O‘zbekiston respublikasi oliy

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI



NIZOMIY NOMIDAGI

TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI FIZIKA -MATEMATIKA FAKULTETI

“Matematika va informatika” bakalavriat(kechki) ta’lim yo‘nalishi 201-guruh talabasi Isaboyeva Fotima Botirovnaning “Matematik analiz” fanidan

KURS ISHI

Mavzu: Aniq integralning tatbiqlari
Tekshirdi:

Toshkent-2021

Aniq integralning tadbiqlari Reja:

Kirish
1.Yassifiguralarningyuzini hisoblash 2.Yoyuzunliginihisoblash 3.Aylanishjisminihajmi

4.Ko`ndalang kesim yuzi ma`lum bo`lgan jismning hajmi Xulosa

Foydalanilganadabiyotlar

Kirish

Aniq integral tushunchasi egri chiziqli trapetsiya orqali olinadi. Egri chiziqli trapezoid - y = f (x), y = 0, x = a, x = b chiziqlar bilan chegaralangan figura. Egri chiziqli trapetsiyaning maydoni integral yig'indisi yoki son bilan ifodalanadi. aniq integral. Aniq integral Nyuton - Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. = F (x) | ba = F (b) - F (a) Aniq va noaniq integrallarning umumiy belgilanishi ular orasidagi chambarchas bog'liqlikni ta'kidlaydi: aniq integral son, noaniq integral esa antiderivativlar yig'indisidir. Aniq va noaniq integral o'rtasidagi bog'liqlik Nyuton - Leybnits formulasi bilan ifodalanadi. Aniq integralning xossalari: Agar integrallashning yuqori va quyi chegaralari almashtirilsa, u holda aniq integral o’zining absolyut qiymatini saqlab qoladi, lekin ishorasini aksincha o’zgartiradi. Agar integrasiyaning yuqori va quyi chegaralari teng bo’lsa, aniq integral nolga teng bo’ladi. Agar integrasiya segmenti bir necha qismlarga bo‘linsa, segmentdagi aniq integral shu segmentlarning aniq integrallari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Intervalda aniqlangan funksiyalar yig‘indisining aniq integrali funksiyalar hadlarining aniq integrallari yig‘indisiga teng. Integralning doimiy omilini aniq integral belgisidan tashqarida olish mumkin. Aniq integralni taxmin qilish: agar m ≤ f (x) ≤ M on bo'lsa, u holda m (b - a)

1. Yassifiguralarningyuzini hisoblash

Yassi figuralarning yuzini hisoblashda aniq integralni qo`llashning bir necha hollari mavjud. Bunda chegara funksiyalarining joylashuv vaziyatlari muhim ahamiyatga ega. Ba`zi hollarini ko`rib o`tamiz.

1. 
   Agar funksiya o`qining yuqori (manfiy bo`lmagan) qismida joylashgan hamda uzluksiz bo`lib, va to`g`ri chiziq kesmalari bilan chegaralangan bo`lsa, hosil bo`lgan egri chiziqli trapesiya yuzi y
   

yoki (1) B

formula yordamida topiladi. A S

0 a b

x

Misol: chiziqlar bilan

chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

Yechilishi: Shartga asosan figura egri chiziq, absissalar o`qi ( ) hamda va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan. U holda, (1) formuladan foydalanib, quyidagi integralni hisoblaymiz:

Demak, berilgan egri chiziqli trapesiyasimon figuraning yuzi 6 ga teng ekan.

