O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi muqumiy nomidagi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti

Chiziqli bo’lmagan integral tenglamalar.

Avvalo matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan keyinchalik biz foydalanadigan bir formulani keltiramiz.

1.Dirixle formulasi. Faraz qilaylik, f(x,y) funksiya tomonlari x=y, x=a, x=b

to’g’ri chiziqlardan iborat bo’lgan teng yonli uchburchakda uzluksiz bo’lsin. Bu holda ▲ uchburchak bo’yicha olingan

(1)

Integralni ikki usul bilan hisoblash mumkin.

Avval x o’zgaruvchi bo’yicha a dan y gacha, keyin y bo’yicha a dan b gacha integrallash mumkin., ya’ni

(2)

So’ngra, y bo’yicha x dan b gacha , x bo’yicha esa a dan b gacha integrallash mumkin, ya’ni

(3)

Bu ikki tenglikdan darhol

(4)

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglik Drixle formulasi deyiladi.

2. Tenglamalar chiziqli bo’lmagan hol. Ushbu

(5)

tenglamaning

(6)

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasi, ya’ni Koshi masalasi Volterraning chiziqli bo’lmagan integral tenglamasiga keladi. Haqiqatan ham y=y(x) funksiya Koshi masalasining yechimidan iborat bo’lsin. Bu yechimni

(5) ga qo’yib ayniyat hosil qilamiz, bu ayniyatda x ni t bilan almashtirib so’ngra t bo’yicha dan x gacha integrallasak,

(7)

tenglikka ega bo’lamiz, ya’ni y(x) funksiya (7) integral tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha y(x) funksiya (7) tenglamaning yechimi bo’lsin, ya’ni bu shunday funksiyaki, uni (7) tenglamaga qo’ysak, bu tenglama ayniyatga aylanadi.

Bu ayniyatni differensiallab,

ga ega bo’lamiz, ya’ni y(x) funksiya (5) tenglamaning yechimidan iborat, shu bilan birga (7) ga asosan .

Shunday qilib, (7) integral tenglamani yechish (5), (6) Koshi masalasini yechishga ekvivalentdir.

Xuddi shunga o’xshash ikkinchi tartibli

oddiy differensial tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish masalasi

chiziqli bo’lmagan integral tenglamani yechishga keladi.

(4) Drixle formulasidan foydalanib, oldingi integral tenglamani

ko’rinishda yozishimiz mumkin.