O`zbekiston respublikasi oliy ta`lim varizligiga qarashli muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkent axborot texnologiyalari unversiteti mustaqil ish

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA`LIM VARIZLIGIGA QARASHLI MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNVERSITETI

MUSTAQIL ISH

Bajardi: Azimov Shahobiddin

Tekshirdi:

TOSHKENT- 2020

2.To’plamlar ustida amallar.Dekart ko’paytma.





Ta’rtif: Bo’sh bo’lmagan A va B to’plamlarda A to’plam elementlarini birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar to’plamiga A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi va u AxB ko’rinishda belgilanadi.

Ta’rifga ko’ra AxB={(x;y)/x A, y B} bo’ladi. Tartiblangan (x; y) juftlikni uzunligi teng ikkiga bo’lgan kortej ham deyiladi. Uzunligi n ga teng bo’lgan kortej deganda tartiblangan (a₁, a₂,..., a_n) belginin tushinamiz. Agar ikkita kortejning uzunliklari va mos komponentalari o’zaro teng bo’lsa, u holda bu kortejlani teng deyiladi.

Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi.

Agar A to’plamda m ta B to’plamda n ta element bo’lsa, u holda AxB to’g’ri ko’paytmadam n ta element bo’ladi.

Ta’rif: Har qanday A₁, A₂, ... A_n to’plamlar berilgan bo’lsa, u holda A₁xA₂x…xA_n dekart ko’paytmaning ixtiyoriy W qism to’plami shu to’plamlar elementlari orasida aniqlangan n o’rinli moslik, n ga esa shu W moslikning rangi deyiladi.

Xususiy holda A₁=A₂=…=A_n=A bo’lsa, u holda W moslik A to’plamdan aniqlangan munosabat deb yuritiladi.

 bo’lib Aⁿ={(x₁, x₂,…, x_n)|x_iA (i= )} bo’ladi.

Dekart ko’paytma kommutativ emas.

Ta’rif: AxB dekart ko’paytmaning ixtiyoriy  qism to’plamiga A va B to’plam elementlari orasida aniqlngan binar (ikki o’rinli) munosabat deyiladi.

Agar aA, bВ bo’lib, (a; b) bo’lsa, u holda a element  munosabat yordamida b element bilan bog’langan deyiladi yoki  munosabat a va b elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va uni ab shaklda yoziladi. Mosliklarni , R, S, T… harflar orqali belgilanadi.

ab da  o’rnida =, //, ,   , … munosabatlar kelishi mumkin.

1.Polinomial formula.

Yilda matematika , bir polinom bir bo'lgan ifoda iborat o'zgaruvchilar (deb ham ataladi indeterminates ) va koeffitsiyentlarini faqat operatsiyalarini o'z ichiga oladi, qo'shimcha , olib tashlash , ayirish va manfiy bo'lmagan butun son us parametrlarga. Bitta noma'lum bo'lgan bir polinom misol x emas 

x ² -4 x +7 . Uch o'zgaruvchiga misol x ³ + 2 xyz ² - yz+ 1 .

Polinomlar matematikaning va fanning ko'plab sohalarida paydo bo'ladi. Masalan, ular elementar so'z masalalaridan tortib to murakkab ilmiy muammolarga qadar keng ko'lamli masalalarni kodlaydigan polinom tenglamalarini shakllantirish uchun ishlatiladi ; Ular aniqlash uchun ishlatiladi polinom vazifalari asosiy tortib sozlash paydo, kimyo va fizika uchun iqtisodiyot va ijtimoiy fan ; ular boshqa funktsiyalarni taxmin qilish uchun hisoblash va raqamli tahlilda ishlatiladi . Ilg'or matematikada polinomlar polinom halqalari va algebraik navlarini qurish uchun ishlatiladi, bular algebra va algebraik geometriyadagi markaziy tushunchalardir .

Polinom so'zi ikki xil ildizni birlashtiradi : yunoncha poly , "ko'p" degan ma'noni anglatadi va lotincha nomen yoki ism. U binomial atamadan lotin tilidagi bi- ildizini yunoncha poly- ga almashtirish bilan olingan . Polinom so'zi birinchi bo'lib 17-asrda ishlatilgan.

