O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
10.32.
 Òånglàmàlàr siståmàsini màtritsàviy usuldà yeching:
1) 
1
2
1
2
3
1
2
3
3
5,
2
0,
2
4
15;
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=

−
+
+
=


−
+
=

2) 
5
4
3
0,
0,
3
0;
x
y
z
x y z
x
y z
+
+
=

 + − =

 + − =

3) 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
4,
3
4
2
11,
3
2
4
15;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=


+
−
=


−
+
=

4) 
4
5
0,
3
2
0,
2
9
3
0;
x
y z
x
y
z
x
y
z
+
− =

 − + =


−
+
=

5) 
2
3
7,
2,
2
3
1;
x
y z
x y z
x
y
z
−
+ =

 + − =

 + − = −

6) 
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
3
0,
5
0,
2
3
0;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=


−
+
=


+
−
=

7) 
1
2
3
4
1
2
4
2
3
4
1
2
3
4
2
5
8,
3
6
9,
2
4
5,
4
7
6
0;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=

 −
−
=


−
+
= −

 +
−
+
=

8) 
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
0,
2
3
4
0,
3
6
10
0,
4
10
20
0;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=

 +
+
+
=

 +
+
+
=

 +
+
+
=

9) 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0,
2
2
3
0,
4
4
9
0,
8
8
27
0,
16
16
81
0;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
=

 − +
−
+
=

+
+
+
+
=

 − +
−
+
=

 +
+
+
+
=

10) 
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
1,
2
3
4
25
8,
3
2
3,
4
3
4
2
2
2,
2
3
3.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
+
−
= −


−
+
−
+
=

+
−
+
−
=


+
+
+
+
= −

 −
−
+
−
= −

2-§. Chiziqli fàzî
1. Chiziqli fàzî tushunchàsi.
 Ìàtåmàtikà, fizikà, måõànikàdà
shundày  îbyåktlàr  uchràydiki,  ulàr  bir  yoki  bir  nåchtà  hàqiqiy
sînlàrning  tàrtiblàngàn  siståmàsi  bilàn  àniqlànàdi.  Ìàsàlàn,
tåkislikdàgi hàr qàndày nuqtà o‘zining ikkità kîîrdinàtàsi bilàn,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

355
hàr qàndày våktîr o‘zining ikkità tàshkil etuvchisi (kîîrdinàtàlàri)
bilàn àniqlànàdi. Àgàr våktîr fàzîdà bårilgàn bo‘lsà, u o‘zining
uchtà tàshkil etuvchisi (kîîrdinàtàlàri) bilàn õàràktårlànàdi.
Òåkislikdàgi våktîrlàrning eng sîddà umumlàshmàsi 
n
 
o‘lchîvli
våktîrdir.
Òàrtib  bilàn  yozilgàn 
n
  tà  hàqiqiy  sînlàr  siståmàsi,  ya’ni
a
 = 
(
a
1
, 
a
2
, ..., 
a
n
) 
n o‘lchîvli  våktîr
 dåyilàdi. Bu yerdà 
a
1
, 
a
2
,
..., 
a
n
 sînlàr 
våktîrning kîîrdinàtàlàri
 dåyilàdi.
Òåkislikdàgi bàrchà våktîr (yo‘nàltirilgàn kåsmà)làr to‘plàmini
V
2
  bilàn  và 
m
×
n
  o‘lchàmli  bàrchà  màtritsàlàr  to‘plàmini 
R
m
×
n
bilàn  bålgilàymiz.  Bu  to‘plàmlàrning  hàr  biridà  elåmåntlàrni
qo‘shish  và  elåmåntni  hàqiqiy  sîngà  ko‘pàytirish  àmàllàri
kiritilgàndir.
Elåmåntlàrni qo‘shish và elåmåntni hàqiqiy sîngà ko‘pàytirish
àmàllàrining 
V
2
  to‘plàmdàgi  bàjàrilishi  shu  àmàllàrning 
R
m
×
n
to‘plàmdàgi bàjàrilishigà mutlàqî o‘õshàmàsà-dà, bu àmàllàrning
umumiy õîssàlàri màvjud:
Òàrtib
V
2
 to‘plàmdà
R
m
×
n
 to‘plàmdà
ràqàmi
1
∀
∈
   
a b
V
,
2
 våktîrlàr uchun
  , 
m n
A B R
×
∀
∈
 màtritsàlàr uchun
a
b
b
a
+ = +
À
 + 
B
 = 
B
 + 
À
2
∀
∈
     
a b c V
, ,
2
 våktîrlàr
  
∀ 
À
, 
B
, 
C
∈
R
m
×
n
 màtritsàlàr
uchun
 uchun
(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
+
+ = +
+
(
À
 + 
B
)
 + 
C
 = 
À
 + 
(
B
 + 
C
)
3
∀ ∈
 
a V
2
 våktîr uchun
∀ 
À
∈
R
m
×
n
 màtritsà uchun
a
a
+ =
0
 (bu yerdà
À
 + 
Î
 = 
À
0
 – nîl-våktîr)
(bu yerdà
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
)
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0
m n
O
R
×




=
∈






www.ziyouz.com kutubxonasi

---

356
4
∀ ∈
 
a V
2
 våktîr uchun
∀ 
À
∈
R
m
×
n
 màtritsà uchun
ungà qàràmà-qàrshi
ungà qàràmà-qàrshi
−
a
 våktîr màvjud:
−
A
 màtritsà màvjud:
A
A
O
+ −
=
=












(
)
...
...
... ... ... ... ...
...
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
∀ ∈
 
a V
2
 våktîr uchun
∀ 
À
∈
R
m
×
n
 
màtritsà uchun
1
1
⋅ =
∈
a
a
R
 (
)
1
1
⋅ =
∈
A
A
R
 (
)
6
∀ ∈
 
a V
2
 våktîr và
∀ 
À
∈
R
m
×
n
 màtritsà và
∀
∈
   
α β
,
R
 sînlàr uchun
∀
∈
   
α β
,
R
 sînlàri uchun
α β
αβ
(
) (
)
a
a
=
α β
αβ
(
) (
)
A
A
=
7
∀ ∈
 
a V
2
 våktîr và
∀ 
À
∈
R
m
×
n
 màtritsà và
∀
∈
   
α β
,
R
 sînlàr uchun
∀
∈
   
α β
,
R
 sînlàri uchun
(
)
α β
α
β
+
=
+
a
a
a
(
)
α β
α
β
+
=
+
A
A
A
8
∀
∈
   
a b
V
,
2
 våktîrlàr và
∀ 
À, B
∈
R
m
×
n
 
màtritsà và
∀
∈
 
α
R
 sîn uchun
∀
∈
 
α
R
 sînlàri uchun
α
α
α
(
)
a
b
a
b
+
=
+
α
α
α
(
)
A
B
A
B
+
=
+
Elåmåntlàrni  qo‘shish  và  elåmåntlàrni  sîngà  ko‘pàytirish
àmàllàri  õîssàlàridàgi  bu  umumiylik  tàbiàtàn  bir-birigà
o‘õshàmàydigàn to‘plàmlàrni umumiy nuqtàyi nàzàrdàn o‘rgànish
imkînini båràdi và chiziqli fàzî tushunchàsigà îlib kålàdi.
Bo‘sh bo‘lmàgàn 
L
 to‘plàm bårilgàn bo‘lsin và bu to‘plàmdà
elåmåntlàrni  qo‘shish  và  elåmåntni  hàqiqiy  sîngà  ko‘pàytirish
àmàllàri  kiritilgàn  bo‘lsin.  Àgàr 
∀
x
, 
y
, 
z
∈
L
; 
α
, 
β∈
R
  uchun
quyidàgi 8 tà õîssà o‘rinli bo‘lsà, bu àmàllàrni 
chiziqli  àmàllàr
dåb àtàymiz:
1. 
x 
+
 
y
 
= 
y
  + 
x
.
2. (
x 
+
 
y
)
 
+
 
z 
=
 
x 
+
 
(
y 
+
 
z
).
3. 
L
 
to‘plàmdà shundày bir
 
θ
 
elåmånt màvjudki, iõtiyoriy
 
x
∈
L
elåmånt  uchun
 
x 
+
 
θ
 
=
 
x  tånglik  o‘rinli  bo‘làdi.
 
