Основные понятия 1 Немного истории. Проективные свойства

Двойное отношение

Если длина отрезка прямой представляет собой своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной геометрии одно основное понятие, с помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные свойства фигур.

Предположим, что три точки A, B и C расположены на одной прямой. Проектирование, вообще говоря, изменяет не только расстояние AB и BC, но и их отношение  . В самом деле, любые три точки A, B и C на прямой l могут быть переведены в любые три точки Aʹ, Bʹ, Cʹ на прямой lʹ посредством двух последовательно производимых проектирований. Чтобы в этом убедиться, станем вращать прямую lʹ около точки Cʹ, пока она не примет положения lʹʹ, параллельного l (рисунок 1). Затем, проектируя l на l ʹʹ параллельно прямой CCʹ, получим три точки Aʹʹ, Bʹʹ и Cʹʹ (≡Cʹ). Прямые AʹAʹʹ и BʹBʹʹ пересекутся в точке O, которую мы изберём в качестве центра второй проекции. Последовательно выполненные две проекции дают требуемый результат.

Из доказанного вытекает, что никакая величина, определяемая только тремя точками на прямой, не может быть инвариантной при проектировании. Но – в этом заключается решающее открытие в проективной геометрии – если на прямой дано четыре точки A, B, C, D, которые при проектировании переходят в точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ другой прямой, то некоторая величина, называемая двойным отношение этих четырёх точек, при проектировании не изменяет числового значения. В этом заключено математическое свойство системы четырёх точек на прямой, которое носит инвариантный характер и которое можно обнаружить во всякой проекции рассматриваемой прямой. Двойное отношение не есть ни расстояние, ни отношение расстояний, а отношение двух таких отношений: если мы составим отношения  и  , то их отношение   по определению есть двойное отношение четырёх точек A, B, C, D, взятых в указанном выше порядке.

Убедимся теперь, что двойное отношение четырёх точек инвариантно при проектировании, т . е. что если A, B, C, D и Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ – две четвёрки точек на двух прямых и между ними установлено проективное соответствие, то тогда справедливо равенство  . Доказательство вполне элементарное. Вспомним, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту и, с другой стороны, равна половине произведения двух сторон на синус заключённого между ними угла. Тогда получим (рисунок 2):

площадь  
площадь  
площадь  
площадь  
Отсюда следует:

Таким образом, двойное отношение точек A, B, C, D зависит только от углов, образованных в точке O отрезками OA, OB, OC, OD. Так как эти углы – одни и те же, каковы бы ни были четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ, в которые при проектировании переходят A, B, C, D, то ясно, что двойное отношение не изменяется при проектировании.

Что двойное отношение не изменяется при параллельном проектировании, следует из элементарных свойств подобных треугольников (рисунок 3).

До сих пор, говоря о двойном отношении четырёх точек A, B, C, D, расположенных на прямой l, мы предполагали, что это отношение составлено из положительных отрезков. Целесообразно видоизменить это определение следующим образом. Примем одно из двух направлений прямой l за положительное и условимся, что все отрезки, отсчитываемые в этом направлении, будут считаться положительными, а отрезки, отсчитываемые в противоположном направлении, – отрицательными. Теперь определим двойное отношение точек A, B, C, D (взятых в указанном порядке) согласно формуле   причём знаки чисел CA, CB, DA, DB берутся в соответствии с указанным выше условием. Так как при изменении направления на прямой l, принятого за положительное, меняются только знаки всех четырёх отрезков, то значение (ABCD) не зависит от выбора направления. Легко понять, что (ABCD) имеет отрицательный или положительный знак, смотря по тому, разделена ли пара точек A, B парой точек C, D или не разделена. Так как свойство «разделяться» инвариантно относительно проектирования, то понимаемое в новом смысле (как величина, способная иметь тот или иной знак) двойное отношение (ABCD) также инвариантно. Выберем начальную точку O на прямой l и сопоставим каждой точке на прямой l в качестве координаты x её расстояние от O, взятое с надлежащим знаком; тогда, обозначая координаты A, B, C, D соответственно через x1, x2, x3, x4, получим формулу

Если (ABCD) = – 1, так что  , то точки C и D делят отрезок AB внутренне и внешне в одном и том же отношении. В этом случае принято говорить, что C и D делят отрезок AB гармонически, и каждая из точек C и D считается гармонически сопряжённой с другой точкой относительно пары точек A, B. Если (ABCD) = 1, то точки C и D (или A и B) совпадают.
Необходимо не упустить из виду, что при определении двойного отношения (ABCD) существенную роль играет порядок, в котором берутся точки A, B, C, D. Например, если (ABCD) = λ, то двойное отношение (BACD) =  , а (DACB) = 1 – λ. Четыре точки A, B, C, D могут быть переставлены между собой 4 · 3 · 2 · 1 = 24 различными способами, и каждой перестановке соответствует некоторое значение двойного отношения. Некоторым перестановкам соответствует то же числовое значение двойного отношения, что и начальной перестановке A, B, C, D; например, (ABCD) = (BADC). При 24 возможных перестановках четырёх точек получается всего лишь шесть различных значений двойного отношения, а именно

λ, 1 – λ,  ,  ,  ,  .