2. 
   Agar funksiya o`qining y
   

pastki qismida joylashgan hamda uzluksiz

bo`lib, va to`g`ri chiziq kesmalari 0 a b x

bilan chegaralangan bo`lsa, hosil bo`lgan egri chiziqli trapesiyasimon figuraning yuzi A

quyidagi formula yordamida topiladi: B

yoki . (1)

Misol: chiziqlar bilan

chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

Yechilishi: Berilgan masalani yechish uchun (2) formuladan foydalanib, chegaralari -1 va 1 dan iborat bo`lgan quyidagi aniq integralni hisoblaymiz:



3) uzluksiz funksiya grafigi kesmada o`qini chekli sondagi nuqtalarda kesib o`tsin. U holda, kesma funksiyaning ishorasi almashinishiga asoslanib, bir xil ishorali qismlari alohida –alohida kesmachalarga ajratiladi, ya`ni ,

, va . U holda izlangan yuza hosil bo`lgan

y

yuzachalarning algebraik yig`indisidan iborat bo`ladi. Bunda qism

+

funksiyalarning ishoralari e`tiborda

e b x

bo`ladi. Izlanayotgan yuza quyidagi

+

0 a- c d -

integrallarning algebraik yiqindilari yordamida topiladi:
(3)

Misol: va chiziqlar bilan

chegaralangan figuraning yuzini y

hisoblang.

Yechilishi: Berilganlarga hamda



chizmalarga asosan barcha
x

uchun va barcha lar uchun dir. U holda, (3) formulaga asosa:

4) Agar figura kesmada ikkita uzluksiz va funksiyalar, hamda to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan bo`lsa, uning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

(4)

Bunda va dir. y Misol: va chiziqlar

bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.

Yechilishi:Integrallash chegaralarini,

ya`ni va ni berilgan chiziq 0 a b

x

tenglamalarini o`zaro tenglashtirib, topamiz:

Bundan, yani U holda, (4) formulaga asosan:

Demak, izlanayotgan figuraning yuzasi dan iborat ekan.

Quyida ba`zi egri chiziqli figuralarning yuzalarini topish formulalarni qaraymiz.

Ellipsningyuzi

Ma`lumki, ellipsning tenglamasi

(5)

dan iborat. Ellipsni 4 ta chorakka ajratib, uning bir bo`lagi, ya`ni ni topish yetarlidir. (5) ga asosan

. (6)

1. 
   formulaga asosan
   

Quyidagi almashtirishlar olamiz:

U holda, integralning yangi chegaralarini aniqlaymiz: va lardan va Bulardan ,





Demak, Bundan, (7)
Ellips yuzini topishning umumiy fomulasi quyidagi

ko`rinishda bo`ladi:

(8)

Ikkita parbolaning kesishmasidan hosil bo`lgan figuraning yuzi

va parabolalar y

berilan. yuza va yuzalar A

ayirmasiga teng. Berilgan paralar

va nuqtalarda L

kesishishadi. Shuning uchun 0 N x

(9)

Demak, izlangan yuza kvadratining uchdan bir qismidan iborat.

Sikloidaning yuzi

va berilgan bo`lsa, y M

10. 
    a
    

Demak, sikloidaning yuzi iborat ekan . 0 N A x

Qutb koordinatalarida yuzanitopish

sektor yoy, va nurlar bilan chegaralangan bo`lsin. Bunday sektorning yuzi qutb koordinatalarida quyidagi formula yordamida topiladi:

(11)

Bunda -qutb radiusi, -qutb radiusining o`q bilan tashkil qilgan burchagi, ya`ni qutb burchagi.

Arximed spirali birinchi o`ramining o`qi bilan chegaralangan qismining yuzi

Arximed spiralining birinchi o`rami nuqtadan (qutb markazidan) boshlanib, nuqtada tugagan bo`lsin.

B

0 a A x

c

U holda, qutb burchaklari va bo`ladi. Qutb radiusi
(12)

dan iboratdir. Bunda - spiral qadami, ya`ni .

10. 
    formulaga asosan egri chiziq va spiral qadami bilan chegaralangan figuraning yuzi quyidagi formula yoramida hisoblanadi:
    

(13)

Kardioidaning yuzi

- kardioda bilan chegaralangan yuzani hisoblash talaba qilinsin. Ma`lumki, kardoida

qutb o`qiga nisbatan simmetrik.
Shuning uchun uning yuqori qismi 0 2a A x

yuzasini topib, natija ikkilantirilsa, yetarli bo`ladi. U holda,

(14)

Bundan,

(15)

, hamda

ekanligini

hisobga olsak, (15) quyidagidan iborat bo`ladi:
(16)

Demak, kardioidaning yuzi ekan.

