Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 6. Основы теории полей
Расширения полей. Степень расширения. Конечные расширения. Теорема транзитивности конечных расширений. Алгебраические и трансцендентные элементы. Алгебраические расширения полей. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Признак алгебраического элемента. Конечные и конечно порождённые расширения. Теорема транзитивности алгебраических расширений. Алгебраическое расширение алгебраически замкнутого поля. Алгебраическое замыкание поля. Формулировка теоремы Штейница.
Гомоморфизмы алгебраических расширений. Поля разложения многочленов и нормальные расширения. Сепарабельные элементы. Сепарабельные многочлены. Сепарабельные расширения полей. Сепарабельная степень расширения.
Тема 7. Основы теории Галуа
Автоморфизмы поля над подполем. Их число. Неподвижное поле автоморфизма. Неподвижное поле группы автоморфизмов. Теорема Артина. Расширения Галуа. Примеры. Группа Галуа расширения Галуа. Соответствие Галуа. Основная теорема теории Галуа. Следствия. Группа Галуа как группа перестановок корней многочлена. Группа Галуа многочлена третьей степени. Группа Галуа многочлена X ⁴ – 2.
Решение квадратных уравнений в радикалах. Решение кубических уравнений в радикалах. Решение уравнений четвёртой степени в радикалах. Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий разрешимости уравнения в радикалах. Частные случаи разрешимости.

Тематика практических занятий

Тема 1. Решение сравнений и повторение свойств конечных полей.
Тема 2. Отыскание подколец кольца и подполей поля. Отыскание гомоморфизмов колец. Вычисления в конечно порождённых кольцах. Отыскание идеалов факторкольца кольца многочленов от одной и многих переменных и операции над ними. Вычисления с идеалами и доказательства простейших свойств максимальных и простых идеалов.
Тема 3. Построение примеров нётеровых колец. Редукция и проверка свойств базисов Грёбнера полиномиальных идеалов. Отыскание базисов Грёбнера полиномиальных идеалов.