O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim

§ 76. Maksvell tenglamalarining differensial ko‘rinishi
Maksvellning birinchi tenglamasi vektor ko‘rinishda quyidagicha

yoziladi: _{→ →}

rotE^→

 E^→

_{ } dB

dt

  ^dH

dt

, (76.1)

Bu vektor tenglama maydon tashkil etuvchilari uchun uchta tenglamaga mos keladi:

• 
  _ dH_X
  

dt

• 
  _ dH_y
  

dt

• 
  _ dH_Z
  

dt

_ dE_Z

dy

_ dE_X

dz

_ dE_Y

dx

• 
  dE_{y ,}
  

dx

• 
  dE_{Z ,}
  

dx

• 
  dE_X
  

dy

(76.2)

Bu tenglamalarning o‘lchamligini quyidagicha yozish mumkin:

_ H _

vaqt

E

uzunlik

Ikkala tomoni ( uzunlik)² ga ko‘paytsak:

ya’ni

_ H

vaqt

• 
  yuza  E  uzunlik
  

to'la magnit oqimi vaqt

 kuchlanish

Bu munosabatning o‘lchamligi Faradey qonuni o‘lchamligi bilan mos keladi.

Maksvellning ikkinchi tenglamasi vektor ko‘rinishda quyidagicha

yoziladi:
→

rotH

   ^→

→

_ dD

dt

→

_{ } dE

dt
, (76.3)

H
Bu vektor tenglama ham maydon tashkil etuvchilari bo‘yicha uchta

tenglamaga mos keladi:

O‘lchamligini yozsak,

_ dE_X

dt

_ dE_Y

dt

_ dE_Z

dt

_ dH_Z

dy

_ dH_X

dz

_ dH_Y

dx

• 
  dH_{y ,}
  

dz

• 
  dH_{Z ,}
  

dx

• 
  dH_{X .}
  

dy

(76.4)

tok yuza

_ H

uzunlik

Ikkala tomonini uzunlikka ko‘paytsak, o‘lchamligi bo‘yicha bu tenglama Amper qonuniga mos keladi

tok _

uzunlik

^I  H

uzunlik

Maksvellning uchinchi tenglamasi quyidagicha yoziladi:

^{→ → } dE_X dE_Y

dE_Z ^

divD  D   ^  

_ dx dy

^{  } , (76.5)

dz _

bu yerda - zaryad zichligi. Bu tenglamadan kelib chiqadiki, induksiyaning kichik elementi dxdydz da o‘zgarishi  kattalikka bog‘liq. Agar =0 bo‘lsa, tenglama (76.3) quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

^ dE_X dE_Y

dE_Z ^

 ^  

_ dx dy

^{  0} , (76.6)

dz _

Demak, agar elektr siljishni D=E induksiya chiziqlari orqali grafik ko‘rinishda tasvirlasak, u elektr zaryaddan boshlanadi va tugaydi, u vaqtda dxdydz hajm elementiga kiruvchi oqim chiziqlar soni shu element hajmidan chiquvchi oqim chiziqlar soniga teng bo‘ladi. To‘rtinchi tenglama quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

^{→ → } dH_X dH_Y

dH_Z ^

divB  B  ^  

_ dx dy

^{  0} , (76.7)

dz _

Bu tenglamaga asosan, dxdydz hajmga kiruvchi magnit induksiya chiziqlari va undan chiquvchilar soni teng bo‘lishi kerak. Bu natija tabiatda magnit qutblari yo‘qligining fizik natijasidir, ya’ni alohida shimoliy yoki janubiy qutb yo‘q ekanligini takidlaydi.

Elektromagnit maydoning xossalarini o‘rganishda Maksvell tenglamalarining differensial ko‘rinishi ko‘p qo‘llaniladi.

§ 77. Yassi elektromagnit to‘lqinlarning tenglamasi
Biz soddalik uchun yassi elektromagnit To‘lqinlarni qaraymiz.