Ko'p polinomda uchraydigan x odatda o'zgaruvchi yoki noaniq deb nomlanadi . Polinom ifoda sifatida qaralganda, x hech qanday qiymatga ega bo'lmagan (uning qiymati "noaniq") sobit belgidir. Ammo, agar kimdir polinom tomonidan aniqlangan funktsiyani ko'rib chiqsa, u holda x funktsiya argumentini anglatadi va shuning uchun "o'zgaruvchi" deb nomlanadi. Ko'plab mualliflar ushbu ikki so'zni bir-birining o'rnida ishlatishadi.

Belgilanmaganlar uchun katta harflar va bog'liq funktsiya o'zgaruvchilari (yoki argumentlari) uchun mos keladigan kichik harflardan foydalanish odatiy holdir.  ^]

Polinom P noaniq yilda x , tez-tez bo'lib ham ifodalanadi R yoki R ( x ). Rasman, ko'phadning ismi P emas, balki P ( x ), lekin foydalanish funktsional qayd R ( x a vaqti) xurmo bir polinom va bog'liq funktsiya orasidagi farq aniq emas edi. Bundan tashqari, funktsional yozuv ko'pincha bitta iborada polinomni va uning noaniqligini ko'rsatish uchun foydalidir. Masalan, " P ( x ) polinom bo'lsin" - "let Pnoaniq x " tarkibida polinom bo'ling . Boshqa tomondan, noaniqning nomini ta'kidlash kerak bo'lmaganda, agar aniqlanmagan (lar) ning nomlari (lar) i o'qilmasa, ko'plab formulalar o'qish ancha sodda va osonroq bo'ladi. polinomning har bir paydo bo'lishida paydo bo'ladi.

Bitta matematik ob'ekt uchun ikkita belgining noaniqligi, ko'pburchak uchun funktsional yozuvning umumiy ma'nosini hisobga olgan holda rasmiy ravishda hal qilinishi mumkin. Agar bir keyin bir qator, bir o'zgarmaydigan, boshqa polinom yoki umuman, har qanday ifoda, anglatadi P ( a Konventsiya) bildiradi, o'rnini bosuvchi natija bir uchun x yilda R . Shunday qilib, P polinom funksiyani belgilaydi

{\ displaystyle a \ mapsto P (a),}

bu P bilan bog'liq bo'lgan polinom funktsiyasidir . Bu namoyish yordamida qachon tez-tez, bir taxmin bu bir raqami. Biroq, uni qo'shish va ko'paytirish aniqlangan har qanday domen (ya'ni har qanday qo'ng'iroq ) uchun ishlatish mumkin. Xususan, agar a polinom bo'lsa, u holda P ( a ) ham polinom bo'ladi.

Qachon ko'p maxsus, bir noaniq bo'lib x , so'ngra tasvir ning x , bu funktsiyasi tomonidan polinom, deb P o'zi (o'rnini bosuvchi X uchun x o'zgarishi narsa emas). Boshqa so'z bilan aytganda,

{\ displaystyle P (x) = P,}

bu bir xil polinom uchun ikkita belgining mavjudligini rasmiy ravishda oqlaydi.

Ta'rif 

Polinom bir emas ifoda qurilgan mumkin konstantalar va orqali o'zgaruvchilar yoki indeterminates deb nomlangan ramzlari Kiritilgan , ko'paytirish va us bir manfiy bo'lmagan butun son kuch. Qo'shish va ko'paytirishning odatiy komutativligi , assotsiativligi va taqsimlanish xususiyatlarini qo'llagan holda, ikkinchisiga aylantirilishi mumkin bo'lgan ikkita ibora bir xil polinomni belgilaydigan hisoblanadi.

Bitta aniqlanmagan x tarkibidagi polinom har doim ham shaklda yozilishi (yoki qayta yozilishi) mumkin

{\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} ,}

qayerda {\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}  doimiy va {\ displaystyle x} noaniq.  "noaniq" so'zi shuni anglatadi{\ displaystyle x} har qanday qiymat uning o'rnini bosishi mumkin bo'lsa-da, ma'lum bir qiymatni anglatmaydi. Ushbu almashtirish natijasini o'rnini bosuvchi qiymat bilan bog'laydigan xaritalash funktsiya bo'lib , polinom funktsiya deb ataladi .