Mustaqilyechish uchun mashqlar

№37. va parabolalar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.

№38. giperbola va , , to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.

№39. o`q hamda parabola bilan chegaralangan figura yuzini toping.

№40. va absissalar o`qi bilan chegaralangan figura yuzni hisoblang.

№41. o`q va parabola bilan chegaralangan figura yuzini toping.

№42. parabola va to`g`ri chiziq bilan chegaralangan yuzani toping.

№43. egri chiziq va to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang.

№44. va parabolalar bilan chegaralangan yuzani toping.

№45. va astroidalar bilan chegaralangan yuzani toping (bunda ).

№46. lemniskatani yasang va bu egri chiziq

bilan chegaralangan barcha sohalar yuzini toping.

2. Yoyuzunliginihisoblash

egri chiziq kesmada berilgan bo`lib, yassi va uzluksiz bo`lsin. U holda, funksiya shu kesmada uzluksiz hosilaga ega bo`ladi. Egri

chiziqni ta bo`lakka ajratamiz va bo`linish nuqtalarini kesmalar yordamida ketma- ket tutashtiramiz. Natijada, hosil bo`lgan qism yoychalarning har biriga bitta kesmacha mos keladi. Agar egri chiziqni bo`lishni davom ettirsak, qism yoychalarning uzunligiga ularga mos keluvchi kesmalarning uzunligi yaqinlashadi. Funksiya grafigining bo`linish nuqtalaridan o`qiga proyeksiyalar tushiramiz. Undagi har ikki nuqta orasidagi masofalarni lar bilan belgilaymiz. Ixtiyoriy va nuqtalar ordinatalari farqini bilan belgilaymiz. U holda, Pifagor teoremasiga asosan kesmaning uzunligi quyidagicha bo`ladi.

Hosilaning ta`rifiga asosan: u holda Kesmalar hosil qilgan siniq chiziqning uzunligi

(1)

(2)

(3)

dan iborat bo`ladi. Egri chiziqning uzunligi ni topish uchun (3)

ning dagi limitini olish lozim, ya`ni:
. (4)

4. 
   – integral yig`indidan iborat. Uni integral ko`rinishida ifodalash mumkin:
   

yoki

(5)

4. 
   formula yassi egri chiziq, ya`ni yoyning uzunligini topish formulasidir.
   

To`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida yoy differensialiquyidagi formula ko`rinishida ifodalanadi:

yoki

4. 
   
   

1. 
   misol. va nuqtalar bilan chegaralangan parabola yoyining uzunligini toping.
   

Yechilishi: Parabola tenglamasidan hosila olamiz:
, ya`ni .
(5)- formulani qo`llaymiz:


Demak, izlanayotgan yoyning uzunligi 4,65 uzunlik o`lchov birligiga teng ekan.

2. 
   misol. va nuqtalar orasidagi parabola yoyining uzunligini toping.
   

Yechilishi: Berilgan parabolaning tenglamasini differensiallab, ni, so`ngra, (5) formulaga asosan yoyning uzunligini topamiz:

Demak, yoy uzunligi 2,4 uzunlik o`lchov birligidan iborat ekan.

3. 
   misol. da aylananing uzunligini
   

toping.

Yechilishi:	va		larni topamiz:
va U holda,			.
Bundan,		.

Mustaqilyechishuchun mashqlar.

№46. va nuqtalar bilan chegaralangan egri chiziqli yoyning uzunligini toping.

№47. va nuqtalar bilan chegaralangan egri chiziqli yoyning uzunligini toping.

№48. aylananing uzunligini toping.

№49. parabola yoyining va nuqtalar orasidagi uzunligini toping.

