Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

знать:

• 
  определения и свойства алгебраических структур, используемых непосредственно в приложениях;
  

уметь:

• 
  производить вычисления в конкретных кольцах и алгебрах.
  
• 
  выполнять операции над идеалами в коммутативных кольцах.
  
• 
  находить базис Грёбнера полиномиального кольца.
  
• 
  осуществлять вычисления с перестановками конечного множества.
  
• 
  вычислять группу Галуа полиномиального уравнения;
  

владеть:

• 
  методикой исследования свойств коммутативных колец..
  
• 
  алгоритмом Бухбергера.
  
• 
  методикой исследования свойств групп перестановок конечного множества.
  
• 
  процедурой вычисления группы Галуа полиномиального уравнения.
  

Краткая характеристика учебной дисциплины (основные блоки и темы)

Содержание основных разделов (тем) курса Тема 1. Введение Задачи и программа курса. Место курса в ряду других математических дисциплин. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Литература к курсу. Обзор основных результатов элементарной теории чисел. Обзор основных свойств конечных полей. Общая задача вычисления дискретного логарифма, как задача решения системы полиномиальных уравнений над конечным полем. Проблема упрощения системы уравнений. Задача разрешимости полиномиального уравнения в радикалах. Тема 2. Кольца и алгебры Примеры колец и полей. Понятие подкольца и подполя. Понятие алгебры над кольцом и над полем. Ранг алгебры. Алгебра многочленов от одной переменной. Лемма Гаусса. Критерии неприводимости. Многочлены от многих переменных над полем. Факториальность кольца многочленов. Полиномиальные функции, определяемые многочленами. Гомоморфизмы колец и полей. Примеры. Гомоморфизмы алгебр. Простейшие свойства гомоморфизмов. Образ и прообраз подкольца при помощи гомоморфизма. Образ гомоморфизма. Гомоморфизмы подстановки и редукции. Понятие идеала коммутативного кольца, его свойства. Ядро гомоморфизма. Подкольцо, порождённое множеством, его элементы, образ при гомоморфизме. Идеалы, порождённые множествами, конечно порождённые и главные идеалы. Свойства идеалов, порожденных множествами. Кольца главных идеалов. Примеры колец главных идеалов. Идеалы в поле. Отношение сравнения в кольце (алгебре) по идеалу. Факторкольцо (факторалгебра) кольца по идеалу. Факторкольцо кольца многочленов по неприводимому многочлену. Присоединение корней многочлена. Алгебраически замкнутое поле. Факторизация гомоморфизмов. Основные теоремы об изоморфизмах. Операции над идеалами. Сумма идеалов. Взаимно простые идеалы. Произведение идеалов. Свойства операций над идеалами. Максимальные идеалы. Простые идеалы. Неприводимые элементы кольца. Максимальные и простые идеалы в кольце главных идеалов.