O’rta osiyoda matematika rivoji tarixidan 5-mashG’ulot. Al-xorazmiy va uning matematik merosi

 

4. Xorazmiyning arifmetika va algebra rivojiga hissa qo’shgan asarlari 

mazmuni 

Xorazmiyning  arifmetika  va  algebraik  asarlari  matematika  tarixida  yangi 

davrni - o’rta asrlar davri matematikasi davrini boshlab berdi. Bu matematikaning 

keyingi asrlardagi rivojlanishiga beqiyos zo’r ta’sir ko’rsatdi. 

O’zining  «Algorizmi  hind  hisobi  haqida»  arifmetik  asarida  Xorazmiy  arab 

tilida  birinchi  bo’lib  o’nli  pozision  hisoblash  sistemasini  va  unga  asoslangan 

amallarning  bayonini  keltiradi.  Bu  risolaning  Kembrij  universiteti  kutubxonasida 

saqlanadigan lotincha qo’lyozmasi Dixit Algorizmi" ya’ni "Algorizmi dedi" iborasi 

bilan  boshlanadi.  Xorazmiy  risolasi  mazkur  qo’lyozmaning 102a  -106 b-betlarini 

o’z ichiga oladi va kasrlarni ko’paytirish misolida amal oxrigacha yetmasdan risola 

tugaydi. A.P.Yushkevich tadqiqoticha, risolaning asli arabcha nomi «Kitob al-jam’ 

vat-tafriq bi hisob al-hind»  

(  «Hind  hisobi  bo’yicha  qo’shish  va  ayirish  kitobi»  bo’lishi  kerak.  Bundan 

ko’rinadiki, Xorazmiy asar nomida faqat ikki arifmetik amalni ko’rsatgan, chunki u 

ko’paytirsh va va bo’lish amallarini ham shu ikki amalga keltirishini nazarda tutib, 

shunday qaragan bo’lishi, ehtimol. Xorazmiy risola avvalida hamdu sanodan so’ng 

9  ta  harf,  ya’ni  raqam  yordamida  hindlarning  hisoblash  usulini  bayon  etmoqchi 

ekanligini va bu qarflar yordamida har qanday sonni osonlik bilan qisqagina ifoda 

qilish  mumkinligi  va  ular  ustida  amallarni  bayon  etmoqchi    ekanligini    aytadi. 

Lotincha  qo’lyozmada  hind  raqamlari  yozilmagan,  ular  o’rni  bo’sh  qoldirilgan. 

Faqat  goho  1,  2,  3,  5  uchun  hind  raqamlari  va  nol  uchun  aylana  shakli  yozilgan. 

Xorazmiy  bu  asarida  o’zidan  oldingi  matematik  asarlardan  foydalanganligi  ham 

seziladi. 

Sonlarni  hind  raqamlari  bilan  o’nli  pozision  sistemada  yozilishini    0  ga 

o’xshash  kichik  doirachani  ishlatilishi  haqida  mufassal  so’zlagandan  so’ng 

Xorazmiy katta sonlarni aytishni o’rgatadi va bunda faqat birlar, o’nlar, yuzlar va 

minglarning  nomlaridan  foydalanadi.  Misol  tariqasida,  1180  073  051  492  863 

sonining o’qilishini ko’rsatadi, u bunday o’qiladi: mingta  ming ming ming ming 

besh marta va yuz ming ming ming ming to’rt marta va sakson ming ming ming 

---

ming to’rt marta va yetmish ming ming ming uch marta va uch ming ming ming uch 

marta va ellik bir ming ming ikki marta va to’rt yuz ming va to’qson ikki ming va 

sakkiz  yuz  oltmish  uch.  Sonlarning  bunday  noqulay  o’qilishi  Sharqda  ham, 

Yevropada  ham  uzoq  muddat  saqlanib,  o’nli  pozision  sistema  uzil-kesil  g’alaba 

qilgandagina yo’qoladi.  

   Bundan  keyin  Xorazmiy  hind  usuliga  ko’ra  arifmetik  amallarni  muafassal 

bayon  qilishga  o’tadi  va  qo’shish,  ayirish  amallaridan  boshlaydi.  Bu  amallarda 

doiracha, ya’ni nolning roliga katta ahamiyat beradi. Xorazmiy bu haqda bunday 

deydi: «Agar hyech narsa qolmasa, martaba bo’sh qolmasligi uchun doiracha qo’yib 

qo’y, lekin u yerda uni egallovchi doiracha tursin, chunki agarda u yer bo’sh bo’lib 

qolsa, martabalar kamayib qoladi va ikkinchini birinchi o’rnida qabul qilinib qoladi 

va shu bilan sen o’z soningda yanglishib qolasan». 

 

Xorazmiy  ikki  baravarlash  va  ikkilash,  ya’ni  yarimlash  amallariga  ham 

ahamiyat  beradi.  U  ikkilash  amalini  bajarishda  qadimgi  bobil  matematik 

an’analariga  ham  tayanganligi  seziladi.  Uning  «birni  ikkilaysan,  ya’ni  ikkita 

yarimga ajratasan, shunda uning bitta yarmi birni tashkil qiluvchi oltmishning o’ttiz 

qismini tashkil qiladi» degan iboralari buning yorqin dalilidir. 

