O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
1.158.
 Òånglàmàni yeching:
1)
2
2
3
5
2
4
arcsin
arcsin
0
x
x
p
p
-
+
=
;
2) 
2
2
2
3
12
arccos
arccos
0
x
x
p
p
-
+
=
;
3) 
2
2
7
12
12
arctg
arctg
0
x
x
p
p
-
+
=
;
4) 
(
)
2
7
4
6
arcsin
5
x
x
p
-
+
= -
;
5) 
(
)
2
4
2
arcsin
3
x
x
p
p
-
+
=
;
6) 
2
arcsin
arcsin
3
x
x
p
+
=
;
7)  sin(2arcsin
x
)
+ 
cos(2arcsin
x
)
=
1;
8) 
(
)
1
5
sin
arccos
1
x
=
.
1.159.
 Òångsizlikni yeching:
1) 
2
4
3
arcsin(
4)
x
p
p
- £
-
£
;
2) 
2
5
4
arctg 3
2arctg3
3
x
x
£
-
£
;
3) arccos
x
 < 
arcsin
x
;
     4) arctg
x
 < 
arcctg
x
.
1.160.
 1) Àgàr:
 
5
5
2
2
tg
,  tg
x
x
+
-
a =
b =
, 
a + b = 
45
°
bo‘lsà, 
õ
 ni tîping;
2) 
ABC
  uchburchàkdà:
Ð
À
 = a
, 
Ð
B
 = b
, 
Ð
C
 = g
, 
a 
:
 b 
:
 g = 
1 : 2 : 3, 
BC
=
2 3
bo‘lsà, uning pårimåtrini tîping.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

95
I   b î b   b o
‘
y i c h à   t î p s h i r i q
1–6- tîpshiriqlàr  hàmmà  uchun,  7–8- tîpshiriqlàr  vàriànt-
làr  bo‘yichà  bàjàrilàdi.  Hisîblàshlàrdà  EHÌ,  mikrîkàlkulatîr
và jàdvàldàn fîydàlànish mà’qul.
Ò î p s h i r i q n i n g   m à z m u n i .  Jism 
Î
  nuqtàdàn  (I.53-
ràsm) gîrizîntgà nisbàtàn 
a
 burchàk îstidà 
v
0
 bîshlàng‘ich tåzlik
bilàn  îtilgàn.  Òàshqi  kuchlàr  tà’sir  etmàgàndà  u 
s
 = 
v
0
t 
to‘g‘ri
chiziqli  tåkis  hàràkàt  qilgàn  và 
t
  vàqtdàn  so‘ng  birîr 
B
(
õ
, 
y
¢
)
nuqtàgà kålgàn bo‘làr edi, nuqtà kîîrdinàtàlàri 
õ 
= 
v
0
t 
cos
a
, 
y 
¢
 
=
=
v
0
 t 
sin
a
. Låkin jism Yerning tîrtish kuchi tà’siri îstidà hàràkàt
chizig‘idàn chåtgà chiqàdi và 
t
 vàqtdàn so‘ng 
2
2
gt
 qàdàr quyidà
jîylàshgàn 
À
(
õ
,
  y
)  nuqtàgà  kålàdi  (hàvî  qàrshiligi  hisîbgà
îlinmàgàn hîldà):
õ 
= 
v
0
t 
cos
a
;                                              (1)
2
0
2
v sin
gt
y
t
=
a -
.                                                2)
Qîlgàn vàqt mîmåntlàridà hàm  hàràkàt shu tàrzdà dàvîm
etàdi.
(2) munîsàbàt bîsh hàd kîeffitsiyånti ishîràsi mànfiy, îzîd
hàdi nîlgà tång bo‘lgàn kvàdràt uchhàd. Dåmàk, jism pàràbîlik
tràyåktîriya bo‘yichà hàràkàt qilàdi.
Shu  kàbi, 
v
0 
bîshlàng‘ich  tåzlikning  tàshkil  etuvchilàri 
v
x
 
=
=
v
0
cos
a
, 
v
y
 
= 
v
0
t 
sin
a
. Låkin gràvitatsiya tà’siri îstidà jismning 
 t
vàqt pàytidàgi 
v
 tåzligi
v
x
 
= 
v
0
cos
a
,                                              (3)
Y
X
O
M
a
x
C
A
L
y
B
y 
¢
v
0
t
2
2
gt
-
I.53-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

96
v
y
 
= 
v
0
 
sin
a - 
gt
                                          (4)
tàshkil  etuvchilàrgà  (kîîrdinàtà  o‘qlàridàgi  prîåksiyalàrgà)  egà
bo‘làdi.
Ò î p i n g :
1) jismning 
t
 vàqt mîmåntidàgi 
v
 tåzligi;
2) jismning 
y
 
