Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi al-Xorazmiy nomidagi Urganch Davlat universiteti H. Madatov, B. Palvanov

 uchun quyidagi ishonchli oraliqlardan foydalaniladi: 

                           

,

)

1

(

)

1

(

2

2

2

2

2

q

S

q

S











   q <1  boʻlganda, yoki 

                           

)

1

(

)

1

(

q

S

q

S











 

                           

,

)

1

(

0

2

2

2

q

S









   q >1 boʻlganda, yoki 

)

1

(

0

q

S









      

5-Misol. Bosh toʻplamning normal taqsimlangan X belgisining  

noma’lum matematik kutilishi  a  ni  v=0,95   ishonchlilik bilan 

baholash uchun ishonchli oraliqni toping. Bunda 

5





, tanlanma 

oʻrtacha  

14



T

x

  va tanlanma hajmi  n=25 berilgan. 

Yechish:  ф(

t

)=

v

2

1

   munosabatdan  ф(

t

)=

2

95

,

0

 =0,475  jadvaldan 

t=1,96 ni topamiz.  Topilganlarni  

n

t

x

a

n

t

x

T

T













   formulaga qoʻyib, 

46 

 

                                                





















25

5

96

,

1

14

;

25

5

96

,

1

14

 

         yoki 

                                                     (12,04;  15,96)    

ishonchli oraliqni topamiz. 

Nazorat savollari. 

1.  Berilgan funksiyalarni  qanday  koʻphadlar bilan 

approksimatsiyalash 

mumkin. 

     2. Berilgan koʻrsatmadan katta darajali koʻphadlar bilan 

approksimatsiyalashda qiyinligi nimada. 

     3. Gauss usuli ma’nosi nima? 

47 

 

5- Ma’ruza: Matematik dasturlash va operatsiyalarni 

tekshirish usullari bilan yechiladigan masalalar. Chiziqli dasturlash 

masalalarining qoʻyilishi va unda qoʻllaniladigan modellar. Chiziqli 

dasturlash masalasini yechishning grafik usuli. 

REJA 

1. Matematik  dasturlash  va  operatsiyalarni  tekshirish  usullari 

bilan yechiladigan masalalar. 

2. Chiziqli  dasturlash  masalalarining  qoʻyilishi  va  unda 

qoʻllaniladigan  modellar.  Chiziqli  dasturlash  masalalarining 

matematik modellari. 

3. Chiziqli dasturlash masalasini yechishning grafik usuli. Grafik 

usulga keltiriladigan masalalar. 

 

Tayanch tushunchalar. Dasturlash, matematik dasturlash, chiziqli 

dasturlash,  chiziqsiz  dasturlash,  model,  matematik  model,  iqtisodiy 

model, optimal, optimal tanlash.  

 

Matematik  dasturlashning  predmeti  korxona,  firma,  bozor,  ishlab 

chiqarish  birlashmasi,  xalq  xoʻjalik  tarmoqlari,  butun  xalq  xoʻjaligiga 

doir iqtisodiy jarayonlarni tasvirlovchi matematik modellardir. 

Matematik  modellar  koʻp  davrlardan  buyon  iqtisodiyotda 

ishlatilmoqda.  Masalan,  iqtisodiyotda  qoʻllanilgan,  F.  Kene  (1758  y.) 

tomonidan yaratilgan model  takror ishlab chiqarish modelidir. 

«Iqtisodiy masalaning matematik modeli» deganda bu masalaning 

asosiy  shartlari  va  maqsadining  matematik  formulalar  yordamidagi 

tasviriga aytiladi. 

 

)

,...,

1

(

)

,...,

,

(

2

1

m

i

b

x

x

x

g

i

n

i





 

Umumiy  holda  matematik  dasturlash  masalasining  matematik 

modeli quyidagi koʻrinishda boʻladi: 

shartlarni  qanoatlantiruvchi    f(x

1

,x

2

,…,x

n

)    funksiyaning  ekstremumi 

topilsin. 

Bu yerda: f, g

i

 – berilgan funktsiyalar, b

i

 – ixtiyoriy haqiqiy sonlar. 

Agar  f,  g

i

  funksiyalarning  hammasi  chiziqli  funksiyalardan  iborat 

boʻlsa, berilgan masala chiziqli dasturlash masalasi boʻladi. 

Agar  f  va  g

i 

funktsiyalardan  birortasi  nochiziq  funksiya  boʻlsa,  u 

holda berilgan model chiziqsiz dasturlash masalasini ifodalaydi. 

48 

 

Agar f yoki g

i

 funksiyalar tasodifiy miqdorlarni oʻz ichiga olsalar, 

u holda model stoxastik dasturlash masalasini ifodalaydi. 

Agar  f  va  g

i

  funktsiyalar  vaqtga  bogʻliq  boʻlib,  masalani  yechish 

koʻp bosqichli jarayon sifatida qaralsa, u  holda berilgan model dinamik 

dasturlash masalasidan iborat boʻladi. 

