O'ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI
RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
FARG’ONA FILIALI
“KOMPYUTER INJINERING” FAKULTETI
"TABIY FANLAR"
KAFEDRASI
"DIFFERENSIAL TENGLAMALAR"
FANIDAN
Bajardi: 711-21 guruh talabasi
TESHABOYEV TURSUNALI
NURMAXAMMADOVICH
Qabul qildi: ____________________
REJA:
Kirish
Klero va Lagranj tenglamalari
O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar
Bernulli tenglamasi
Xulosa
TARIF: Erkli o’zgaruvchi,nomalum funsiya va uning xosila хосила
(differensial)larine bog’lovchi
/(x, у, у', у", ..., у (п>) = 0
munosabat oddiy differensial tenglama deyiladi.
x-erkli o’zgaruvchi
y-nomalum funksiya
y'-nomalum funksiyaning 1 tartibli xosilasi
y(n)- nomalum funksiyaning (n) tartibli xosilasi
Differensial tenglamaga kiruvchi xosila (differensial)larning tng yuqori tartibi differensial tenlamaning tartibi deyiladi.
Differensial tenglamaning yechimi deb tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantihadigan differensiallanuvchi у = ц>(х)
funksiyaga aytiladi.
BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING MAXSUS YECHIMI . KLERO TENGLAMASI. LANGRANJ TENGLAMASI
1. 1-tur xosmas integral
funksiya [a,+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsin (1-rasm). integralni qaraymiz.
[a,+) oraliqda funksiyaning 1-tur xosmas integrali deb, qu-yidagi
limitga aytiladi va kabi belgilanadi, ya`ni
(1)
Agar limit mavjud va chekli bo`lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi.
Agar limit mavjud bo`lmasa yoki xususan cheksiz bo`lsa, xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Xuddi shuningdek, 1-tur xosmas integral (-,b] oraliq uchun kabi aniqlanadi (2-rasm).
Faraz qilaylik, funksiya (-;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz hamda c(-;+) bo`lsin. U holda xosmas integrallar:
yig`indisi funksiyaning (-;+) oraliqdagi 1-tur xosmas integrali deb ataladi va kabi belgilanadi.
(2)
Shunday qilib, (2) yig`indidagi har bir xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lsa, xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu holda (2) yig`indi s nuqtaning tanlanishiga bog`liq bo`lmaydi.
1) .
1-rasm 2-rasm
Demak, ushbu integral uzoqlashuvchi ekan.
2)
funksiya [a,b) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, x = b nuqta atrofida chegaralanmagan bo`lsin (3-rasm). U holda
limitga [a,b) oraliqda funksiyasining 2-tur xosmas integrali deyiladi:
(3)
Agar (3) limit mavjud va chekli bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar limit mavjud bo`lmasa yoki cheksizga teng bo`lsa, xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi. (a,b] oraliqda aniqlangan, uzluksiz va x = a nuqta atrofida chegaralanmagan funksiya uchun xosmas integral xuddi shuningdek aniqlanadi (4-rasm):
funksiya [a, b] oraliqning c[a,b] nuqtasidan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz bo`lib, x = c nuqtaning atrofida
3-rasm 4- rasm
chegaralanmagan bo`lsin (5-rasm). U holda bu funksiyaning [a, b] kesmadagi 2-tur xosmas integrali xosmas integrallarning yig`indisi kabi aniqlanadi:
(5)
5-rasm
Agar (5) formulaning o`ng tarafidagi har bir xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lsa, funksiyadan [a,b] oraliqda olingan xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
Misollar:
1) xosmas integralni hisoblang. Integral ostidagi funksiya x = 1 nuqtada uzilishga ega. Demak,
2) xosmas integralni hisoblang.
Integral ostidagi funksiya x = 1[0,2] nuqtada 2-tur uzilishga ega. Demak,
Demak, berilgan integral uzoqlashuvchi ekan.
Matematika va uning tatbiqlarining muhim masalalari x ni emas, balki uning biror noma`lum y(x) funksiyasini topish masalasi qo`yilgan va tarkibida x, y(x), shu bilan birga uning y′(x), y"(x),...,y(n)(x) hosilalarini o`z ichiga olgan murakkab tenglamalarni yechishga keltiriladi. Masalan, y′ + 2y - x3 = 0, y" = с·ax, у′" + у = 0.
Erkli o`zgaruvchi x ni, noma`lum y(x) funksiyani va uning n tartibli hosilasiga qadar hosilalarini bog`lovchi tenglamaga n-tartibli oddiy diffcrcnsial tcnglama deyiladi. Yuqoridayozilgan tenglamalar, mos ravishda, birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli differensial tenglamalardir. Umumiy ko`rinishda n-tartibli differensial tenglama
F(x, y, y′, y",..., yn) = 0 (1)
shaklda yoziladi.
(1) tenglamani ayniyatga aylantiruvchi va kamida n marta differensial-lanuvchi har qanday у = f(x) funksiyaga differensial tenglama yechimi deyiladi.
Masalan, у = e-x funksiya y′ + у = 0 differensial tenglama yechimi bo`lib, tenglamaning cheksiz ko`p yechimlaridan biridir. Har qanday у = c·e-x funksiya ham, bu yerda, с - ixtiyoriy o`zgarmas, tenglamani qanoatlantiradi. Ushbu differensial tenglama yechilganda, uning yechimi у = с·e-x ko`rinishdan o`zgacha bo`lishi mumkin emasligini aniqlaymiz. Shu ma`noda, у = с·e-x funksiya uning umumiy yechimi deyiladi. Umumiy yechimda ixtiyoriy o`zgarmas с qatnashgani uchun, tenglama yechimlari to`plami yagona ixtiyoriy с o`zgarmasga bog`liq deyiladi.
O`zgarmas с ga turli son qiymatlar berilganda, uning konkret yoki xususiy yechimlari kelib chiqadi.
у′" = 0 differensial tenglama yechimlarini bevosita qurish mum-kin: y" = c1, y′ = c1x+c2, у = c1x2/2 + c2x + c3. Bu yerda, c1, c2 va c3 ix-tiyoriy o`zgarmaslar bo`lib, ularning har qanday qiymatlarida у = c1x2/2 + c2x + c3 funksiya differensial tenglamani qanoatlantiradi va umumiy yechim bo`lib hisoblanadi. y′"=0 differensial tenglama umumiy yechimi uch ixtiyoriy o`zgarmasga bog`liq va o`zgarmaslar har birining konkret qiymatlarida xususiy yechim hosil bo`ladi.
Yuqoridagi misollardan differensial tenglama umumiy yechimi o`zgarmaslari soni tenglamaning tartibiga teng ekanligini va uning xu-susiy yechimlari umumiy yechimdan o`zgarmaslarining konkret qiy-matlarida kelib chiqishini xulosa qilish mumkin.
Differensial tenglama yechimlarini qurish jarayoniga differensial tenglamani integrallash deb yuritiladi. Differensial tenglamani integrallab, masalaning qo`yilishiga qarab, uning yoki umumiy yechimi tuziladi yoki xususiy yechimi topiladi.
Birinchi tartibli differensial tenglama umumiy F(x; y; y) = 0 yoki y hosilaga nisbatan yechilgan
y′ = f(x;y) (2)
ko`rinishda yozilishi mumkin.
Ushbu tenglamalar ham, odatda, cheksiz ko`p yechimga ega bo`lib, ulardan biror-bir xususiy yechimni ajratib olish qo`shimcha shartni talab etadi. Ko`p hollarda ushbu shart Koshi masalasi shaklida qo`yiladi. Koshi masalasi y′ = f(x;y) differensial tenglamaning y/x = x0 = y0 boshlang`ich shartni qanoatlantiravchi yechimini topishdan iborat.
Masala yechimi mavjudlik va yagonalik sharti quyidagi teoremadan aniqlanadi.
Teorema. Agar f(x;у) funksiya boshlang`ich (x0;y0) nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz дf/ду xususiy hosilaga ega bo`lsa, u holda (x0;y0) nuqtaning shunday bir atrofi mavjudki, ushbu atrofda y` = f(x;y) differensial tenglama uchun y/x = x0 = y0 boshlang`ich sharth Koshi masalasi ycchimi mavjud va yagonadir.
Differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari tushunchalariga aniqlik kiritamiz.
Agar boshlang`ich (x0;y0) nuqtaning berilishi (2) tenglama yechimining yagonaligini aniqlasa, u holda ushbu yagona yechimga xususiy yechim deyiladi. Boshqacha aytganda boshlang`ich shart bir qiymatni aniqlaydigan yechim xususiy yechimdir.
Differensial tenglamaning barcha xususiy yechimlari to`plamiga esa, umumiy yechim deyiladi.
Odatda, umumiy yechim yoki oshkor y - φ(x,c) yoki oshkormas φ(х,у,с) = 0 ko`rinishda yoziladi. Boshlang`ich (x0;y0) shart asosida с o`zgarmas у0 = φ(х0;с) tenglamadan topiladi.
Tenglamaning umumiy integral) (yoki yechimi) deb, с o`zgarmasning turli qiymatlarida barcha xususiy yechimlari aniqlanadigan φ(х,у,с) = 0 munosabatga aytiladi.
Masalan, yechimning mavjudlik va yagonalik teorema shartlari yuqorida ko`rilgan y′ = -y tenglama uchun xy tekislikning har bir nuqtasida bajariladi. Tenglama umumiy yechimi y = c·cx formuladan iborat boiib, har qanday boshlang`ich y/x = x0 = y0 shart mos с o`zgarmas tan-langanda, qanoatlantiriladi. O`zgarmas с y0 = c·c-x0 tenglamadan topiladi va c = y0·ex0.
Differcnsial tenglamani yechish uning umumiy yechimini (yoki umu-miy integralini) topishni anglatadi.
(2) differensial tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini ta`min-laydigan muhim shartlardan дf/дy xususiy hosilaning uzluksizligidir. Ba`zi bir nuqtalarda ushbu shart bajarilmasligi va ular orqali birorta ham integral chiziq o`tmasligi yoki, aksincha, bir nechta integral chiziqlar o`tishi mumkin. Bunday nuqtalarga differensial tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi.
Differensial tenglamaning integral chizig`i faqat uning maxsus nuqtalaridan iborat bo`lishi mumkin. Ushbu egri chiziqlar tenglamaning maxsus yechimlari deb yuritiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |