Основные понятия и теоремы. Линейные операторы

.2 Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве

Пусть поверхность второго порядка задана в обычном для аналитической геометрии виде. Переход к новой декартовой системе с тем же началом сводится к замене переменных

(9)

с ортогональной матрицей перехода Т. При подстановке этих выражений в уравнение поверхности в общем виде

группа членов второй степени и группа членов первой степени преобразуются независимо друг от друга. Если следить сначала только за группой членов второй степени (квадратичной формой), то (на основании п. Квадратичные формы) получаем, что всегда можно выбрать систему координат так, что эта группа членов приобретет «диагональный вид» и поэтому все уравнение после преобразования будет иметь вид

(10)

где - корни уравнения

- некоторые новые коэффициенты при членах первой степени, которые сами получаются после подстановки (9).
Дальнейшее исследование идет по-разному, в зависимости от знаков характеристических корней. Пусть, например, все имеют одинаковый знак: тогда можно считать, что они положительны, так как в противном случае можно у всего уравнения (10) переменить знак. С помощью дополнения до полного квадрата и последующего параллельного переноса, можно от (10) перейти к уравнению



т.е.
.

В зависимости от того, будет ли , или , получится эллипсоид, мнимый эллипсоид или точка.

Аналогично получается, что если из чисел два имеют одинаковый знак, а третье - противоположный, то уравнение (10) представляет гиперболоид (однополостный или двуполостный) или конус. Если из чисел ровно одно равно нулю, например, , а отлично от нуля, то получается эллиптический или гиперболический параболоид. Можно проверить, что во всех других случаях получаются цилиндры или особые случаи (мнимая поверхность, вырождение в прямую линию, распадение на пару плоскостей).
Анализируя выше сказанное, можем сделать вывод, что при возможны следующие случаи:


- эллипсоид.
- однополостный гиперболоид.
- двуполостный гиперболоид.
- «пустое множество» точек (мнимый эллипсоид).

Если
с=0 и одного знака, получается точка («мнимый конус»);

при с=0 и разных знаков - конус.
Если один из коэффициентов равен нулю, пусть, например, . Тогда имеем два случая:
- эллиптический параболоид.
- гиперболический параболоид.