(75.9) va (76.2) dan kelib chiqadiki, yassi to‘lqin uchun X va Y bo‘yicha hosilalar 0 ga teng bo‘ladi:

• 
  _ dH_Z
  

dt

 0,

dH_{Z  0}

dt

Shunday qilib, H_Z kattalik fazo va vaqtda doimiydir. H_Z=0 (75.9) va (76.2) tenglamalardan E_Z=0 kelib chiqadi. H_Z va E_Z qiymatlarning doimiyligi shuni bildiradiki, H va E ning o‘zgarishi yoki tebranishi Z

o‘qiga perpendikulyar yo‘nalishda ro‘y beradi. Bu yerdan shunday xulosa kelib chiqadiki, elektromagnit to‘lqinlar ko‘ndalang to‘lqindir.

Soddalik uchun yassi qutblangan to‘lqinlarni qaraymiz. Biz faqat elektr maydonning tebranish yo‘nalishini X va Y o‘qi bo‘yicha tanlab olamiz. E_x maydonni qaraymiz E_Y=0. Bu holda (75.9) va (76.2) dan:

• 
   ^dHY 
  

dt

dE_X dz
, (77.1)

_ dE_X

dt

_{ } dH_Y

dz
, (77.2)

_d 2 

dzdt

_d 2


dtdz

, ni hisobga olsak, va (77.1) ifodadan t bo‘yicha hosila olib

va Z bo‘yicha yozamiz. H_Y uchun tenglamani topamiz:

d H
2

^Y  

dz²

d ²H


2
X , (77.3)

dt

Xuddi shuningdek, (76.7) dan t bo‘yicha , (77.2) dan z bo‘yicha hosila olsak, E_x uchun to‘lqin tenglamasini topamiz:

d ²E d ²E

^{Y   X} , (77.4)

dz² dt²

Shunday qilib, ikkala maydon E_x va H_Y bir xil tenglamaga

bo‘ysinadi, va z o‘qi bo‘yicha

 ²  ¹



tezlik bilan tarqaladi. Erkin fazoda

bu tezlik yorug‘lik tezligiga teng, ya’ni ^{ 2  1}



bu yerda _o va _o ma’lum kattaliklar.

C² =1/_o_o,

Bu tenglamalarning yechimi quyidagicha bo‘ladi:

E_X = E_o sin(2/)(vt-z), H_Y = H_o sin(2/)(vt-z) , (77.5) bu yerda E₀ va H₀ - E va H ning maydonlarining amplitudasi.

Biz elektromagnit to‘lqinni (77.3) grafik ravishda (118-rasm) tasvirladik.

To‘lqinning tarqalish yo‘nalishi hamma vaqt E*H vektorining yo‘nalishi bilan mos keladi. Bu holda E*H vektori E_xH_Y kattalikka ega bo‘ladi va z o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan. Bu vektor ko‘paytma o‘lchamlikka ega bo‘ladi.

118. 
     rasm
     

kuchlanish  tok

_ elektr quvvat
= E*H vektor

uzunlik  uzunlik

yuza

ko‘paytmaga Poyting vektori deyiladi va u energiya oqimini zichligini ifodalaydi.
§ 78. Elektromagnit to‘lqin energiyasi. Umov-Poyting vektori va

uning qo‘llanishi
Elektrostatik va magnitostatik maydon energiya zichliklari _oE²/2 va

_oH²/2 ga teng edi. Elektromagnit maydonida elektr va magnit maydonlarining energiya zichliklari ham har bir nuqtada o‘zgaradi va u quyidagiga teng:

 E ²  H ²

W  W_Э  W<sub>M

</sub> o _ o

(78.1)

2 2

E va H vektorlarining bir biri bilan uzviy ravishda bog‘langanligini hisobga olsak, energiya zichligini unga ekvivalent shaklda quyidagicha yozish mumkin:

 E²  H ² _{2 2}

W  ^o  ^o  _oE  _oH 

^EH , (78.2)

2 2

To‘lqin tarqalishida elektr va magnit maydonlari ham fazoda tarqaladi, shu bilan birga energiya ham tarqaladi. Energiyaning tarqalishini xarakterlash uchun energiya oqim zichligi vektori degan kattalik kiritiladi, yoki unga Umov-Poyting vektori deb aytiladi. Bu vektorni S bilan belgilanadi va u quyidagicha aniqlanadi:

S=[EH], (78.3)

Quyidagi 119-rasmda S, E, H vektorlarning o‘zaro perpendikulyarligi ko‘rsatilgan. Rasmdan ko‘rinadiki, S vektor elektromagnit to‘lqinni tarqalish yunalini bo‘yicha yunalgan.