=
 
f 
(
x
) ko‘rinishdàgi hàràkàt tånglàmàsi;
3)  qànchà  vàqtdàn  so‘ng  jismning  eng  yuqîrigà  (
C
  nuqtà)
ko‘tàrilishi, 
t
 
=
 
t
C 
;
4) eng yuqîri qàndày bàlàndlikkàchà ko‘tàrilishi (
y
C
);
5) jism bîrib tushàdigàn màsîfà (
õ
Ì
);
6)  jism  eng  uzîqqà  bîrib  tushishi  uchun  u 
Î
  nuqtàdàn
gîrizîntgà nisbàtàn qàndày 
a
 burchàk îstidà îtilishi kåràkligi;
7) 
v
0
 
= 
10 km/s tåzlik và gîrizîntgà nisbàtàn 
a = 
10
° + 
5
°
k
,
0;  30
k
=
  burchàk  îstidà  îtilgàn  jism  qàndày  bàlàndlikkàchà
ko‘tàrilàdi và qàndày màsîfàgà bîrib tushàdi?
8)  qàndày 
a
  burchàk  îstidà  îtilgàn  jism 
s
 
= 
1
 
+ 
0,1
k
  (km),
0;  30
k
=
 uzîqlikkà bîrib tushàdi?
9)  ikkinchi  jism 
H
 
= 
0,5
 
+ 
0,05
k
  (km)  bàlàndlikdàgi 
L
nuqtàdàn o‘ng tîmîngà qàràb 
y 
= 
1
 
+ 
0,05
k
 (km/s) tåzlik bilàn
to‘g‘ri chiziqli tåkis hàràkàt qilib bîrmîqdà. 
O
 nuqtàdàgi birinchi
jism gîrizîntgà nisbàtàn qàndày burchàk îstidà îtilsà, u ikkinchi
jismgà  bîrib  tågàdi  và  bu  qànchà  vàqtdàn  so‘ng  sodir  bo1adi?
k
=
0 30
; 
.
K o ‘ r s à t m à :  1) 
2
2
x
y
=
+
v
v
v
. (3) và (4) munîsàbàtlàrdàn
fîydàlànilsà, nàtijàdà 
2
2
0
0
2
2
sin
gt
g
t
æ
ö
=
-
×
a -
ç
÷
è
ø
v
v
v
;
2)  (1)  munîsàbàt  bo‘yichà 
0
cos
x
t
a
=
v
  ni  tîpib,  (2)  gà
qo‘ysàk:
2
2
2
0
2
cos
tg
g
y
x
x
a
=
a -
×
v
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

97
3)  hàràkàt  bîshidà 
v
 = 
v
0
  bo‘lgàn  tåzlik  hàràkàt  dàvîmidà
kàmàyib  bîrib, 
C
  nuqtàdà  nîlgà  tång  bo‘làdi:  0 
= 
v
0
sin
a - 
gt
,
bundàn 
C
g
t
0
v sin
a
=
;
4) (2) pàràbîlà 
C
 uchining îrdinàtàsi ifîdàsidàn fîydàlànilsà,
 
2
2
2
2
0
0
sin
sin
2
4
2
C
g
g
y
a
a
æ
ö
× -
ç
÷
è
ø
= -
=
v
v
;
5) (1) munîsàbàt và 
t
C
 qiymàtidàn fîydàlànilsà,
 
(
(
2
2
0
0
0
sin 2
sin
2
2
cos
C
g
g
s
OM
x
a
a
=
=
=
×
×
a =
v
v
v
;
6) îldingi sàvîl bo‘yichà tîpilgàn 
2
0
sin 2
g
s
a
=
v
 munîsàbàtgà
qàràgàndà 
s
  màsîfà  sin2
a  = 
1,  ya’ni 
a  = 
45
°
  dà  eng  kàttà
qiymàtgà erishàdi.
7  Àlgebra,  II  qism
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

98
II  B Î B
NÎSTÀNDÀRT  TÅNGLÀMÀLÀR,
TÅNGSIZLIKLÀR VÀ ULÀRNING
SISTÅMÀLÀRI
1-§. Nîstàndàrt tånglàmàlàr
Òàshqi ko‘rinishi îdàtdàgi tånglàmàlàrdàn kåskin fàrq qilàdigàn
tånglàmàlàr  (màsàlàn,  2
|
 
x
 
|
  = 
cos
x
, 
x
2
  + 
4
x
cos(
xy
)
  + 
4
  = 
0),
shuningdåk, tàshqi ko‘rinishi îdàtdàgi tånglàmàlàrgà o‘õshàydigàn,
låkin  îdàtdàgi  usullàr  bilàn  yechish  mumkin  bo‘lmàydigàn
tånglàmàlàr  (màsàlàn,  sin7
x
 + 
cos2
x
 =  −
2,  sin
4
x
 − 
cos
7
x
 = 
1  và
hîkàzî)  hàm  uchràydi.  Bundày  tånglàmàlàrni 
nîstàndàr
t tånglàmàlàr
 dåb àtàymiz.
Nîstàndàrt tånglàmàlàrni yechishning umumiy usuli màvjud
emàs. Shu sàbàbli bundày tånglàmàlàrni yechishdà funksiyalàr-
ning  gràfiklàridàn,  turli  õîssàlàridàn,  tångsizliklàrdàn  và  hîkà-
zîlàrdàn  fîydàlànishgà  to‘g‘ri  kålàdi.  Buni  misîllàrdà  qàràb
chiqàmiz.
1 - m i s î l . 2
|
 
x
 
|
 = 
cos
x 
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .
 x
 = 
0 sîn tånglàmàning yechimi ekànini ko‘ràmiz
(II.1-ràsm).
Bàrchà 
x
 ≠ 
0  sînlàr  uchun  2
|
 
x
 
|
 > 
1
 ≥ 
cos
x 
  bo‘lgàni  uchun
bårilgàn tånglàmà 
x
 = 
0 dàn bîshqà yechimlàrgà egà emàs.
2 - m i s î l .  sin
x
 = 
x
2
 + 
x
 + 
1 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  II.2-ràsmdà 
y 
= 
sin
x
 và 
y
 = 
x
2
 + 
x
 + 
1 funksiyalàrning
gràfiklàri tàsvirlàngàn.
x
∈
[
−
1;  0]  bo‘lsà,  sin
x 
≤ 
0, 
x
2
  + 
x 
+ 
1
 
> 
0  bo‘lgàni  uchun
tånglàmàning [
−
1; 0] îràliqqà tågishli yechimi màvjud emàs.
II.1-rasm.
Y
X
O
y
 = 
cos
x
y
 = 
2
|
 
x
 
|
y 
= 
1
y 
= −
1
1
−
1
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

99
x
∉
[
−
1; 0] làr uchun sin
x 
≤ 
1, 
x
2
 + 
x 
+ 
1
 
> 
0 bo‘lgàni sababli
tånglàmà [
−
1; 0] dàn tàshqàridà hàm yechimgà egà emàs. Dåmàk,
bårilgàn tånglàmà yechimgà egà emàs.
E s l à t m à .  1-misîldàgi tånglàmàning (shuningdåk, 2-misîldàgi tång-
làmàning  hàm)  yechilishini  bàyon  etishdà  gràfiklàrni  chizish  shàrt  emàs
edi.  Gràfiklàrni  chizish  esà  tånglàmàni  yechish  usulini  tîpish  imkînini
bårdi.  Quyidà  kåltirilàdigàn  misîllàrdà  u  yoki  bu  funksiyaning  gràfigini
chizish  kàttà  qiyinchiliklàr  tug‘diràdi.  Shu  sàbàbli,  bu  misîllàrning
yechilishini  gràfik  chizish  bilàn  bîg‘làsh  màqsàdgà  muvîfiq  emàs.
3 - m i s î l .  
3
2 cos
3
3
x
x
x
−
=
+
 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .  Bàrchà 
x
∈
R
 làr uchun
3
2 cos
2,   3
3
2
x
x
x
−
≤
+
≥
tångsizliklàrgà egàmiz. Shu sàbàbli, bårilgàn tånglàmà 
3
2 cos
2,
3
3
2
x
x
x
−

=



+
=

tånglàmàlàr siståmàsigà tång kuchlidir. Bu siståmàning ikkinchi
tånglàmàsi 
x 
= 
0 dàn ibîràt yagînà yechimgà egà. 
x 
= 
0 sîn sis-
tåmàning  birinchi  tånglàmàsini  hàm  qànîàtlàntiràdi.  Shuning
uchun, 
x 
= 
0 siståmàning và bårilgàn tånglàmàning hàm yagînà
yechimi bo‘làdi.
4 - m i s î l .  
2 2 (sin
cos ) cos
3 cos 2
x
x
y
y
+
= +
  tånglàmàni
yechàmiz.
Y
X
O
y 
= 
1
y 
= −
1
1
−
1
y
 = 
sin
x
y
 = 
x
2
 + 
x
 + 1
II.2-ràsm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

100
Y e c h i sh. 
( )
4
sin
cos
2 sin
x
x
x
π
+
=
+
 bo‘lgàni uchun bårilgàn
tånglàmàni 
( )
2
4
2 sin
cos
1 cos
x
y
y
π
+
= +
 ko‘rinishdà yozib îlish
mumkin. Îõirgi tånglàmà 
( )
(
)
( )
(
)
2
2
4
4
cos
sin
1 sin
0
y
x
x
π
π
−
+
+ −
+
=
yoki 
( )
(
)
( )
2
2
4
4
cos
sin
cos
0
y
x
x
π
π
−
+
+
+
=
  tånglàmàgà  tång
kuchlidir.    Hîsil    qilingàn    tånglàmà   
( )
4
cos
sin
,
y
x
π
=
+
( )
4
cos
0
x
π
+
=
  tångliklàr  o‘rinli  bo‘lgàndàginà  to‘g‘ri  tånglikkà
àylànàdi, bîshqàchà qilib àytgàndà, u
( )
( )
4
4
cos
sin
,
cos
0
y
x
x
π
π

=
+



+
=

tånglàmàlàr siståmàsigà tång kuchlidir.
Siståmàning ikkinchi tånglàmàsi 
1
4
2
x
m
π
= +
π
 và 
2
5
4
2
x
n
π
=
+
π
(
m
, 
n
∈
Z
) yechimlàrgà egà. Birinchi tånglàmàdàn 
y
1
 = 
2
k
π
, 
y
2
 =
=
(2
p 
+
1)
π
 làrni tîpàmiz (bu yerdà 
k
,
 p
∈
Z
).
Shundày  qilib,  bårilgàn  tånglàmà 
1
1
4
2
,
2
x
m y
k
π
= +
π
=
π
,
(
m
, 
k
∈
Z
)  và 
2
2
5
4
2
,  
(2
1)
x
n
y
p
π
=
+
π
=
+ π
,  (
n
,
  p
∈
Z
)  yechim-
làrgà egà.
5 - m i s î l .  sin7
x
 + 
cos2
x
 = −
2 tånglàmàni yechàmiz.
Y e c h i s h .   Bàrchà 
x
∈
R
  làr  uchun  sin7
x
 ≥  −
1,  cos2
x
 ≥  −
1
bo‘lgàni sababli bårilgàn tånglàmà 
sin 7
1,
cos 2
1
x
x
= −


= −

 siståmàgà tång
kuchlidir.  Birinchi  tånglàmà 
2
14
7
,  
k
x
k Z
π
π
= −
+
∈
  yechimlàr
guruhigà,  ikkinchi  tånglàmà  esà 
2
,  
x
n n Z
π
= + π
∈
  yechimlàr
guruhigà  egà.  Hàr  ikki  guruhgà  tågishli 
x
  làrginà  siståmàning
yechimi bo‘là îlàdi. Ulàrni àniqlàymiz:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

101
2
14
7
2
 ( ,  
)
k
n k n Z
π
π
π
−
+
= + π
∈
.
Bundàn, 
k
 = 
2
 + 
3,5
n
 ekànligini tîpib, 
k
∈
Z
 ekànini e’tibîrgà
îlsàk, 
n
 = 
2
p
 (
p
∈
Z
) bo‘lishi kålib chiqàdi.
Dåmàk, 
2
2
x
p
π
= + π
 (
p
∈
Z
) sînlàrginà siståmàning, binîbàrin,
bårilgàn tånglàmàning hàm yechimlàri bo‘làdi.
6 - m i s î l .  
2
2
2
log
(
1) log
6 2
0
x
x
x
x
+
−
− +
=
  tånglàmàni
yechàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàning chàp tîmînini 
t
 
= 
log
2
x
 gà nisbà-
tàn kvàdràt uchhàd sifàtidà qàràb, îdàtdàgi stàndàrt usuldà ko‘-
pàytuvchilàrgà àjràtàmiz:
(log
2
x
 
+ 
2)(log
2
x
 
+ 
x
 
− 
3)
 = 
0.
Bu tånglàmà log
2
x
 = −
2 và log
2
x
 = 
3
 − 
x
  tånglàmàlàrgà àjràlàdi.
Ulàrning birinchisi 
1
4
x
=
 dàn ibîràt yagînà yechimgà egà. log
2
x
 =
= 
3
 − 
x
  tånglàmà esà 
x
 = 
2 dàn ibîràt yagînà yechimgà egà.
Hàqiqàtàn hàm, 
x
 > 
2 bo‘lgàndà log
2
x
 > 
log
2
2 
 = 
1
 > 
3
 − 
x
 tång-
sizlikkà, 0
 < 
x
 < 
2 bo‘lgàndà esà log
2
x
 < 
log
2
2 
= 
1
 < 
3
 − 
x 
tångsiz-
likkà egàmiz. 
x
 ≤ 
0 dà esà tånglàmà mà’nîgà egà emàs.
Dåmàk, bårilgàn tånglàmà 
1
4
x
=
 và 
x
 = 
2 yechimlàrgà egà.