Bu summatation notation yordamida aniqroq ifodalanishi mumkin :

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} x ^ {k}}

Deb, bir polinom ham nol bo'lishi mumkin yoki nolga teng bo'lmagan bir cheklangan soni yig'indisi sifatida yozilgan bo'lishi mumkin nazaridan . Har bir atama raqamning ko'paytmasidan iborat - bu atama koeffitsienti deb nomlangan   - va noaniq butun sonli kuchlarga ko'tarilgan sonli aniqlanmagan son.

Muddatda aniqlanmagan ko'rsatkichga ushbu atamada aniqlanmagan daraja deyiladi; atama darajasi - bu muddatdagi aniqlanmagan darajalar yig'indisi, ko'pburchak darajasi esa nolga teng bo'lmagan koeffitsientli har qanday atamaning eng katta darajasidir. ^[4] Chunki x = x ¹ , yozma bazasini holda bir noaniq darajasi biridir.

Aniqlanmagan atama va aniqlanmagan polinom mos ravishda doimiy atama va doimiy polinom deyiladi . ^[b] Doimiy atama va nolga teng bo'lmagan doimiy polinomning darajasi 0 ga teng, nol polinomning 0 darajasi (uning hech qanday atamasi yo'q) odatda aniqlanmagan deb hisoblanadi (lekin quyida ko'rib chiqing). ^[5]

Masalan:

{\ displaystyle -5x ^ {2} y}

atamadir. Koeffitsient −5 , aniqlanmagan x va y , x darajasi ikkitadir, y darajasi esa bitta. Butun atamaning darajasi undagi aniqlanmagan har birining darajalari yig'indisidir, shuning uchun bu misolda daraja 2 + 1 = 3 ga teng .

Bir nechta atamalarning yig'indisini shakllantirish ko'pburchakni hosil qiladi. Masalan, quyidagilar polinom hisoblanadi:

{\ displaystyle \ underbrace {_ {\,} 3x ^ {2}} _ {\ begin {smallmatrix} \ mathrm {term} \\\ mathrm {1} \ end {smallmatrix}} \ underbrace {-_ {\, } 5x} _ {\ begin {smallmatrix} \ mathrm {term} \\\ mathrm {2} \ end {smallmatrix}} \ underbrace {+ _ {\,} 4} _ {\ begin {smallmatrix} \ mathrm {muddat } \\\ mathrm {3} \ end {smallmatrix}}.}

U uchta atamadan iborat: birinchisi - ikkinchi daraja, ikkinchisi - birinchi daraja, uchinchisi - nol daraja.

Kichik darajadagi polinomlarga aniq nomlar berilgan. Nol darajadagi polinom doimiy polinom yoki oddiygina doimiydir . Birinchi, ikki yoki uch darajali polinomlar navbati bilan chiziqli polinomlar, kvadratik polinomlar va kubik polinomlardir . ^[4] Kattaroq polinom (to'rtinchi daraja uchun) va kvintik polinom (beshinchi daraja uchun) ba'zan ishlatilsa ham , yuqori darajalar uchun ma'lum nomlar odatda qo'llanilmaydi. Darajalar nomlari polinomga yoki uning shartlariga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Misol uchun, muddatli 2 x yilda x ² + 2 x + 1 kvadratik polinomdagi chiziqli atama.

Hech qanday atamasi yo'q deb hisoblanishi mumkin bo'lgan 0 polinomiga nol polinom deyiladi . Boshqa doimiy polinomlardan farqli o'laroq, uning darajasi nolga teng emas. Aksincha, nol polinom darajasi aniq belgilanmagan holda qoldiriladi yoki salbiy deb belgilanadi (yoki -1 yoki defined). ^[6] Nol polinom ham o'ziga xosdir, chunki u cheksiz ko'p ildizlarga ega bo'lgan aniqlanmagan bitta yagona polinom . Nol polinom, chizma f ( x ) = 0 bo'lib, x -axis.

Bir necha noma'lum yilda polinomların holda, bir polinom deb ataladi bir hil ning darajasiga n bo'lsa , barcha o'z nolga teng bo'lmagan terminlar bor darajasi n . Nol polinom bir hil bo'lib, bir hil polinom sifatida uning darajasi aniqlanmagan. ^[c] Masalan, x ³ y ² + 7 x ² y ³ - 3 x ^{5 5-} darajali bir hil. Qo'shimcha ma'lumot uchun bir hil polinomga qarang .

