Основные понятия и теоремы. Линейные операторы

1.2 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что ; это называется соответствующим вектору х собственным значением оператора (матрицы А).

1.3 Нахождение собственного значения и собственного вектора линейного оператора

Предположим, что х - собственный вектор, а соответствующее ему собственное значение линейного оператора . Тогда . Выберем в пространстве какой-нибудь базис , и пусть , а матрица оператора А в этом базисе А=[ ]. Тогда

откуда, ввиду единственности разложения вектора по базису

Для существования ненулевого решения этой (однородной) системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Или, более коротко,

.(5)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением матрицы А; оно служит для нахождения собственных значений , которые называются также характеристическими корнями матрицы А (или собственными значениями матрицы А). Найдя из (4) какое-либо собственное значение , мы можем найти соответствующий собственный вектор из системы уравнений (3). Получающийся числовой вектор

линейный оператор уравнение плоскость

удовлетворяющий уравнению , называется также собственным вектором матрицы А.

1.4 Квадратичные формы

Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Например, квадратичная форма от переменных в общем случае имеет вид

, (6)

где - некоторые числовые коэффициенты (а двойки поставлены для упрощения получающихся формул). Матрицей такой формы называется симметрическая матрица.

Будем рассматривать как декартовы координаты в некотором базисе . Если перейти к новому декартовому базису то и в форме (6) надо сделать замену переменных, при чем матрица Т перехода будет ортогональной. В результате форма будет выражена через новые координаты , можно доказать, что при этом новая матрица выражается через старую по формуле


(7)

Известно, что базис можно выбрать так (взяв в качестве этих векторов собственные векторы оператора, отвечающего матрице А, т.е. собственные векторы матрицы), что матрица А' получится диагональной

Но тогда квадратичная форма в новых переменных приобретает вид

(8)
где - характеристические корни матрицы А.
Можно сказать, что квадратичную форму (6) можно с помощью ортогонального преобразования привести к диагональному виду (8).