O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

1. sin
a = 
m
 ko‘rinishdàgi eng sîddà tånglàmà. Àrksinus.
 sin
a
 = 
m
tånglàmàni  yechish  birlik  àylànàdàgi  shundày 
B
(
a
)  nuqtàni
tîpishdàn ibîràtki, uning 
y 
= 
sin
a
 îrdinàtàsi 
m
 gà tång bo‘lishi
kåràk. Buning uchun gîrizîntàl diàmåtrgà pàràllål bo‘lgàn 
y 
= 
m
to‘g‘ri chiziq bilàn birlik àylànàning kåsishish nuqtàlàrini tîpish
kåràk. Uch hîl bo‘lishi mumkin:
à) àgàr |
m
|
 > 
1 bo‘lsà, 
y 
= 
m
 to‘g‘ri  chiziq àylànàni  kåsmày,
undàn  yuqîri  yoki  quyidàn  o‘tàdi  (I.39-
à
  ràsm).  Dåmàk,  bu
hîldà tånglàmà yechimgà egà emàs;
b)  àgàr  |
m
|
 
= 
1  bo‘lsà,  to‘g‘ri  chiziq  àylànàgà  yo  yuqîridàgi
( )
1
2
B
p
  nuqtàdà  yoki  quyidàgi 
( )
2
2
B
p
-
  nuqtàdà  urinib  o‘tàdi
(I.39-
b
 ràsm). Bu hîldà tånglàmà yagînà ildizgà egà: 
2
p
a =
 yoki
2
p
a = -
.  Àgàr  funksiyaning 
Ò 
= 
2
p
  àsîsiy  dàvri  hàm  e’tibîrgà
îlinsà,  yechimni 
2
2
,  
k k Z
p
a = + p
Î
 
(
)
2
2
,  
k k
Z
p
a = - + p
Î
ko‘rinishdà yozish mumkin;
d)  |
m
|
 < 
1  bo‘lsà, 
y 
= 
m
  to‘g‘ri  chiziq  àylànàni 
  B
1
(
a
0
)  và
B
2
(
p  -  a
0
)  nuqtàlàrdà  kåsàdi(1.39-
d
  ràsm).  Dåmàk,  tånglà-
màning yechimi shu nuqtàlàrning kîîrdinàtàlàri bo‘lgàn bàrchà
sînlàr to‘plàmlàrining birlàshmàsi bo‘làdi:
Y
O       A      X
|
 
m
 
|
 
> 
1
Y
O       A      X
B
1
B
2
|
 
m
 
|
 
= 
1
Y
O       A      X
B
1
B
2
|
 
m
 
|
 
< 
1
a
0
p-a
0
              à)                                   b)                                 d)
I.39-rasm.
D
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

55
{a
0
 + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
}È{p - a
0
 + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
}
.
Yechimni 
x 
=  a
0
  + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
; 
x
  =  p  -  a
0
  + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
ko‘rinishdà hàm yozish mumkin.
Yechimning  gåîmåtrik  tàhlilidà 
y
   = 
m
to‘g‘ri  chiziq  bilàn
sinusîidàning kåsishish nuqtàsi hàqidà hàm gàpirilishi mumkin.
1 - m i s î l .  
3
2
sin
a =
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  
3
2
y
=
 (
y 
< 
1) to‘g‘ri chiziq kîîrdinàtàli àylànàni
( )
1
3
B
p
  và 
( )
2
2
3
B
p
  nuqtàlàrdà  kåsàdi  (I.39-
d
  ràsm). 
B
1
  nuqtà
bàrchà 
3
2
,
k
p
+
p
 
k
Z
Î
  sînlàr  to‘plàmigà, 
B
2
  nuqtà  esà  bàrchà
2
3
2
,  
k
k Z
p
+
p
Î
  ko‘rinishdàgi  sînlàr  to‘plàmigà  mîs.  Bàrchà
yechimlàr  to‘plàmini 
3
2
,  
;
k
k Z
p
a = +
p
Î
 
2
3
2
,  
k
k Z
p
a =
+
p
Î
yoki 
{
}
3
2
,  
k
k
Z
p
+
p
Î
È
 
{
}
2
3
2 ,  
k
k Z
p
+
p
Î
  ko‘rinishdà  yozish
mumkin.
2 - m i s î l .   à)  sin
a  = 
1;  b)  sin
a  =  -
1;  d)  sin
a  = 
0
tånglàmàlàrni yechàmiz.
Y e c h i s h .   à)  Kîîrdinàtàli  àylànàdà  fàqàt  bittà 
( )
1
2
B
p
nuqtàning  îrdinàtàsi  1  gà  tång  (I.39-
b
  ràsm).  Y e c h i m :
a
p
p
=
+
Î
2
2
k k
Z
,  
;
b) 
( )
2
2
2
(0;   1)
B
B
p
-
=
-
 nuqtà bo‘yichà 
2
2 , 
k k Z
p
a = - + p
Î
;
d)  îrdinàtàsi  0  bo‘lgàn  nuqtà  ikkità: 
A
(0)  và 
D
(
p
)  (I.39-
d
ràsm). 
À
 nuqtàgà 2
k
p
, 
k
Î
Z
, 
D
 nuqtàgà esà 
p + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
 sînlàr
mîs kålàdi.
J à v î b :  
a = 
2
k
p
, 
k
Î
Z
; 
a = p + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
.
|
m
|
 £ 
1 dà 
y
 = 
m
 to‘g‘ri chiziq và o‘ng yarim birlik àylànà yagînà
umumiy  nuqtàgà  egà  bo‘làdi.  Shu  sàbàbli  sin
a = 
m
  (|
  m 
|
 £ 
1)
tånglàmà  
[
]
-
p
p
2
2
; 
 îràliqqà tågishli bo‘lgàn yagînà 
x
0
 yechimgà
egà. sin
a = 
m
 tånglàmàni qànîàtlàntiruvchi 
0
2
2
;  
p
p
é
ù
a Î -
ë
û
 sîni 
m
sînning 
àrksinusi 
dåyilàdi và arcsin
m
 îrqàli bålgilànàdi. Òà’rifgà
ko‘rà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

56
sin(arcsin
m
)
 =
 
m         
   (1)
và
2
2
arcsin
m
p
p
- £
£
                  (2)
bo‘làdi.  Àksinchà,  sin
a = 
m
  và 
2
p
- £
2
p
£ a £
 bo‘lsà, 
a = 
arcsin
m
 bo‘làdi.
3-misîl.  à) arcsin
3
2
; b) arcsin
( )
1
2
-
;
d) 
3
2
arcsin
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
  ifîdàlàrni  hisîblày-
miz.
Y e c h i s h .  à) 
3
2
sin
x
=
 bo‘yichà 
1
3
,
x
p
=
 
2
2
3
x
p
=
. Àrksinus-
ning tà’rifi bo‘yichà 
2
2
x
p
p
- £ £
 bo‘lishi kåràk. Bu shàrtgà 
1
3
x
p
=
to‘g‘ri kålàdi. Dåmàk, 
3
2
3
arcsin
p
=
.
b) 
( )
1
2
6
sin
,
p
-
= -
 
