	0,50	0,0088	1,83	1,37	4,5616
1,8	2,0	4,7675	1,83	1,38	4,5617
1,8	4,0	6,2839	1,83	1,39	4,5619
1,8	0,75	5,0503	1,81	1,37	4,5662
1,8	1,00	4,6925	1,82	1,37	4,5642
1,8	1,25	4,5755	1,83	1,37	4,5627
1,8	1,50	4,5790	1,84	1,37	4,5611
1,8	1,75	4,6516	1,85	1,37	4,5609
1,8	1,25	4,5755	1,86	1,37	4,5618

Optimallashtirishning "tez tushish" sonli usulida maqsadli funksiyaning xususiy differensiallaridan foydalaniladi. Aytaylik J=J(x₁,x₂) maqsadli funksiyaning dastlabki nuqtadan (x₁₀, x₂₀) hosilalari ( ) va ( ) aniqlangan bo’lsin. Keyingi nuqtaga eng "tez tushish" yo’nalishi bo’yicha harakatlanish uchun yo’nalishi shunday aniqlash kerakki, bunda va bo’lsin (14 -rasm).

14-rasm. Izlashdagi yo’nalishni aiiqlash masalasiga doir

Rasmdan faqat yo’nalish aniqlanadi, lekin qadam tashlash, (orttirma) qancha bo’lishi kerakligi noma’lum. Qadamni T deb belgilab olsak, Maqsadli funksiya quyidagi ko’rinishga keladi:

Bu munosabatdan yangi x₁ va x₂ larni aniqlash uchun

tenglamasidan foydalaniladi. Hisoblashni x₁ va x₂ larning va larni nolga tenglashtirishga qadar yoki ma’lum aniqlikda nolga yaqinlashgunga qadar davom ettiramiz. Bu usulda ham parametrlar soni uch yoki undan ko’p bo’lgandagi masalalarni echish uchun EҲM dan foydalangan ma’qul.