Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 3. Многочлены от многих переменных
Нётеровы кольца. Эквивалентные условия нётеровости. Теорема Крулля. Теорема Гильберта о базисе. Следствие из теоремы Гильберта.
Отношение порядка на множестве одночленов. Алгоритм деления в кольце многочленов от многих переменных. Мономиальные идеалы. Лемма Диксона. Базисы Грёбнера полиномиальных идеалов, их свойства.
Понятие зацепления многочленов. Разрешимость зацеплений. Алгоритм Бухбергера. Минимальный и редуцированный базисы Грёбнера, их свойства. Примеры построения базисов Грёбнера.
Тема 4. Системы алгебраических уравнений
Определение аффинных алгебраических множеств. Примеры. Определяющая система уравнений. Операции над аффинными алгебраическими множествами. Топология Зариского. Идеал множества. Пример. Радикал идеала. Свойства радикала. Радикальные идеалы. Свойства идеалов множеств.
Понятие неприводимости. Аффинные алгебраические многообразия. Идеал многообразия. Слабая теорема Гильберта о нулях. Сильная теорема Гильберта о нулях. Соответствие между алгебраическими множествами и идеалами. Разложение на неприводимые компоненты. Приложения базисов Грёбнера к решению систем полиномиальных уравнений.
Тема 5. Основы теории групп
Группы. Примеры групп. Гомоморфизмы групп. Свойства гомоморфизмов. Подгруппы. Примеры подгрупп. Пересечение подгрупп. Образ и прообраз группы при гомоморфизме. Образ гомоморфизма.
Отношения эквивалентности в группе по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Нормализатор подмножества и центр группы. Образ и прообраз нормальной подгруппы при гомоморфизме. Ядро гомоморфизма. Признак мономорфизма.
Отношение эквивалентности в группе по нормальной подгруппе. Факторгруппа. Факторизация гомоморфизмов. Теоремы об изоморфизмах.
Подгруппа, порождённая множеством. Её элементы. Образ с помощью гомоморфизма. Циклические группы. Подгруппы циклической группы. Порядок элемента в циклической группе. Обращение теоремы Лагранжа для циклических групп.
Перестановки и шифры. Транспозиции. Разложение перестановки в произведение циклов и транспозиций. Системы образующих симметрической группы. Инверсии. Сигнатура перестановки. Четные и нечетные подстановки, теорема о декременте. Орбита и стабилизатор элемента. Сопряжённые перестановки. Критерий сопряженности подстановок. Уравнение Коши. Транзитивные и кратно транзитивные группы. Лемма Бернсайда.
Разрешимые группы. Свойства разрешимых групп. Примеры разрешимых групп. Разрешимость и неразрешимость групп перестановок.
Произведение подгрупп. Прямое произведение подгрупп. Прямая сумма подгрупп абелевой группы. Суммы и пересечение подгрупп циклической группы. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Критерий цикличности абелевой группы. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Тип конечной абелевой группы. Обращение теоремы Лагранжа для конечной абелевой группы.