2
2
6
p
p
p
- £ - £
  bo‘lgàni uchun arcsin 
( )
1
2
-
=
6
p
= -
  bo‘làdi.
d) 
( )
3
3
2
2
3
2
sin
,  
p
p
p
p
-
= -
- £ - £
.  Dåmàk, 
3
2
3
arcsin
p
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
.
I.40-ràsmdàn 
y 
= 
m
 và 
a = 
arcsin
m
 sînlàri îràsidàgi bîg‘lànish
àyon bo‘làdi. Chizmàdà 
a = 
arcsin
m
 và 
-a = 
arcsin(
-
m
). Dåmàk,
arcsin(
-
m
)
 = -
arcsin
m
.                                      (3)
Shundày qilib, |
m
| 
£ 
1 bo‘lgàn hîldà sin
a = 
m
 tånglàmàning 
a
yechimi 
{
arcsin
m
  + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
}È{p  - 
arcsin
m
  + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
}
to‘plàmlàr birlàshmàsi ko‘rinishidà yoki 
a = 
arcsin
m
 + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
;
a  =  p  - 
arcsin
m
  + 
2
k
p
, 
k
Î
Z
ko‘rinishdà  yoki  bu  kåyingi  ikki
fîrmulàni birlàshtirib,
a = 
(
-
1)
k
  arcsin
m
 + 
k
p
, 
k
Î
Z
                          (4)
ko‘rinishdà yozish mumkin.
4 - m i s î l .   à) 
1
7
sin
a =
;      b) 
1
9
sin
a = -
  tånglàmàlàrni
yechàmiz.
Y e c h i s h .   à) 
1
7
sin
a =
  tånglàmà  yechimini  (4)  fîrmulà
bo‘yichà 
1
7
( 1) arcsin
,  
k
k
k
Z
a = -
+ p
Î
 ko‘rinishdà yozàmiz;
Y
X
O
m
-
m
-a
a
B
1
(arcsin
m
)
B
2
(arcsin(
-
m
))
I.40-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

57
b) (3) munîsàbàtgà ko‘rà 
( )
1
1
9
9
arcsin
arcsin
-
=
.
Y e c h i m :  
{
} {
}
1
1
9
9
arcsin
2 , 
arcsin
2 , 
k
k Z
k
k Z
-
+
p
Î
È p +
+
p
Î
yoki 
1
1
9
( 1)
arcsin
,  
k
k
k
Z
+
a = -
+ p
Î
 ekànligi kålib chiqàdi.
Ì à s h q l à r
1.116.
  Òånglàmàlàrni  yeching  và  gràfik  yordàmidà  tushun-
tiring:
1) sin
x
 = -
0,5; 2)  sin
x
 = -
0,75; 3)  sin
x
 = 
0,2; 4) 
7
8
sin
x
=
;
5)
2
2
sin
x
=
; 6) 
3
0
3
2
sin
x
+ =
; 7) 5 sin
x
 - 
7
 = 
0; 8) 6 sin
x
 - 
2
 = 
0.
1.117.
 Òånglàmàlàrni yeching:
1) 4 sin
2
x
 - 
1
 = 
0;
2) 
 -
2 sin
2
x 
+ 
sin
x
 + 
1
 = 
0;
3) 3 sin
2
x
 - 
4sin
x
 - 
0,75
 = 
0;
4) 
2
3 sin
2 sin
0
x
x
-
=
.
1.118.
 Qiymàtini tîping:
1) 
2
2
arcsin
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
;
2) 
2
2
arcsin
æ
ö
ç
÷
è
ø
;
3) arcsin0,5.
1.119.
 Hisîblàng:
1)  arcsin(sin30
°
);
2) 
(
)
12
arcsin sin
p
;
3)  arcsin(sin2);
4)  arcsin(sin10).
1.120.
 arcsin
a
 quyidàgi qiymàtlàrni qàbul qilà îlàdimi?
1) 
p
3
;    2) 
-
3
p
;    3) 
-
p
6
;    4) 
p
4
;    5) 
-
p
4
;    6) 
3
;    7) 
-p
;
8) 
4 5
.
2.  cos
a = 
m
  ko‘rinishdàgi  eng  sîddà  tånglàmà.  Àrkkîsinus.
Kîîrdinàtàli  àylànàdà  îlingàn  hàr  qàysi 
B
(
a
)  nuqtàning
Y
|
 m 
|
 
> 
1
X
1
A
(0)
O
-
1
|
 m 
|
 
= 
1
-
m
Y
X
A
(0)
x
 
= -
1
O
x
 
= 
1
C
D
(
p
)
Y
X
O
B
2
(
-a
0
)
|
 m 
|
 
< 
1
B
1
(
a
0
)
A
(0)
D
(
p
)
    
 à)                              b)                                    d)
I.41-rasm.
m
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