№50. parabola yoyining o`qi bilan kesishish nuqtalari orasidagi qismining uzunligini hisoblang.

№51. egri chiziqning o`qi bilan kesishish nuqtalari orasidagi yoy uzunligini toping.

№52. egri chiziq yoyining to`g`ri chiziq bilan kesishgan qismi uzunligini toping.

№53. va bo`lganda yarimkubik parabola yoyining uzunligini toping.

№54. sikloidaning bitta

arki yoyining uzunligini toping.

№55. zanjir yoyining va nuqtalar orasidagi uzunligini toping.

№56. bo`lganda egri chiziq yoyining uzunligini toping.

№57. aylana yoyining koordinatalar tekisligidagi birinchi chorakda yotgan qismi uzunligini toping.

3. Aylanishjisminihajmi

formula bilan berilgan egri chiziqning kesmada o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini topish talab qilinsin. y

y

0 a x x+h b x


Aylanish jismini ga perpendikulyar tekislikdar bilan ta bo`laklarga ajratamiz. Perpendikulyar tekisliklarning biri 0 nuqtadan masofada, ikkinchi tekislik masofada, keyingisi esa masofada bo`lsin. Bunda, - orttirma bo`lib, dir. U holda, jismning birinchi ikki tekislik bilan kesilgan qismining hajmi , undan keyingi qismining hajmi esa dan iborat bo`ladi.

Birinchi silindrsimon jismning balandligi , asos radiusi

; ikinchisining balandligi ham , asos radiusi U holda, birinchi jism hajmi , ikkinchisiniki esa bo`ladi. Ikki silindr orasidagi orttirma hajm dan iborat bo`ladi. Ammo hajm va da cheksiz kichik miqdor bo`lib, 0ga intiladi. Shuning uchun hajmning differensiali kichik silindrsimon jismning hajmi bo`ladi. Buni integrallaymiz:
(1)
(1) tenglik aylanish jismining hajmini topish formulasidan iborat.

1-misol. Asos radiusi va balandligi bo`lgan aylanish paraboloidi segmentining hajmini toping.

Yechilishi: Ma`lumki, parabola tenglamasi bo`lib, parabolaning ixtiyoriy nuqtadan o`tishini e`tiborga olsak.

(2)

Parabola tenglamasi va (2) dan

(3)

bo`ladi. Bundan, (4)

U holda, (1) formulaga asosan paraboloid segmentining hajmi

quyidagicha bo`ladi:

(5)

2-misol. parabola, o`q va to`g`ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyaning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

Yechilishi: (1) formuladan foydalanamiz. Bunda, , va larni formulaga qo`yib, integralni hisoblaymiz:



Demak, jismning hajmi dan iborat ekan.

4. Ko`ndalang kesim yuzi ma`lum bo`lgan jismning hajmi

va kesmalardan o`tgan hamda o`qqa perpendikulyar bo`lgan tekisliklar bilan chegaralangan jismning hajmini topish talab qilinsin. U holda jismni ta o`zaro parallel bo`lgan tekisliklar bilan o`qiga parallel holda bo`laklarga ajratamiz. Ixtiyoriy va tekisliklar bilan chegaralangan jismning hajmi , asos yuzi , balandligi bo`lsin. U holda,

(6)

o`rinli bo`ladi. Jismning umumiy hajmi quyidagicha bo`ladi:
. (7)
Bunda, balandlik larning eng kattasi. (7) tenglik integral yig`indidan iborat. Shuning uchun (7) ni quyidagicha ifodalash mumkin:

(8)

(8) - ko`ndalang kesim yuzi ma`lum bo`lgan jismning hajmini topish formulasi.

Misol. chiziqlar bilan chegaralangan hamda o`q atrofida aylanishdan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

Yechilishi: Hosil bo`ladigan jism aylanish

paraboloididan iborat bo`ladi. Uning hajmini (8) formula yordamida topamiz. Bunda , va dir.