Kommutativ qonun tashqari har qanday qaror qilingan, tartibda kirib shartlarini qayta o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Biri aniqlanmagan polinomlarda, atamalar, odatda, darajaga qarab, yoki " x ning kamayuvchi kuchlari " da, birinchi daraja muddati bilan yoki " x ning ko'tarilish kuchlari" da tartiblanadi . Yuqoridagi misoldagi polinom x ning kamayuvchi kuchlarida yozilgan . Birinchi had 3 koeffitsientiga , noaniq x va 2 darajaga ega . Ikkinchi muddatda, koeffitsienti hisoblanadi -5 . Uchinchi atama doimiydir. Chunki darajanolga teng bo'lmagan polinomning istalgan atamaning eng katta darajasi, bu polinomning ikkinchi darajasi bor. ^[7]

Xuddi shu noaniqliklarga ega bo'lgan ikkita atama bir xil kuchga ko'tarilgan "o'xshash atamalar" yoki "o'xshash atamalar" deb nomlanadi va ularni taqsimot qonuni yordamida birlashtirilishi mumkin, ularning koeffitsienti atamalarning koeffitsientlari yig'indisidir. birlashtirildi. Ehtimol, bu koeffitsientni 0 ga keltirishi mumkin. ^[8] Polinomlarni nolga teng koeffitsientli atamalar soni bo'yicha tasniflash mumkin, shuning uchun bir davrli polinom monomial , ^[d] ikki davrli polinom binomial deb ataladi , va uch davrli polinom trinomial deb ataladi . "Quadrinomial" atamasi vaqti-vaqti bilan to'rt davrli polinom uchun ishlatiladi.

A haqiqiy ko'phad bilan bir polinom bo'lgan haqiqiy koeffitsientli. U funktsiyani aniqlash uchun ishlatilganda , domen shu qadar cheklanmagan. Biroq, haqiqiy polinom funktsiya bu haqiqiy polinom bilan aniqlanadigan realdan to realgacha bo'lgan funktsiyadir. Xuddi shunday, butun sonli polinom - bu butun sonli koeffitsientli polinom va murakkab ko'pburchak - bu murakkab koeffitsientli polinom .

Bir noaniqdagi polinom , bir o'zgaruvchisiz ko'pburchak , bir nechta aniqlanmagan polinom , ko'p o'zgaruvchili polinom deyiladi . Ikkala aniqlanmagan ko'pburchak, ikki o'zgaruvchan polinom deyiladi . ^[3] Ushbu tushunchalar alohida polinomlarga qaraganda, odatda ishlaydigan polinomlarning turiga taalluqlidir; masalan, bir o'zgaruvchili polinomlar bilan ishlashda doimiy polinomlarni istisno qilmaydi (bu doimiy bo'lmagan polinomlarni ayirboshlash natijasida kelib chiqishi mumkin), ammo qat'iyan aytganda, doimiy polinomlar hech qanday noaniqlikni o'z ichiga olmaydi. Ko'p o'zgaruvchan polinomlarni qo'shimcha o'zgaruvchan , uch tomonlama deb tasniflash mumkinva hokazo, ruxsat etilgan noaniqliklar maksimal soniga ko'ra. Shunga qaramay, ko'rib chiqilayotgan ob'ektlar to'plami ayirma bilan yopilishi uchun, uch o'lchovli polinomlarni o'rganish odatda ikki o'zgaruvchan polinomlarga ruxsat beradi va hokazo. Ruxsat etilgan noaniqlarni sanab, shunchaki " x , y va z dagi polinomlar" deyish odatiy holdir .

Agar ko'phadning baholash har bir noaniq uchun raqamli qiymatini o'rnini bosuvchi va belgilangan ayirish va qo'shimchalar amalga oshiruvchi iborat. Bir noaniq polinomlar uchun Horner usuli yordamida baholash odatda samaraliroq (bajariladigan arifmetik amallarning kamroq soni) :

{\ displaystyle ((((((a_ {n} x + a_ {n-1}) x + a_ {n-2}) x + \ dotsb + a_ {3}) x + a_ {2}) x + a_ { 1}) x + a_ {0}.}