58
àbssissàsi 
   õ
 = 
cos
a
 gà tång. Shungà ko‘rà bårilgàn 
m
 bo‘yichà
cos
a = 
m
 tånglàmàni yechish nuqtàning 
õ
 = 
m
 àbssissàsi bo‘yichà
ungà  mîs 
a =  a
0
  yoy  kàttàligini  tîpishdàn  ibîràt.  Uch  hîlni
qàràymiz:
1 - h î l .  |
m
| 
> 
1  dà 
õ 
= 
m
  vårtikàl  to‘g‘ri  chiziq  àylànàni
kåsmàydi (I.41-
a 
ràsm). Bu hîldà tånglàmà yechimgà egà emàs.
Ìàsàlàn,  cos
a  = 
2,8  tånglàmà  yechimgà  egà  emàs,  chunki
m
 = 
2,8
 > 
1.
2 - h î l .  Àgàr |
m
|
 
= 
1 bo‘lsà, to‘g‘ri chiziq àylànàni fàqàt bir
nuqtàdà, ya’ni yo 
À
(1; 0) nuqtàdà, yoki 
D
(
-
1; 0) nuqtàdà kåsàdi
(I.41-
b 
ràsm). 
À
 nuqtàning àylànà bo‘yichà kîîrdinàtàsi 
a = 
2
p
k
,
k
Î
Z
. Shungà ko‘rà cos
a = 
1 ning yechimi 
a = 
2
p
k
, 
k
Î
Z
 sînlàr
to‘plàmi  bo‘làdi. 
D
(
-
1;  0)
 = 
D
(
p + 
2
p
k
)  ekàni  e’tibîrgà  îlinsà,
cos
a = -
1 ning yechimi 
a = p + 
2
p
k
 sonlar to‘plami bo‘làdi.
3 - h î l .  |
m
|
 < 
1 bo‘lsà, 
õ
 = 
m
 to‘g‘ri chiziq àylànàni ikki nuq-
tàdà kåsàdi (I.41-
d
 ràsm). Ulàrdàn biri 
B
1
(
a
0
) nuqtà 0 
£
 
a
0
 
£
 
p
yuqîri yarim àylànàdà jîylàshàdi. 
a
0
 sîn 
m
 sînning 
àrkkîsinusi
dåyilàdi và 
a
0 
=
 
arccos
m
 îrqàli bålgilànàdi. Òà’rifgà ko‘rà cos
a
 
=
=
cos(arccos
m
)
 
=
 
m
 và 0
 £ 
arccos
m
 £ p
 bo‘làdi.
Shu kàbi 
B
2
(
-a
0
) nuqtà uchun: cos(
-a
0
)
 = 
cos
a
0
 = 
m
. Bundàn
-a
0
  = 
arccos
m
  yoki 
a
0
  =  -
arccos
m
.  Dåmàk,  |
m
|
  < 
1, 
k
Î
Z
  dà
cos
a  = 
m
  tånglàmàning  yechimi 
{
arccos
m
  + 
2
p
k
,
  k
Î
Z
}È
È{-
arccos
m
 + 
2
p
k
,
 k
Î
Z
}
 sînlàrto‘plàmlàri birlàshmàsi bo‘làdi. Uni
{±
arccos
m 
+ 
2
p
k
, 
k
Î
Z
}
                                  (1)
yoki
±
arccos
m 
+ 
2
p
k
, 
k
Î
Z
                                    (2)
ko‘rinishdà  hàm  yozish  mumkin.  I.42-ràsmdàn, 
ÎY
    o‘qigà
nisbàtàn    simmåtrik    jîylàshgàn 
  B
1
(arccos
m
)
  = 
B
1
(
a
)    và
B
2
(arccos(
-
m
))
  = 
B
2
(
p -  a
)  nuqtàlàr  bo‘yichà 
a  = 
arccos
m
  và
p - a = 
arccos(
-
m
) bo‘lishini àniqlàymiz. Undàn:
arccos(
-
m
)
 = p - 
arccos
m
                                   (3)
hîsil qilinàdi, bundà 0
 £ a £ p
.
1 - m i s î l .  
3
2
cos
a =
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  
( )
3
2
6
6
cos
cos
p
p
=
-
=
  bo‘làdi.  Dåmàk, 
3
2
x
=
to‘g‘ri chiziq kîîrdinàtàli àylànàni 
(
)
( )
1
1
3
2
6
arccos
B
B
p
=
 nuqtàdà
và  àbssissàlàr  o‘qigà  nisbàtàn 
B
1
  gà  simmåtrik  jîylàshgàn
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

