O’rta qiymat haqida teoremalar Reja: Kirish I bob. O’rta qiymat haqida teoremalar mavzusiga kirish

Yechilishi.funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini hisoblaymiz: f(0)=-2; f(2)=12; f’(x)=12x²-10x+1. Olingan natijalarni Lagranj formulasiga qo‘yamiz, natijada
12-(-2)=( 12c²-10c+1)(2-0) yoki 6c²-5c-3=0 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz: c_1,2= . Topilgan ildizlardan faqat qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak, c= ekan.
Lagranj teoremasi o‘z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo‘ladi.
2.4 Koshi teoremasi

4-teorema (Koshi teoremasi). Agar [a,b]kesmada f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo’lib,

1. 
   [a,b] da uzluksiz;
   
2. 
   (a,b) intervalda f’(x) va g’(x) mavjud hamda g’(x) 0 bo’lsa, u holda hech bolmaganda bitta shunday c(anuqta topilib,
   

(4)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isboti. Ravshanki, (4) tenglik ma’noga ega bo’lishi uchun g(b) g(a) bo’lishi kerak Bu esa teoremadagi g’(x) 0, x (a;b) shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo’lsa, u holda g(x) funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror c (a;b) nuqtada g’(c)=0 bo’lar edi. Bu esa
x (a;b) da g’(x) 0 shartga ziddir. Demak, g(b) g(a)
Endi yordamchi
Ф(x) = f(x) – f(a) – (g(x) –g(a))
funksiyani tuzaylik.
Shartga ko’ra f(x) va g(x) funksiyalar [a,b] da uzluksiz hamda (a,b) intervalda differensiallanuvchi bo’lgani uchun F(x), birinchidan, [a,b] kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan, (a,b) intervalda
Ф’(x) = f’(x) – g’(x)
hosilaga ega.
So’ngra Ф(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz. Ф(a) = Ф(b) = 0. Demak, Ф(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun hech bo’lmaganda bitta shunday c (a) nuqta topiladiki, Ф’(c)= 0 bo’ladi. Shunday qilib,
0 = Ô’(c) =f’(c) – g’(c)
va bundan (4) tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi
Isbotlangan (4) tenglik Koshi formulasi deb ham ataladi.

y




B

t=c




t=b


A

t=a




O

x

4 - rasm

Endi Koshi teoremasining geometrik ma’nosini aniqlaymiz.
Aytaylik, x = (t), y=f(t), a t b tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo’lsin. Shuningdek, chiziqda t=a ga mos keluvchi nuqtani A( (a), f(a)), t=b ga mos keluvchi nuqtani B( (b),f(b)) kabi belgilaylik (4-rasm). U holda (4) formulaning chapn qismi AB vatarning burchak koeffitsiyenti, o’ng tomoni esa egri chiziqqa parametrning t=c qiymatiga mos keladigan nuqtasida o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini anglatadi. Demak, Koshi formulasi AB yoyining AB vatarga parallel bo’lgan urinmasining mavjudligini ta’kidlaydi.
Misol. Ushbu f(x)=x hamda (x)= funksiyalar uchun [0,4] kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping.
Yechish. Berilgan funksiyalarning kesma uchlaridagi qiymatlari va hosilalarini topamiz: f(0)=0, f(4)=16, (0)=0, (4)=2; f’(x)=2x, f’(x)= .
Bulardan foydalanib Koshi formulasini yozamiz: , bundan yoki . Demak .

XULOSA
Ushbu kurs ishi davomida men differensial hisobning asosiy teoremalari bo’lmish o’rta qiymat haqidagi teoremalar haqida yoritdim. Mavzuni yoritishda ko’plab adabiyotlardan, internet saytlaridan foydalanildi. Kurs ishi ikki bobdan iborat bo’lib, birinchi qismi o’rta qiymat haqida teoremalar mavzusiga kirish bo’lib, o’z navbatida birinchi bob ham ikki qismga bo’linadi. Bular, funksiya hosilasi va differensiallash qoidalarini o’z ichiga oladi. Kurs ishining ikkinchi bobiga keladigan bo’lsak, differensial hisobning asosiy to’rtta teoremasi haqida yozildi. Bular, Ferma, Roll, Logranj hamda Koshi teoremalari.
Differensial hisob — matematikaning hosilalar va differensiallarni hisoblash, ularning xossalarini oʻrganish hamda funksiyalarni tekshirishga tatbiq qilish bilann shugʻullanadigan boʻlimi. XVII asrga kelib Yevropada ishlab chiqarish kuchlarining oʻsishi, turli mashina va inshootlarning yaratilishi, kemasoalikning rivojlanishi, ballistika (umuman, harbiy ish) talablari aniq fanlar, jumladan matematika oldiga juda koʻp yangi masalalarni qoʻyganligi munosabati bilann differensial hisob va integral hisob gʻoyalari vujudga keldi. Differensial hisobning vujudga kelishidagi dastlabki ishlar egri chiziqqa urinma oʻtkazish masalasini yechishda Ferma, Rene Dekart va boshqa matematiklar tomonidan qilingan. Isaak Nyuton va Gottfried Leybnits oʻzlaridan avvalgi matematiklarning bu boradagi ishlarini nihoyasiga yetkazdilar. XVII asr oxiri va XVIII asr boshlarida matematik analiz mustaqil fan sifatida shakllandi.
Xulosa qilib aytganda, men, bu nazariyani o`rganish jarayonida juda ko`p tushunchalarga ega bo`ldim. Shu bilan birga murakkab matematik tushunchalarni tabiatdagi ba’zi ma’nolariga tushunib yetdim. Shuning uchun ham bu mavzu qiziqarli va muhim deb hisoblayman.