θ
 
elåmåntni  nîl-
elåmånt dåb àtàymiz.
4. 
Iõtiyoriy
 
x
∈
L  elåmånt  uchun
 
x 
+
 
(
−
x
)
 
=
 
θ
 
tånglik  o‘rinli
bo‘làdigàn 
−
x
∈
L
 
elåmånt (x gà qàràmà-qàrshi elåmånt) màvjud.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

357
5. 1 
⋅
 
x 
=
 
x
.
6. 
α
(
β
x
)
 
=
 
(
αβ
)
x
.
7. (
α
 
+
 
β
)
x 
=
 
α
x 
+
 
β
x
.
8.
α
(
x 
−
 
y
)
 
=
 
α
x 
−
 
α
y
.
Chiziqli àmàllàr kiritilgàn 
L
 to‘plàm 
chiziqli fàzî
 (yoki 
våktîr
fàzî
), uning elåmåntlàri esà 
våktîrlàr
 dåb àtàlàdi. Chiziqli fàzî
îdàtdàgi uch o‘lchîvli fàzîning umumlàshmàsidàn ibîràt ekàn.
R
m
×
n
 và 
V
2
 to‘plàmlàrning hàr biri chiziqli fàzîdir. Chiziqli
fàzîgà dîir bîshqà misîl qàràshdàn îldin, hàr qàndày 
L
 chiziqli
fàzîdà o‘rinli bo‘làdigàn quyidàgi õîssàlàrni kåltiràmiz:
1. 0 
⋅
 
x 
=
 
θ
.
2. 
−
x 
=
 
(
−
1) 
⋅
 
x
.
3. 
x 
−
 
y 
=
 
x 
+
 
(
−
y
).
4. (
α
 
−
 
β
)
x 
= α
x 
−
 
β
x
.
5. 
α
(
x 
−
 
y
)
 
=
 
α
x 
−
 
α
y
.
6. 
α
 
⋅
 
θ
 
=
 
θ
.
7. 
α
 
⋅
 
x 
=
 
θ
 bo‘lsà, 
α
 
=
 
0 yoki 
x 
=
 
θ
 bo‘làdi.
Bu õîssàlàrning o‘rinli ekànligi 
chiziqli fàzî àksiîmàlàri 
 (1–8-
õîssàlàr) dàn kålib chiqàdi.
Ì i s î l .   (
n
  o‘lchîvli  àrifmåtik  fàzî.) 
a 
=
 
( 
a
1
, 
a
2
,  ..., 
a
n
)
våktîr bårilgàn bo‘lsin. Bàrchà 
n
 o‘lchîvli våktîrlàr to‘plàmini 
R
n
bilàn  bålgilàymiz. Bu  to‘plàmdàgi ikkità  elåmånt ulàrning  mîs
kîîrdinàtàlàri tång bo‘lgàndàginà tång dåb hisîblànàdi:
a 
=
 
b
 
⇔
 
a
i
 
=
 
b
i
 (
i 
=
 
1, 2, ...,
 n
, 
a
∈
R
n
, 
b
∈
R
n
).
R
n
  to‘plàmdà  elåmåntlàrni  qo‘shish  và  elåmåntni  sîngà
ko‘pàytirish àmàllàri quyidàgichà àniqlànàdi:
a
 
+
 
b
 
=
 
(
a
1
 
+
 
b
1
; 
a
2
 
+
 
b
2
; ...; 
a
n
 
+
 
b
n
);
λ
a 
=
 
( 
λ
a
1
; 
λ
a
2
; ...; 
λ
a
n
).
R
n
 to‘plàmning chiziqli fàzî bo‘lishligini, ya’ni kiritilgàn bu
àmàllàrning chiziqli àmàllàr ekànligini ko‘rsàtàmiz. 
a
∈
R
n
, 
b
∈
R
n
,
c
∈
R
n
, 
α∈
R
, 
β∈
R
 bo‘lsin. U hîldà:
1. 
a
 
+
 
b
 
=
 
(
a
1
 
+
 
b
1
; 
a
2
 
+
 
b
2
; ...; 
a
n
 
+
 
b
n
)
 
=
 
( 
b
1
 
+
 
a
1
; 
b
2
 
+
 
a
2
; ...; 
b
n
 
+
 
a
n
)
 
=
 
b
 
+
 
a
.
2. (
a
 
+
 
b
)
 
+
 
c
 
=
 
(
a
1
 
+
 
b
1
; 
a
2
 
+
 
b
2
; ...; 
a
n
 
+
 
b
n
)
 
+
 
(
c
1
; 
c
2
; ...; 
c
n
)
 
=
=
 
(
a
1
 
+
 
b
1
 
+
 
c
1
; 
a
2
 
+
 
b
2
 
+
 
c
2
; ...; 
a
n
 
+
 
b
n
 
+
 
c
n
) 
=
=
 
(
a
1
 
+
 
(
b
1
 
+
 
c
1
);
 a
2
 
+
 
(
b
2
 
+
 
c
2
); ...; 
a
n
 
+
 
(
b
n
 
+
 
c
n
))
 