Matematik  dasturlash  masalalari  ichida  eng  yaxshi  oʻrganilgani 

chiziqli  dasturlashdir.  Chiziqli  dasturlash  usullari  bilan  ishlab 

chiqarishni  rejalashtirish,  ishlab  chiqarilgan  mahsulotlarni  optimal 

taqsimlash,  optimal  aralashmalar  tayyorlash,  optimal  bichish,  sanoat 

korxonalarini  optimal  joylashtirish  va  hokazo  boshqa  koʻplab 

masalalarni yechish mumkin. 

Har  qanday  iqtisodiy  masalani  matematik  dasturlash  usullarini 

qoʻllab  yechishdan  avval,  ularning  matematik  modelini  tuzish  kerak; 

boshqacha  aytganda  berilgan  iqtisodiy  masalaning  chegaralovchi 

shartlarini  va  maqsadini  matematik  formulalar  orqali  ifodalab  olish 

kerak. Har qanday masalaning matematik modelini tuzish uchun: 



 

masalaning iqtisodiy ma’nosini oʻrganib, undagi asosiy shart    

va maqsadni aniqlash; 



  masaladagi noma’lumlarni belgilash; 



  masalaning 

shartlarini 

algebraik 

tenglamalar 

yoki 

tengsizliklar orqali ifodalash; 



  masalaning maqsadini funksiya orqali ifodalash kerak. 

Misol  uchun  bir  nechta  eng  sodda  iqtisodiy  masalalarning 

matematik modelini tuzish jarayoni bilan tanishamiz. 

Ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasi 

Faraz  qilaylik,  korxonada  m  xil  mahsulot  ishlab  chiqarilsin; 

ulardan ixtiyoriy birini i (i=1,…,m) bilan belgilaymiz. Bu mahsulotlarni 

ishlab  chiqarish  uchun  n  xil  ishlab  chiqarish  faktorlari  zarur  boʻlsin. 

Ulardan ixtiyoriy birini j (j=1,…,n) bilan belgilaymiz. 

Har  bir  ishlab  chiqarish  faktorining  umumiy  miqdori  va  bir  birlik 

mahsulotni  ishlab  chiqarish  uchun  sarf  qilinadigan  normasi  quyidagi 

jadvalda berilgan 

                             i/ch 

faktorlari 

i/ch mahsulot 

turlari 

1 

2 

3 

…  n  Daromad 

1 

a

11

  a

12

  A

13

  …  a

1n

 

C

1

 

49 

 

2 

a

21

  a

22

  A

23

  …  a

2n

 

C

2

 

… 

…  …  …  …  … 

… 

m 

a

m1

  a

m2

  a

m3

  …  a

mn

 

C

m

 

i/ch faktorining 

zahirasi 

b

1

 

B

2

 

B

3

  …  b

n

 

 

Jadvaldagi  har  bir  b

j

  –  j-ishlab  chiqarish  faktorining  umumiy 

miqdori  (zaћirasi)ni;  a

ij

  –  i-mahsulotning  bir  birligini  ishlab  chiqarish 

uchun 

sarf 

qilinadigan 

j-faktorning 

miqdori; 

c

i

–korxonaning 

i-mahsulotning bir birligini realizatsiya qilishdan oladigan daromadi. 

Masalaning  iqtisodiy  ma’nosi:  korxonaning  ishini  shunday 

rejalashtirish  kerakki:  a)  hamma  mahsulotlarni  ishlab  chiqarish  uchun 

sarf  qilinadigan  har  bir  ishlab  chiqarish  faktorining  miqdori  ularning 

umumiy  miqdoridan  oshmasin;  b)  mahsulotlarni  realizatsiya  qilishdan 

korxonaning oladigan daromadi maksimal boʻlsin. 

Rejalashtirilgan  davr  ichida  ishlab  chiqariladigan  i-mahsulotning 

miqdorini  x

i   

bilan  belgilaymiz.  U  holda  masaladagi  a)  shart  quyidagi 

tengsizliklar sistemasi orqali ifodalanadi: 

)

1

(

2

2

1

1

2

2

2

22

1

12

1

1

2

21

1

11



























































































n

m

mn

m

m

m

m

m

m

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

 

  Masalaning iqtisodiy ma’nosiga koʻra hamma noma’lumlar manfiy 

boʻlmasligi kerak, ya’ni: 

x

i

 



0  (i=1,2,…m) 

 

                           (2) 

Masaladagi b) shart uning maqsadini aniqlaydi. Demak masalaning 

maqsadi  mahsulotlarni  tadbiq  qilishdan  korxonaning  oladigan  umumiy 

daromadini maksimallashtirishdan iborat va uni 

 

y = c

1

x

1

 +c

2

x

2

+ … + c

m

x

m

                         (3) 

chiziqli  funksiya  orqali  ifodalash  mumkin.  Shartga  koʻra  y



max.  Bu 

shartni Y

max

 koʻrinishda belgilaymiz. 