E va H vektorlar vaqt bo‘yicha o‘zgarganligi uchun energiya oqim zichligi ham vaqt buyiicha o‘zgaradi. Monoxromatik to‘lqin uchun (77.5) hisobga olsak, (78.3) quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

S= EH=E_eH_esin²(wt-kx), (78.4)

118. 
     rasm
     

Umov-Poyting vektori qo‘llanishiga doir misolarni qarab chiqamiz.

1. 
   Ma’lumki yuqori chastotali to‘lqinlarda (radio-va yorig‘lik) amaliy jihatdan energiya oqim zichligini vaqt bo‘yicha o‘rtachasini bilish kerak bo‘ladi yoki intensivlik IS energiya_. zichgiligiga proporsional bo‘ladi. Buni quyidagicha ko‘rsatish mumkin: sinus kvadratning o‘rtachasi 1/2 teng, (77.2) formulani hisobga olsak,
   

I  S 

E₀ H_{0 } 1

2 2

_{2 } 1


E
0 ₂

^H 2 , (78.5)

0
Shunday qilib, intensivlik amplitudaning kvadratiga proporsional bo‘ladi (bu har qanday fizik tabiatdagi To‘lqinlar uchun o‘rinli bo‘ladi).

2) Elektromagnit energiya oqimi zichligi yoki Poyting vektorini 120- rasmda ko‘rsatilgan hol uchun qarab chiqamiz.

Sxemada kondensator U kuchlanishgacha zaryadlandi. Kondensator oralig‘i dielektrik bilan to‘ldirilgan. Zaryadlash vaqtida kondensator orqali tok o‘tadi. Tahlil shuni ko‘rsatdiki, Poyting vektori dielektrik egallagan hajmning ichiga qarab yo‘nalgan bo‘ladi. Kondensator sig‘imi

C=S/d, u vaqtda zaryadlangan kondensator energiyasi

¹ CU ² va

2

elektrostatik energiya ko‘rinishida zapasga ega bo‘ladi. lekin U=Ed bo‘lgani uchun,

^{1 1}  ^S 2 ¹

^{CU 2 }  

2 2 _ d _

E²d ² 

^E2 ^Sd , (78.6)

2

Shunday qilib, kondensatordagi energiya zichligi (1/2)(E²) bo‘lgan energiya zapasi ekanligi, bu esa zaryadlanish vaqtida hosil bo‘lgan energiya oqimi bilan bog‘langandir. Kondensatorni zaryadlash jarayonida Poyting vektori kondensator hajmi ichiga qarab yunalgan bo‘ladi. Zaryadlash oxirida uning energiyasi to‘la ravishda elektrostatik bo‘ladi.

3. Joul - Lens qonuni bo‘yicha o‘tkazgichda ajralib chikkan issiqlik mikdari elektromagnit energiyasining davomi ekanligini Poyting vektori orqali ko‘rsatish mumkin. Ma’lumki, o‘tkazgichdan tok o‘tganda ajralib chiqqan issiqlik miqdori differensial ko‘rinishda quyidagiga teng edi.

W=  E² (78.7)

Bu formuladan ko‘rinadiki, haqiqatdan ham ajralib chiqan energiya miqdori kuchlanganlikning kvadratiga proporsional ekanligidir.

116-rasm

Ma’lumki, tokli o‘tkazgich yoki solenoidda to‘plangan magnit energiya ham elektromagnit energiya oqimiga teng bo‘lishini ko‘rsatish mumkin:

¹ LI ²

2

^{ 1 H} 2 , (78.8)

2