=
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

358
=
 
(
a
1
; 
a
2
; ...;
 a
n
)
 
+
 
(
b
1
 
+
 
c
1
; 
b
2
 
+
 
c
2
; ...;
 b
n
 
+
 
c
n
)
 
=
 
a 
+
 
(
b 
+
 
c
).
3. 
ta
0, 0,
, 0
n
θ =


  elåmåntni qàràymiz. Iõtiyoriy 
a
∈
R
n
 elåmånt
uchun
a
 
+
 
θ
 
=
 
(
a
1
 
+
 
0; 
a
2
 
+
 
0; ...; 
a
n
 
+
 
0)
 
=
 
(
a
1
; 
a
2
; ...; 
a
n
)
 
=
 
a
tånglik o‘rinli.
4. 
a
∈
R
n
 bo‘lsin. 
−
a
 
=
 
(
−
1)
 ⋅ 
a 
=
 
(
−
a
1
; 
−
a
2
; ...; 
 
−
a
n
) elåmåntni
qàràymiz.
a
 
+
 
(
−
a
)
 
=
 
(
a
1
 
+
 
(
−
a
1
); 
a
2
 
+
 
(
−
a
2
); ...; 
a
n
 
+
 
(
−
a
n
))
 
=
 
ta
(0,   0,  ...,  0)
n

 
=
 
θ
tånglik o‘rinli.
5. 1
 ⋅ 
a
 
=
 
(1
 ⋅ 
a
1
; 1
 ⋅ 
a
2
; ...; 1
 ⋅ 
a
n
)
 
=
 
(
a
1
; 
a
2
; ...; 
a
n
)
 
=
 
a.
6.
α ⋅ 
(
β ⋅ 
a
) 
=
 
α ⋅ 
(
β ⋅ 
a
1
; 
β ⋅ 
a
2
; ... ;
 β ⋅ 
a
n
)
 
=
 
(
α ⋅ β ⋅ 
a
1
; 
α ⋅ β ⋅ 
a
2
; ... ;
 α ⋅ β ⋅ 
a
n
)
 
=
=
 
((
α ⋅ β
)
a
1
; (
α ⋅ β
)
a
2
; ... ;(
α ⋅ β
)
a
n
)
 
=
 
(
α ⋅ β
)
 ⋅ 
(
a
1
;
 a
2
; ... ;
 a
n
).
7. (
α
 
+
 
β
)
a 
=
 
((
α
 
+
 
β
)
a
1
; (
α +
 
β
)
a
2
; ...; (
α +
 
β
)
a
n
)
 
=
=
 
(
α
a
1
 
+
 
β
a
1
; 
α
a
2
 
+
 
β
a
2
; ...; 
α
a
n
 
+
 
β
a
n
)
 
=
=
 
(
α
a
1
; 
α
a
2
; ...; 
α
a
n
)
 
+
 
(
β
a
1
; 
β
a
2
; ...; 
β
a
n
)
 
=
 
α
a
 
+
 
β
a.
8.
α
(
a
 
+
 
b
)
 
=
 
α
(
a
1
 
+
 
b
1
; 
a
2
 
+
 
b
2
; ...; 
a
n
 
+
 
b
n
)
 
=
=
 
(
α
(
a
1
 
+
 
b
1
); 
α
(
a
2
 
+
 
b
2
); ...; 
α
(
a
n
 
+
 
b
n
))
 
=
=
 
(
α
a
1
 
+
 
α
b
1
; 
α
a
2
 
+
 
α
b
2
; ...; 
α
a
n
 
+
 
α
b
n
)
 
=
=
 
(
α
a
1
; 
α
a
2
; ...; 
α
a
n
)
 
+
 (
α
b
1
; 
α
b
2
; ...; 
α
b
n
)
 
=
 
α
a 
+
 
α
b.
Dåmàk, 
R
n
  to‘plàm  chiziqli  fàzî  ekàn.  Bu  chiziqli  fàzî 
n
o‘lchîvli àrifmåtik fàzî
 dåb yuritilàdi.
Ò å î r å m à .  
Chiziqli fàzî bo‘làdigàn to‘plàmlàr chåksiz ko‘pdir.
I s b î t .   Iõtiyoriy 
n
  nàturàl  sîn  uchun 
R
n
  to‘plàm  chiziqli
fàzîdir.  Nàturàl  sînlàr  chåksiz  ko‘p  bo‘lgànligi  uchun  chiziqli
fàzî bo‘làdigàn chåksiz ko‘p to‘plàmlàr màvjuddir.