59
(
)
( )
2
2
3
2
6
arccos
B
B
p
-
=
-
 nuqtàdà kå-
sàdi.    Yechim   
B
1
    nuqtà    bo‘yichà
p
p
6
2
+
Î
k k
Z
,  
 
sînlàr  to‘plàmi  và 
B
2
nuqtà  bo‘yichà 
k k
Z
6
2
, 
p
- + p
Î
sînlàr to‘plàmi birlàshmàsi bo‘làdi:
{
}
3
2
6
cos
;  
2
,  
k
k Z
p
a =
+
p
Î
È
{
}
6
2
,  
k
k
Z
p
È - +
p
Î
 yoki
k
k
Z
6
2
, 
p
a = ± +
p
Î
.
2 - m i s î l .  
( )
arccos
-
1
2
 ni hisîblàng.
Y e c h i s h .  (3) fîrmulàgà ko‘rà, quyidàgini tîpàmiz:
( )
2
1
1
2
2
3
3
arccos
arccos
p
p
-
= p -
= p - =
.
3 - m i s î l .  
3
7
cos
x
= -
 tånglàmàni yeching.
Y e c h i s h .
( )
3
7
arccos
2
,  
x
k k
Z
= ±
-
+ p
Î
 gà egàmiz. (3) gà
ko‘rà 
(
)
x
k k
Z
3
7
arccos
2
,  
= ± p -
+ p
Î
 bo‘làdi.
4 - m i s î l .  
x
1
3
cos
=
  tånglàmàni 
 y 
= 
cos
x 
 funksiya  gràfigi
yordàmidà yeching.
Y e c h i s h .  Àyni bir 
XOY 
kîîrdinàtàlàr siståmàsidà 
y 
= 
cos
x
và  
1
3
y
=
 funksiyalàr gràfiklàrini yasàymiz (I.43-ràsm).
Bu  gràfiklàr  chåksiz  ko‘p  nuqtàlàrdà  kåsishàdi. 
y 
= 
cos
x
funksiya dàvri 2
p
 bo‘lgàn dàvriy funksiya bo‘lgàni uchun bårilgàn
Y
X
-
1
1
O
p
2
3
2
p
p
2
p
-
-p
3
2
p
-
1
x
2
x
cos
y
x
=
I.43-rasm.
1
3
y
=
Y
X
O
m
-
m
B
2
(
p - a
)
I.42-rasm.
B
1
(
a
)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

60
tånglàmàning [
-p
; 
p
]  kåsmàdàgi  bàrchà  yechimlàrini  tîpish  và
qîlgàn yechimlàrni shu yechimlàr îrqàli àniqlàsh mumkin.
[
-p
; 
p
] îràliqdà 
y 
= 
cos
x
 funksiya gràfigi 
1
3
y
=
 funksiya gràfigi
bilàn  ikkità  kåsishish  nuqtàsigà  egà.  Kåsishish  nuqtàlàrining
1
1
3
arccos ,
x
= -
 
2
1
3
arccos
x
=
 àbssissàlàri bårilgàn tånglàmàning
[
-p
; 
p
] dàgi bàrchà yechimlàridir. Shu sàbàbli bàrchà yechimlàr
quyidàgichà àniqlànàdi: 
1
3
arccos
2
,  
x
k k Z
= ±
+ p
Î
.
5 - m i s î l .   arccos(cos53
°
) ni tîping.
Y e c h i s h .  arccos(cos
m
)
 = 
m
,  (0
 £ 
m 
£  p
)  àyniyatdàn  fîy-
dàlànàmiz. 
53
180
53
p
=
o
 và 
53
180
0
p
<
< p
 bo‘lgàni uchun bu àyniyatgà
ko‘rà
(
)
53
53
180
180
arccos(cos 53 ) arccos cos
p
p
=
=
o
.