Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi al-Xorazmiy nomidagi Urganch Davlat universiteti H. Madatov, B. Palvanov

Usulning  yoritilishi 

             

 

b

a,

    kesmani    uzunligi  

h

   boʻlgan  

n

   ta  teng  kesmalarga  

ajratamiz,  bu  yerda    

n

a

b

h





.    Boʻlinish   nuqtalarining  abtsissasi  

b

x

a

x

n

i

ih

x

x

n

i













,

),

1

,...,

3

,

2

,

1

(

,

0

0

    kabi  boʻladi.  Boʻlinish    nuqtalari  

i

x

  lar  uchun 

)

(x

y

y



  funktsiya  va    uning         

)

(

),

(

''

'

x

y

x

y

      hosilalarini  

)

(

),

(

'

'

i

i

i

i

x

y

y

x

y

y





  kabi    belgilaymiz.    Bulardan    tashqari    quyidagicha  

belgilashlar  kiritamiz:   

                 

)

(

),

(

),

(

i

i

i

i

i

i

x

f

f

x

q

q

x

p

p







 

Har    bir  ichki    tugunlarda       

'

''

( ),

( )

i

i

y x

y x       hosilalarni  taqribiy  

chekli  ayirmalar  

               

2

1

2

''

1

'

2

,

h

y

y

y

y

h

y

y

y

i

i

i

i

i

i

i

















                            (3) 

kesmaning chetlarda  esa   

              

h

y

y

y

h

y

y

y

n

n

n

1

'

0

1

'

0

,











                                  (4) 

chekli  ayirmalar bilan almashtiramiz. 

              (3) va (4) taqribiy formulalarni  (1) tenglama va (2)  chegaraviy  

shartlarga qoʻyib quyidagi  tenglamalar  sistemasini  hosil  qilamiz: 

27 

 

      













































B

h

y

y

y

A

h

y

y

y

f

y

q

h

y

y

p

h

y

y

y

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

1

1

0

0

1

1

0

0

1

2

1

2

,

2









                (5) 

        Agar  

)

(

'

i

x

y

   va  

)

(

''

i

x

y

 lar oʻrniga markaziy  ayirmalarni  qoʻllasak 

yanada aniqroq formulalarni hosil qilamiz, ya’ni 

2

1

1

''

1

1

'

2

,

2

h

y

y

y

y

h

y

y

y

i

i

i

i

i

i

i



















 

U  holda   

  

,

,

2

2

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

2

1

1















































B

h

y

y

y

A

h

y

y

y

f

y

q

h

y

y

p

h

y

y

y

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i









               (6) 

sistemani  hosil  qilamiz. Shunday  qilib,  har  ikkala  holda  ham  

1



n

   

ta    noma’lumlarga    ega    boʻlgan 

1



n

  chiziqli    algebraik    tenglamadan 

iborat  boʻlgan  sistemaga  ega  boʻldik.    Agar    ushbu    sistemani    yechish  

mumkin    boʻlsa,    u    holda    izlanayotgan  funktsiyaning  taqribiy 

qiymatlarini jadval  shaklida hosil qilamiz. 

 (1) - (2) chegaraviy masalaga chekli  ayirmalar usulini qoʻllash hatoligi 

quyidagicha boʻladi:  

2

2

)

(

96

)

(

a

b

M

h

x

y

y

i

i







 

Bu  yerda   

)

(

i

x

y

 - 

i

x

x



 boʻlgandagi aniq yechimning qiymati va 

)

(

max

)

4

(

]

,

[

x

y

M

b

a



. 

 

Misol. 

Chekli ayirmalar  usulini  qoʻllab quyidagi chegaraviy  masalaning  

yechimini  aniqlang: 

                   



















0566

,

0

)

4

,

1

(

0

)

1

(

1

'

''

2

y

y

xy

y

x

                                                          (7) 

Yechish. 

 (6)    formulani    qoʻllab,    (7)    tenglamalar    sistemasini    chekli  

ayirmalar  orqali  quyidagicha  yozamiz: 

1

2

2

1

1

2

1

1

2



















h

y

y

x

h

y

y

y

x

i

i

i

i

i

i

i

 

Oʻxshash  hadlarni ixchamlab 

28 

 

 

2

2

1

2

2

1

2

)

2

(

4

)

2

(

h

hx

x

y

y

x

hx

x

y

i

i

i

i

i

i

i

i















                        (8) 

hosil  qilamiz. 

h

    qadamni    0,1    deb  tanlasak  uchta    ichki    tugunlarni  

hosil    qilamiz.   





3

,

2

,

1

1

1

,

0







i

i

x

i

.    (8)    tenglamani    har    bir    tugun  

uchun  yozsak   

            





























02

,

0

51

,

3

76

,

6

25

,

3

02

,

0

00

,

3

76

,

5

76

,

2

02

,

0

53

,

2

84

,

4

31

,

2

4

3

2

3

2

1

2

1

0

y

y

y

y

y

y

y

y

y

                                    (9) 

sistemani  hosil  qilamiz. 