Ba`zi jismlarning hajmini topish formulalari:

Piramidaninghajmi:

Paraboloidsegmentiininghajmi:

(ya`ni silindr hajmining yarimiga teng- Arximed tadqiqoti)

Elliptikasoslikonus:

( - kata yarim o`q)

Ellipsoid:

Sharninghajmi:

Mustaqilyechishuchun mashqlar

№56. Birinchi chorakda yotgan, koordinata o`qlari hamda parabola yoyi bilan chegaralangan figuraning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

№57. Birinchi chorakda yotgan hamda va

chiziqlar bilan chegaralangan tekislikning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

№58. parabola va to`g`ri chiziqning kesishishidan hosil bo`lgan figuraning o`qi arofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

№59. o`q, - sinusoida yoyi hamda - kosinusoida yoyi bilan chegaralangan figuraning o`q atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

№60. kosinusoida va koordinatalar

markazidan o`tib, o`qiga perpendikulyar bo`lgan tekislik bilan chegaralangan figuraning o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismning hajmini toping.

№61. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan hamda o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismlar hajmini toping:

a) v)

b) g)

№62. Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan va o`qi atrofida aylanishidan hosil bo`lgan jismlar hajmini toping:

a) va v)

b) g)

.Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish
formula bilan hisoblanadi.

Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.

Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi
formula bilan aniqlanadi.

Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.

Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda
formulalar orqali hisoblanadi.

Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda
formulalar orqali ifodalanadi.

Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari

formulalar orqali ifodalanadi.

tekislikda massalari bo’lgan material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa,

u holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.

Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini va lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan

formulalarni yozishimiz mumkin.

tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :

chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari
formulalardan topiladi.



3.










5.

Xulosa

Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki aniq integral hayotimizningdeyarli barcha jabhalarini qamrab olgan. Jumladan texnikada juda keng

qo’llaniladi.

Shuningdek iqtisodiy masalalarni yechishda ham keng foydalaniladi.

Aniq

Integral yordamida fizik masalalar ham juda oson hal etiladi.Shunday qilib, aniq integralni hisoblash masalasi, integral ostidagi integrallanuvchi funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish masalasiga keltirilar ekan. Lekin, har qanday integrallanuvchi funksiyaning ham boshlang’ich funksiyasini topish oson bo’lavermaydi. Shuning uchun, aniq integralni hisoblashda, boshqa usullardan ham foydalanishga to’g’ri keladi.

Adabiyotlar:

1. 
   Abdalimov V., Solixov Sh. Oliy matematika qisqa kursi.- Toshkent:O`qituvchi,1981.
   
2. 
   Bogomolov N.V. Matematikadan amaliy mashg`ulotlar. – Toshkent:O`qituvchi,1984.
   
3. 
   Vыgodskiy M.Ya. Spravochnik po vыsshey matematike.- Moskva:Nauka,1977.
   
4. 
   GlagolevN.S.vaboshqalar. Matematika,IIIqism.-Toshkent: O`qituvchi,1947.
   
5. 
   KachenovskiyM.I.vaboshqalar.Algebrava analiz asoslari.
   

2-qism.–Toshkent:O`qituvchi,1982.

6. 
   Kudryavsev V.A., Demidovich V.R. Kratkiy kurs vыsshey matematiki.
   

-Moskva:Nauka,1985.

7. 
   Loboskaya N.L. Osnovы vыsshey matematiki. – Minsk, 1978.
   
8. 
   Minorskiy V.P. Sbornikzadachpovыsshey matematike.– Moskva:Nauka,1977.
   
9. 
   M.Ya.Vilenkin,O.S.Ivashev–Musatov,
   
10. 
    S.I.Shvartsburd,“Algebravamatematikanaliz”,Moskva,1993y.
    
11. 
    "Matematiktahlilmuammolarito'plami",Moskva,1996yil.
    
12. 
    VSavelyev,“Umumiyfizikakursi”,1-jild,Moskva,1982yil.