11 1

21

2

1

1

12

1

22

2

2

2

1

1

2

2

...........................................

m

m

m

m

n

n

mn

m

n

a x

a x

a x

b

a x

a x

a

x

b

a x

a x

a

x

b



  









  













  





 

50 

 

Shunday  qilib  ishlab  chiqarishni  rejalashtirish  masalasining 

matematik modeli quyidagi koʻrnishda boʻladi 

x

1 



 0,  x

2 



 0, …,  x

m 



 0, 

Y

max

 = c

0

 + c

1

x

1

 + c

2

x

2

+ … + c

m

x

m 

Chiziqli  dasturlash  masalalari.  Chiziqli  dasturlash  masalasi 

umumiy holda quyidagicha ifodalanadi: 

11 1

12

2

1

1

21

1

22

2

2

2

1 1

2

2

( )

( )

.................................................

( )

n

n

m

m

m

m

mn

n

m

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b

a x

a x

a x

b



  

 







  

 











  

 



                                         (1)

 

 

   x

1 



 0,  x

2 



 0, …,  x

n 



 0,  

   (2) 

Y

min(max)

 = c

0

 + c

1

x

1

 + c

2

x

2

+ … + c

n

x

n   

  

                 (3) 

 

(1)  va  (2)  shartlarni  qanoatlantiruvchi  noma’lumlarning  shunday 

qiymatlarini  topish  kerakki,  ular  (3)  chiziqli  funksiyaga  minimal 

(maksimal)  qiymat  bersin.  Masalaning  (1)  va  (2)  shartlari  uning 

chegaraviy  shartlari  deb,  (3)  chiziqli  funksiya  esa  masalaning  maqsadi 

yoki maqsad funksiyasi deb ataladi. 

Masaladagi  barcha  chegaralovchi  shartlar  va  maqsad  funksiya 

chiziqli  ekanligi  koʻrinib  turibdi.  Shuning  uchun  ham  (1)–(3)  masala 

chiziqli dasturlash masalasi deb ataladi. 

Konkret masalalarda (1) shart tenglamalar sistemasidan, «



» yoki «



»  koʻrinishdagi  tengsizliklar  sistemasidan  yoki  aralash  sistemadan 

iborat  boʻlishi  mumkin.  Lekin  koʻrsatish  mumkinki,  (1)–(3) 

koʻrinishdagi  masalani  osonlik  bilan  quyidagi  koʻrinishga  keltirish 

mumkin. 

11

1

12

2

1

1

21

1

22

2

2

2

1

1

2

2

(4)

n

n

n

n

m

m

mn

n

m

a x

a x

a x

b

a x

a

x

a

x

b

a

x

a

x

a

x

b



    









    







               







    





 

 

       x

1 



 0,  x

2 



 0, …,  x

n 



 0, 

 

 

               (5) 

      Y

min

 = c

0

 + c

1

x

1

 + c

2

x

2

+ … + c

n

x

n   

               

(6) 

(4)-(6)  koʻrinish  chiziqli  dasturlash  masalasining  kanonik 

koʻrinishi deb ataladi.  

(4)–(6)  masalani  vektorlar  yordamida  quyidagicha  ifodalash 

mumkin: 

51 

 

  P

1

x

1

 + P

2

x

2

+ … + P

n

x

n 

= P

0

  

 

                        (7) 

X 



 0 

 

 

 

 

                        (8) 

Y

min

 = CX 

 

 

                    

 

(9) 

1

11

12

1

21

22

2

2

1

2

0

1

2

,

,

...,

,

,

...

...

...

...

n

n

n

m

m

m

mn

a

a

a

b

a

a

a

b

p

p

p

p

a

a

b

a













 













 













 





















 













 









 





 

bu erda  

S = (C

1

, C

2

, …, C

n

) – vektor–qator.  

X = (X

1

, X

2

, …, X

n

) – vektor–ustun. 

(4)-(6)  masalaning  matritsa  koʻrinishdagi  ifodasi  quyidagicha 

yoziladi: 

AX = P

0

,   

                                          (10) 

X 



 0, 

                      

                (11) 

          Y

min

 = CX, 

            

                         (12) 

bu yerda S = (C

1

, C

2

, …, C

n

) – qator vektor, A = (a

ij

) – (4) sistema 

koeffitsentlaridan tashkil topgan matritsa;  

X = (X

1

, X

2

, …, X

n

) va P

0

 = (b

1

, b

2

, …, b

n

) – ustun vektorlar. 

 

1

min

1

,

(

1,...,

)

(13)

0,

(

1,...,

)

(14)

(15)

n

ij

j

i

j

j

n

j

j

j

a x

b

i

m

x

j

n

Y

C X



















 

(4)-(6) masalani yigʻindilar yordamida ham ifodalash mumkin: