O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
1.133.
 Òånglàmàni yeching:
1) 
3
2
sin10
x
= -
;                                           2) 
3
2
cos10
x
=
;
3) 
tg10
3
x
=
;
                                          4) 
3
3
ctg10
x
=
;
5) sin(6
x
 
- 
60
o
)
 
= -
1;                                      6) cos(4
x
 
+ 
30
°
)
 
= 
0;
7) tg(5
x
 
- 
45
°
)
 
= 
0;                                           8) 
2
3
3
4
sin
x
=
;
9) 
2
1
4
cos (2
45 )
x
-
=
o
;                                10) 
2
4
tg
6
3
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
p
-
=
;
11) 
2
6
sin
7
3
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
p
-
=
;                                    12) 
(
)
2
1
3
4
cos 4
x
p
+
= -
;
13) 
2
3
tg
5
1
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
p
-
= -
;                                  14) sin(4
x
2
)
 
= 
0,5;
15) cos
2
6
x
2
 
= 
0,25;                                          16) 
tg
5
1
x
= -
.
1.134.
 Òånglàmàni yeching:
1) sin4
x 
cos3
x 
tg8
x
 
= 
0;                   2) cos4
x
 
= -
cos5
x
;
3) 
3
tg5
tg
x
x
= -
;                                   4) sin11
x
 
= -
sin15
x
;
5) cos4
x
 
= 
cos
x
;
                  6) tg3
x
 
= -
ctg5
x
;
7) 
3
4
sin
cos
x
x
=
;
                   8) 
(
)
tg
ctg
(
)
5
2
6
p
p
-
= -
+
x
x
;
9) 
4
6
sin
sin
x
x
=
;                                     10) 
(
)
2
3
4
sin
cos
x
x
p
-
= -
;
11) 
3
ctg7
ctg
x
= -
;                                12) 
ctg
tg2
x
x
=
;
13) cos
2
2
x 
+ 
3cos2
x
 
+ 
2
 
= 
0;          14) tg
2
5
x 
- 
3tg5
x
 
- 
4
 
= 
0;
15) sin
x
2
 
= -
sin3
x
2
;                           16) sin
2
x
 
+ 
sin
2
2
x 
+ 
2
 
= 
0;
17) 
3
3
2(cos
sin
) sin 2
x
x
x
+
=
.
5. Õususiy usullàr.
 1) Àgàr tånglàmà tàrkibidà hàr õil trigînî-
måtrik  funksiyalàr  qàtnàshsà,  ulàrni  bir  ismli  funksiyagà  kålti-
rish, so‘ngrà àlmàshtirishlàrni bàjàrish kåràk.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

67
1 - m i s î l .  3sin
2
x 
+ 
4sin
x
 
+ 
2cos
2
x 
- 
7
 
= 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  cos
2
x 
= 
1
 
- 
sin
2
x 
àlmàshtirish bårilgàn  tånglà-
màni 3sin
2
x 
+ 
4sin
x 
+ 
2
 
- 
2sin
2
x
 
- 
7
 
= 
0 yoki sin
2
x
 
+ 
4sin
x 
- 
5
 
= 
0
ko‘rinishgà  kåltiràdi.  Îõirgi  tånglàmàdàn  sin
x
 
= 
z
  àlmàshtirish
bàjàrsàk, 
z
2
 
+ 
4
z
 
- 
5
 
= 
0 kvàdràt tånglàmà hîsil bo‘làdi. Bu kvàdràt
tånglàmà 
z
1
 
= -
5, 
z
2
 
= 
1 ildizlàrgà egà. 
z
 
= 
sin
x
 ekànligini e’tibîrgà
îlsàk,  sin
x
 
=
 
-
5  và  sin
x
 
=
1  tånglàmàlàr  hîsil  bo‘làdi.  Ulàrning
birinchisi yechimgà egà emàs, ikkinchisi esà 
2
2
,  
x
k
k Z
p
= +
p
Î
yechimlàrgà egà.
2)  Chàp  qismi  sin
x
  và  cos
x
  gà  nisbàtàn  ratsiînàl  funksiya
bo‘lgàn
 R
(sin
x
, cos
x
)
 = 
0 tånglàmà. Îldingi bàndlàrdà ko‘rsàtib
o‘tilgànidåk, 
u
 và 
v
 gà nisbàtàn 
ratsiînàl funksiya
 dåb, qiymàtlàri
u
 và 
v
 làrni qo‘shish, ko‘pàytirish và bo‘lish îrqàli hîsil bo‘là-
digàn funksiyagà àytilàdi. 
R
(sin
x
, cos
x
)
 = 
0 tånglàmàdà:
à) àgàr sin
x
 (yoki cos
x
) fàqàt juft dàràjà bilàn qàtnàshàyotgàn
bo‘lsà, cos
x
 = 
u
 (mîs ràvishdà sin
x
 = 
u
) àlmàshtirish bàjàrilàdi;
b)  àgàr  bir  vàqtdà  sin
x
  ifîdà 
-
sin
x
  gà,  cos
x
  esà 
-
cos
x
  gà
àlmàshtirilgàndà 
R
(sin
x
; cos
x
) funksiya o‘zgàrmàsà, ya’ni 
R
(sin
x
;
cos
x
)
 = 
R
(
-
sin
x
;
 
-
cos
x
) bo‘lsà, tg
u
 = 
z
 àlmàshtirish bàjàrilàdi.
2 - m i s î l .  cos
4
x 
+ 
3sin
x
 - 
sin
4
x
 - 
2
 = 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  cos
x
 funksiya fàqàt juft dàràjà bilàn qàtnàshmîqdà.
cos
4
x
 = 
(1
 - 
sin
2
x
)
2
 = 
1
 - 
2sin
2
x 
+ 
sin
4
x
 bo‘lgànidàn tånglàmà fàqàt
sinusgà bîg‘liq: 2sin
2
x
 - 
3sin
x 
+ 
1
 = 
0; endi bu tånglàmà sin
x
 = 
u
àlmàshtirish  bilàn  2
u
2
 - 
3
u 
+ 
1
 = 
0  ko‘rinishgà  kålàdi.  Buning
ildizlàri: 
1
1
2
u
=
, 
u
2 
=
 1. Shu tàriqà màsàlà 
1
2
sin
x
=
 và sin
x
 = 
1 eng
sîddà trigînîmåtrik tånglàmàlàrni yechishgà kålàdi. Bu tånglà-
màlàr bårilgàn tånglàmàning bàrchà yechimlàrini båràdi:
2
6
( 1)
,  
;  
2
,  
.
k
x
k k Z x
k k Z
p
p
= -
+ p
Î
= + p
Î
3 - m i s î l .  sin
2
x 
+ 
2sin2
x 
+ 
5cos
2
x
 - 
4
 = 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàni sin
2
x 
+ 
4sin
x 
cos
x 
+ 
5cos
2
x 
- 
4
 
= 
0
ko‘rinishdà  yozib  îlàylik.  Bu  tånglàmàni 
õ 
ning  cos
x
  ni  nîlgà
àylàntiràdigàn  håch  qàndày  qiymàti  qànîàtlàntirmàydi,  chunki
cos
x 
= 
0 bo‘lgàndà sin
2
x 
=
1 bo‘lib, tånglàmàdàn 
-
3
 
= 
0 nîto‘g‘ri
tånglik  hîsil  bo‘làdi.  Bundàn  tàshqàri,  sin
x
  và  cos
x
  îldidàgi
ishîràlàr  bir  vàqtdà  o‘zgàrtirilgàndà,  tånglikning  chàp  qismi
o‘zgàrmàydi. Dåmàk, tg
x 
= 
u
 àlmàshtirishni bàjàrish mumkin.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

68
Òånglàmàning ikkàlà qismini cos
2
x
 gà bo‘làmiz:
2
2
4
cos
tg
4tg
5
0
x
x
x
+
+ -
=
.
2
2
1
cos
1 tg
x
x
= +
 bo‘lgàni uchun
3tg
2
x 
- 
4tg
x 
- 
1
 
= 
0
tånglàmà  hîsil  bo‘làdi.  Bu  tånglàmàdà  tg
x 
= 
t
  àlmàshtirish
bàjàrsàk, 3
t 
2
 
- 
4
t 
- 
1
 
= 
0 tånglàmàgà egà bo‘làmiz. Bu kvàdràt
tånglàmà 
2
7
3
±
 ildizlàrgà egà. Òîpilgàn ildizlàr yordàmidà bårilgàn
tånglàmàning bàrchà ildizlàrini àniqlàymiz:
2
7
2
7
3
3
arctg
,  
;  
arctg
,  
.
x
k k Z x
k k Z
-
+
=
+ p
Î
=
+ p
Î
3) 
R
(sin
x
;  cos
x
)
  = 
0  tånglàmàning  chàp  qismi  sinus  và
kîsinusgà nisbàtàn bir jinsli funksiya, ya’ni, àgàr sin
x
 và cos
x
 bir
vàqtdà birîr 
l
 gà ko‘pàytirilsà, tånglàmàning chàp qismi 
l
n
 gà
ko‘pàytirilgàn bo‘làdi: 
R
(
l
sin
x
; 
l
cos
x
)
 = l
n
R
(sin
x
;
 
cos
x
), bundà
n
  –  funksiyaning  bir  jinslilik  dàràjàsi,  o‘zgàrmàs  miqdîr.  Bu
hîldà  tånglikning  ikkàlà  qismi  cos
n
x
  gà  bo‘linàdi  và  tg
x 
=
 
u
àlmàshtirish  bàjàrilàdi.  Àgàr  tånglikning  bàrchà  hàdlàri  cos
m
x
gà bo‘linàdigàn bo‘lsà, u hîldà cos
m
x
 qàvsdàn tàshqàri chiqàrilsà,
bårilgàn tånglàmà ikki tånglàmàgà àjràlàdi.
4 - m i s î l .  9cos
6
x 
- 
4sin
3
x
cos
3
x 
= 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàning bàrchà hàdlàri cos
3
x
 gà bo‘linàdi.
cos
3
x
 ni qàvsdàn tàshqàrigà chiqàràmiz:
3
3
3
3
3
3
cos
0,
cos
(9 cos
4 sin
) 0
9 cos
4 sin
0.
x
x
x
x
x
x
é
=
-
= Þ ê
ê
-
=
ë
cos
x
  = 
0  tånglàmà  izlànàyotgàn  yechimning  bir  turkumini
båràdi: 
2
,  
x
k k Z
p
= + p
Î
.  Ikkinchi  tånglàmà  cos
x
  và  sin
x
  gà
nisbàtàn bir jinsli. Uning ikkàlà qismini cos
3
x
 gà bo‘làmiz (cos
x
 ¹
¹
0, ya’ni 
2
,  
x
k k Z
p
¹ ± + p
Î
 hîl qàràlyapti). Nàtijàdà: 9
 - 
4tg
3
x 
=
=
0 tånglàmàgà egà bo‘làmiz. Bu tånglàmà yechimning yanà bir
turkumini båràdi: 
3
9
4
arctg
,  
x
k k Z
=
+ p
Î
.
 Bà’zàn îddiy àlmàshtirishlàr tånglàmàni ungà tång kuchli bir
jinsli tånglàmàgà kåltirishi mumkin. Ìàsàlàn, cos
2
x
 - 
6sin
x 
cos
x 
= 
4
ning  o‘ng  qismini  sin
2
x 
+ 
cos
2
x
  gà  (ya’ni  1  gà)  ko‘pàytirish
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

69
tånglàmàni  cos
2
x 
- 
6sin
x
cos
x 
= 
4(cos
2
x 
+ 
sin
2
x
)  yoki  3cos
2
x
+
+
6sin
x 
cos
x 
+ 
4sin
2
x 
= 
0  bir    jinsli    tånglàmàgà    àylàntiràdi.
3- misîldà hàm shundày yo‘l tutish mumkin edi.
4) Àgàr trigînîmåtrik tånglàmàdà 
õ
 dàn bîshqà yanà 2
õ
, 3
õ
và hîkàzî àrgumåntning ko‘p kàrràli trigînîmåtrik funksiyalàri
hàm  qàtnàshàyotgàn  bo‘lsà,  ulàr  ikkilàngàn,  uchlàngàn  àrgu-
månt trigînîmåtrik funksiyalàri yordàmidà fàqàt bir àrgumåntgà
bîg‘liq trigînîmåtrik funksiya îrqàli ifîdàlànishi mumkin.
5 - m i s î l .   sin3
x
sin
x 
- 
sin
2
2
x 
+ 
sin
x 
- 
0,25
 
= 
0  tånglàmàni
yechàmiz.
Y e c h i s h .   sin2
j
 
= 
2sin
j
cos
j
,  sin3
j
 
= 
3sin
j -
4sin
3
j
,  cos
2
j
 
=
= 
1
 
-
sin
2
j
  fîrmulàlàrdàn  fîydàlànib,  tånglàmàni  ushbu  ko‘ri-
nishgà kåltiràmiz:
3sin
2
x 
- 
4sin
4
x 
- 
4sin
2
x•
(1
 
- 
sin
2
x
)
 
+ 
sin
x 
- 
0,25
 
= 
0
yoki iõchàmlàshtirishlàrdàn so‘ng:  sin
2
x 
- 
sin
x 
+ 
0,25
 
= 
0.
Y e c h i m i :  
x 
= 
(
-
1)
k
•30
°
 
+ 
180
°
k
, 
k
Î
Z
.
6 - m i s î l .  cos3
t 
sin6
t 
- 
cos4
t
 
sin5
t 
= 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Kàrràli àrgumånt trigînîmåtrik funksiyalàri fîrmu-
làlàridàn  fîydàlànsàk,  ifîdà  ànchà  muràkkàb  ko‘rinishgà  kålàdi.
Bu  o‘rindà  ko‘pàytmàni  yig‘indigà  àylàntirish  fîrmulàlàridàn
kålib chiqàdigàn quyidàgi tångliklàrdàn fîydàlànish qulày:
1
1
2
2
1
1
2
2
cos 3 sin 6
sin 9
sin 3 ,
cos 4 sin 5
sin 9
sin .
t
t
t
t
t
t
t
t
=
+
=
+
Bu ifîdàlàr bårilgàn tånglàmàgà tàtbiq etilsà và shàkl àlmàsh-
tirishlàr bàjàrilsà, sin3
t 
- 
sin
t 
= 
0 yoki 2sin
t
 
cos2
t 
= 
0 tånglàmà
hîsil  bo‘làdi.  Uning  yechimlàri 
4
2
;  
,  
k
t
k t
k Z
p
p
= p
= +
Î
  sîn-
làrdàn ibîràt. Bu sînlàr bårilgàn tånglàmàning bàrchà yechim-
làridir.
5) 
a 
sin
x 
+ 
b 
cos
x 
= 
c
 ko‘rinishdàgi tånglàmàlàrni yechishning
eng qulày usuli yordàmchi burchàk kiritish usulidir.
Àgàr 
c 
= 
0 bo‘lsà, yechish usuli bizgà tànish bo‘lgàn bir jinsli
tånglàmà hîsil bo‘làdi.
c 
¹ 
0, 
a
2
 
+ 
b
2
 
¹ 
0 bo‘lsin. Òånglàmàning ikkàlà tîmînini hàm
2
2
a
b
+
  gà  bo‘làmiz:
2
2
2
2
2
2
cos
sin
a
b
c
a
b
a
b
a
b
x
x
+
+
+
+
=
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

70
2
2
2
2
2
2
1
a
b
a
b
a
b
+
+
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
  bo‘lgàni  uchun 
2
2
sin
a
a
b
+
=
j
và 
2
2
cos
b
a
b
+
=
j
  tångliklàr o‘rinli bo‘làdigàn 
j
 sîn màvjuddir.
Bu yerdà,
2
2
cos sin
sin cos
c
a
b
x
x
+
j +
j =
  yoki  
2
2
sin(
)
c
a
b
x
+
+ j =
tånglàmà hîsil bo‘làdi. Hîsil bo‘lgàn bu tånglàmà 
2
2
1
c
a
b
+
£
 bo‘l-
gàndàginà yechimgà egà: 
2
2
( 1) arcsin
,  
n
c
a
b
x
n
n Z
+
= -j + -
+ p
Î
.
7 - m i s î l .  
3 cos
sin
2
x
x
+
=
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .   Òånglàmàning  ikkàlà  tîmînini 
2
2
( 3)
1
2
+
=
gà  bo‘lsàk, 
3
1
2
2
cos
sin
1
x
x
+
=
  hîsil  bo‘làdi. 
3
2
3
sin ,
p
=
1
2
3
cos
p
=
  bo‘lgànligi uchun
 
( )
3
3
3
sin cos
cos sin
1
sin
1
x
x
x
p
p
p
+
= Þ
+
= Þ
3
2
6
2
2
,  
x
k
x
k
k Z
p
p
p
Þ + = +
p Þ = +
p
Î
.
8 - m i s î l .  2sin
x 
+ 
3cos
x 
= 
4  tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  
2
2
4
2
3
1
+
>
 bo‘lgàni uchun tånglàmà yechimgà egà
emàs.
6) Bà’zi trigînîmåtrik tånglàmàlàr chàp yoki o‘ng tîmînini
bàhîlàsh yo‘li bilàn îsîn yechilàdi.
9 - m i s î l .  cos2
x 
+ 
cos3
x 
+ 
cos4
x 
= 
3 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàning chàp tîmînidàgi yig‘indi cos2
x 
= 
1,
cos3
x 
= 
1,
 
cos4
x 
= 
1 tångliklàr bir vàqtdà bàjàrilgàndàginà 3 gà
tång bo‘làdi. Bu tångliklàr bir vàqtdà bàjàrilà îlmàydi. Dåmàk,
tånglàmà yechimgà egà emàs.
1 0 - m i s î l .  1
 
- 
cos
2
3
x 
+ 
sin
2
2
x 
= 
0 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàni quyidàgichà yozib îlàmiz: sin
2
2
x 
+
+ 
sin
2
3
x 
= 
0. Bundàn, sin
2
2
x 
= 
sin
2
3
x 
= 
0  siståmà hîsil bo‘làdi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

71
sin2
x 
= 
0 tånglàmà  
2
,  
x
k x
n
p
= p
= + p
 ildizlàrgà egà. 
2
,
x
n
p
= + p
n Z
Î
 sînlàri sin
2
3
x 
= 
0 tånglàmàni qànîàtlàntirmàydi. 
x 
= p
k
 ildiz
esà  sin
2
3
x 
= 
0  tånglàmàni  qànîàtlàntiràdi.  Dåmàk,  bårilgàn
tånglàmà 
x 
= p
k
, 
k
Î
Z
 ildizlàrgà egà.
7) 
P
(sin
x 
± 
cos
x
, sin
x
cos
x
)
 
= 
0 ko‘rinishdàgi tånglàmàlàr (bu
yerdà 
P
  bilàn  sin
x 
± 
cos
x
  gà  nisbàtàn  ratsiînàl  funksiya
bålgilàngàn).  Bu  kàbi  tånglàmàlàr  sin
x 
± 
cos
x 
= 
t
  àlmàshtirish
yo‘li bilàn yechilàdi.
1 1 - m i s î l .  sin
x 
+ 
cos
x 
= 
1
 
- 
2sin
x
cos
x
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .   sin
x 
+ 
cos
x 
= 
t
  àlmàshtirish  kiritsàk,  sin
2
x 
+
+
2sin
x
cos
x 
+  
cos
2
x 
= 
t 
2
 yoki 2sin
x
cos
x 
= 
t 
2
 
- 
1 bo‘làdi và tånglàmà
t 
= 
1
 
- 
(
t 
2
 
- 
1) ko‘rinishgà kålàdi. Bu tånglàmàning 
t
1
 
= 
1; 
t
2
 
= -
2
ildizlàri yordàmidà sin
x 
+ 
cos
x 
= 
1; cos
x 
+ 
sin
x 
= -
2  tånglàmàlàrni
hîsil qilàmiz.
sin
x 
+ 
cos
x 
= 
1 tånglàmà 
4
4
( 1)
,  
k
x
k
k Z
p
p
= -
- + p
Î
 ildizlàrgà
egà.
cos
x 
+ 
sin
x 
= -
2  tånglàmà  esà  yechimgà  egà  emàs.  Dåmàk,
bårilgàn tånglàmà 
4
4
( 1)
,  
k
x
k
k Z
p
p
= -
- + p
Î
 ildizlàrgà egà.