Chegaraviy    tugunlarda     

0566

,

0

,

0

4

0





y

y

  ekanini  bilgan  holda, 

sistemani    yechamiz    va    izlanayotgan  funktsiyaning  quyidagi 

qiymatlarini  hosil  qilamiz: 

0345

,

0

,

0167

,

0

,

0046

,

0

3

2

1







y

y

y

 

(8)    tenglamaning  aniq  yechimi 

x

y

2

ln

2

1



funktsiyadan  iborat.  

Aniq yechimning tugunlardagi qiymatlari   

0344

,

0

)

(

;

0166

,

0

)

(

;

0047

,

0

)

(

3

2

1







x

y

x

y

x

y

 

kabi  boʻladi.  Bu  qiymatlardan  koʻrinib  turibdiki,  taqribiy  va  aniq 

yechimning tugunlardagi qiymatlari orasidagi farq 

0001

,

0

 dan oshmaydi. 

Tugunlar soni 

n

 katta boʻlganda  (6)-(7)  tenglamalar  sistemasini 

yechish  murakkablashadi.  Quyida  bunday  hollar  uchun  moʻljallangan  

ancha  sodda  usulni  qaraymiz. 

Progonka   usuli 

 Usulning  gʻoyasi  quyidagicha.  (6)  sistemaning  dastlabki 

1



n

  

tenglamalarini yozib olamiz: 

i

i

i

i

i

i

f

h

y

k

y

m

y

2

1

2











                                           (10) 

 

bu  yerda   

q

h

hp

k

hp

m

i

i

i

i

2

1

;

2













. 

 (10) ni   quyidagi  koʻrinishda yozish mumkin: 

                 

)

(

2

1









i

i

i

i

y

d

c

y

                                              (11) 

Bu yerdagi  

i

i

d

c ,

   - lar   ketma – ket quyidagi formulalardan 

hisoblanadi:   

  

2

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

,

)

(

h

f

h

Ah

k

k

h

m

h

c































 ,    

0



i

 boʻlganda       (12) 

    

1

1

2

1

,

1

















i

i

i

i

i

i

i

i

i

d

c

k

h

f

d

c

k

m

c

,   

2

,...,

2

,

1





n

i

 boʻlganda        (13) 

Hisoblash  quyidagi tartibda bajariladi: 

29 

 

Toʻgʻri  yoʻl.   (13)  formuladan  

i

i

k

m ,

 -  qiymatlarni  hisoblaymiz.  

0

0

, d

c

  larni formulalardan aniqlaymiz va (13) rekkurent   formulalardan   

i

i

d

c ,

  larni  hisoblaymiz. 

Teskari  yoʻl.  (13)  tenglamadan  agar 

2





n

i

  boʻlsa,  (6) 

tenglamalar  sistemasini  quyidagicha  yozish  mumkin. 

             

B

h

y

y

y

y

d

c

y

n

n

n

n

n

n

n



















1

1

0

2

2

1

),

(





 

Ushbu  sistemani  

n

y

  ga  nisbatan  yechib,  quyidagini  hosil  

qilamiz: 

                     

h

c

Bh

d

c

y

n

n

n

n

0

2

1

2

2

1

)

1

(





















                                                      (14) 

Aniqlangan   

2

2

,





n

n

d

c

  larni    qoʻllab   

n

y     ni    topamiz.    Soʻngra  

)

1

,...,

1

(





n

i

y

i

  larni  hisoblaymiz.  (13)  rekkurent  formulani ketma- ket  

qoʻllab  quyidagilarni  hosil  qilamiz: 

           





































).

(

),

(

),

(

2

0

0

1

1

3

3

2

2

2

1

y

d

c

y

y

d

c

y

y

d

c

y

n

n

n

n

n

n

n

n

                                               (15) 

0

y

 ni  (6)  sistemaning oxiridan ikkinchi tenglamasidan aniqlaymiz: 

               

h

Ah

y

y

0

1

1

1

0













                                                          (16) 

Progonka  usuli  bilan   bajarilgan  barcha  hisoblashlarni  jadvalda  

koʻrsatish  mumkin. 

jadval             

     

i

 

 

i

x

 

 

i

m

 

 

i

k

 

 

i

f

 

Toʻgʻri yoʻl 

Teskari 

yoʻl 

i

c

 

i

d

 

i

y

 

0 

0

x

 

0

m

 

0

k

 

0

f

 

0

c

 

0

d

 

0

y

 

1 

1

x

 

1

m

 

1

k

 

1

f

 

1

c

 

1

d

 

1

y

 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

… 

2



n

 

2



n

x

 

2



n

m

 

2



n

k

 

2



n

f

 

2



n

c

 

2



n

d

 

2



n

y

 

1



n

 

1



n

x

 

 

 

 

 

 

1



n

y

 

n

 

n

x

 

 

 

 

 

 

n

y

 

 

Misol.  Progonka usulida 

30 

 

x

y

y

x

y

4

2

2











 

tenglamaning 

 

 

 

718

,

3

1

1

,

0

0

0













e

y

y

y

 

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini toping.