Эти шесть величин, вообще говоря, различны, но при некоторых значениях λ могут и совпадать по две, например, при значении λ = – 1 в случае гармонического деления.

Мы можем также определить двойные отношения четырёх компланарных (т. е. лежащих в одной плоскости) и конкурентных прямых 1, 2, 3, 4, как двойное отношение четырёх точек пересечения этих прямых с некоторой прямой, лежащей в той же плоскости. Положение этой пятой прямой несущественно вследствие инвариантности двойного отношения при проектировании. Эквивалентным этому определению является следующее:

где нужно взять знак плюс, если пара 1,2 не разделяется парой 3,4, и знак минус, если разделяется. (В этой формуле (1,3), например, обозначает угол между прямыми 1 и 3.) Наконец, можно определить двойное отношение четырёх коаксиальных плоскостей (четырёх плоскостей, пересекающихся по одной прямой, или «оси»). Если некоторая прямая пересекает плоскости в четырёх точках, то двойное отношение этих точек всегда будет иметь одно и то же значение, независимо от выбора прямой. Таким образом, полученное значение можно назвать двойным отношением рассматриваемых четырёх плоскостей. Иначе, можно назвать двойным отношением четырёх коаксиальных плоскостей двойное отношение четырёх прямых, по которым они пересекаются произвольной пятой плоскостью (рисунок 6).

Понятие двойного отношения четырёх плоскостей побуждает поставить вопрос о том, нельзя ли дать определение проективного преобразования трёхмерного пространства самого на себя. Определение с помощью центральной проекции, очевидно, не обобщается непосредственно от случая двух измерений на случай трёх измерений. Но можно доказать, что каждое непрерывное преобразование плоскости самой на себя, взаимно однозначно переводящее точки в точки и прямые в прямые, есть проективное. Это обстоятельство наводит на мысль ввести следующее определение для случая трёх измерений: проективным преобразованием пространства называется непрерывное взаимно однозначное преобразование, переводящее прямые в прямые линии. Можно сказать, что такие преобразования оставляют значения двойных отношений неизменными.
Добавим к предыдущему ещё кое-какие замечания. Пусть на прямой даны три различные точки A, B, C с координатами x1, x2, x3. Требуется найти четвёртую точку D таким образом, чтобы удовлетворялось равенство (ABCD) = λ, где λ задано. (Частный случай, когда λ = – 1 и задача заключается в построении четвёртой гармонической точки, будет подробно рассмотрен ниже.) Вообще говоря, задача имеет одно и только одно решение. Действительно, если x – координата искомой точки D, то уравнение

имеет ровно одно решение. Считая x1, x2 и x3 заданными и полагая ради кратности   мы придадим решению вид

Например, если точки A, B, C, D находятся на равных расстояниях друг от друга и имеют соответственно координаты x1 = 0, x2 = d, x3 = 2d, то тогда   и  

Если прямая l спроектирована из двух различных центров Oʹ и Oʹʹ на две различные прямые lʹ и lʹʹ, то получается соответствие P↔Pʹ между точками прямых l и lʹ и соответствие P↔Pʹʹ между точками прямых l и lʹʹ. Этим устанавливается соответствие Pʹ↔Pʹʹ между точками прямых lʹ и lʹʹ, и притом такое, что каждые четыре точки Aʹ, Bʹ, Cʹ, Dʹ на прямой lʹ имеют то же самое двойное отношение, что и соответствующие точки Aʹʹ, Bʹʹ, Cʹʹ, Dʹʹ на lʹʹ. Всякое взаимно однозначное соответствие между точками двух прямых, обладающее этим свойством, называется проективным соответствием, независимо от того, каким способом это соответствие установлено.

В качестве интересного применения инвариантности двойного отношения мы докажем одну простую, но важную теорему проективной геометрии. Речь идёт о полном четырёхстороннике – фигуре, образованной произвольными четырьмя прямыми, из которых никакие три не являются конкурентными, и шестью точками их пересечения. На рисунке 8 названные четыре прямые суть AE, BE, BI, AF. Прямые AB, EG и IF являются диагоналями четырёхсторонника. Рассмотрим одну из диагоналей, например AB, и отметим на ней точки C и D, где она пересекается с двумя другими диагоналями. Тогда теорема утверждает существование равенства (ABCD) = – 1; словами это выражается так: точки пересечения одной диагонали с двумя другими делят отрезок между вершинами четырёхсторонника гармонически. Для доказательства достаточно обратить внимание на то, что x = (ABCD) = (IFHD) (проектируем из E), (IFHD) = (BACD) (проектируем из G).
Как нам известно,   таким образом,   Но так как C, D разделяют A, B, то двойное отношение x отрицательно и потому оно должно быть равно именно –1, что мы и хотели доказать.
Полученное замечательное свойство полного четырёхсторонника даёт нам возможность с помощью одной лишь линейки построить точку, гармонически сопряжённую с точкой C относительно пары A, B (если A, B, C коллинеарны). Нужно только, выбрав произвольную точку E вне данной прямой, провести прямые EA, AB, EC; затем, взяв произвольную точку G на EC, провести прямые AG и BG, пересекающие EB и EA, скажем, в точках F и I; провести, наконец, прямую IF, которая пересечёт исходную прямую в искомой точке D.

3.