 Bundan  keyin  u  butun  sonlarni  biri-biriga  ko’paytirishga  o’tadi.  Buning 

uchun  u    9  ni  9  gacha  ko’paytirish  jadvalini  yoddan  bilish  kerakligini  aytadi. 

Xorazmiy    keltirgan  sonlarni  ko’paytirishda  ko’paytuvchini  ko’paytiriluvchining 

tagiga  joylashtirilib,  bunda  quyi  martabasi  ko’paytiriluvchining  yuqori  martabasi 

tagida    yozilishi kerakligini  aytadi.  Bo’lishda  "  bo’lish ko’paytishga o’xshashdir, 

lekin unga teskari, chunki bo’lishda biz ayiramiz,   ko’paytishda esa qo’shamiz". 

Xorazmiy kasr sonlar ustidagi amallarni ham qarab o’tadi.Unda kasrlarning 

atalishidagi  arab  tiliga  xos  xususiyat  saqlangan.  U  avval  oltmishlik  kasrlar  bilan 

amal tutadi va bunday kasrlarni hindlarga nisbat beradi. Lekin aslida bunday kasrlar 

bobilliklarga mansub bo’lib, u Bobildan Iskandariya (Misrga) o’tgan. 

Xorazmiy oltmishlik kasrlar tushunchasini kiritishda birni oltmish bo’lakdan 

iborat deb qarab, buning har bir qismini daqiqa, buning oltmishdan bir qismi soniya, 

buning  oltmishdan  birini  solisa  va  h.k.  deyilishini  aytadi.  Bunday  kasrlarni  

ko’paytirishda ko’paytmaning martabasini aniqlash qoidasini aytadi. 

Xorazmiy  risolasining  arabcha  nusxasi  saqlanmagani  uchun  u  foydalangan 

raqamlarpning  shakli  haqida  olimlar  bir  tugal  fikrga  kelmaganlar.  Kembrijda 

saqlanadigan  lotincha  nuxasida  uchratiladigan  1,2,3,5  va  0  ning  shakllari  ham 

Xorazmiyda raqamlarning shakli haqida aniq xulosaga kelishga imkon bermaydi. 

Xorazmiyning algebraik risolasi uning arifmetik risolasidan avval yozilgan. 

Olimning arifmetik risolasida algebrasini eslashi bunga dalil bo’la oladi. Risolaning 

nusxasi  1342  yili  va  Oksford  universiteti  Bodleyan  kutubxonasida  saqlanadigan 

arabcha nusxasi 34 varaqni tashkil qiladi. Risola uch qismdan iborat: 1) algebraik 

qism  (1b-15  a-betlar);  oxirida  bir  kichik  bo’lim-savdo  muomalasidagi  bob 

keltiriladi;  2)  geometrik  qism-algebraik  usul  qo’llab  o’lchashlar  haqida  (15a-18b-

betlar); 3) vasiyatlar haqidagi qism. Xorazmiy uni   alohida nom bilan "Vasiyatlar 

kitobi" deb atagan (18 b-34 a-betlar). Xorazmiy risolada hyech qanday belgilashlarni 

keltirmaydi va mavzuni butunlay so’z bilan bayon etadi va shakllar keltiradi.   

---

Xorazmiy risola boshida hamdu-sanodan keyin bu kitobni yozishdan maqsadi 

nima  ekanligini  quyidagi  so’zlar  bilan  aytadi:  "Men  arifmetikaning  odiy  va 

murakkaab  masalalarinii  o’z  ichiga  oluvchi  "Aljabr  va  almuqobala  hisobi  haqida 

qisqacha  kitobi"  ni  taklif  qildim,  chunki  meros  taqsim  qilishda,  vasiyatnoma 

tuzishda, mol taqsimlashda va adliya ishlarida, savdoda va har qanday bitimlarda va 

shuningdek, yer o’lchashda, kanallar o’tkazishda, geometriyada va boshqa shunga 

o’xshash turlicha ishlarda kishilar uchun bu zarurdir". 

Xorazmiy  asosiy  algebraik  mavzuga  o’tishdan  oldin  avval  o’nlik  pozision 

hisoblash sistemasi, uning qulaylik va afzalligi haqida qisqacha to’xtalib o’tadi. 

   Uning aytishicha algebrada  uch xil sonlar bilan ish ko’riladi: ildiz (jizr), yoki 

narsa (shay), kvadrat (mol)  va oddiy son yoki dirham pul birligi. Ildiz o’z-o’zini 

ko’paytiriladigan miqdor, kvadrat esa ildizni o’ziga ko’paytirishdan hosil bo’lgan 

kattalikdir.  Xorazmiy  ko’radigan  tenglamalar  mana  shu  uch  miqdor  orasidagi 

munosabatlardir. U avval risolada ko’riladigan 6 ta chiziqli va kvadrat tenglamaning 

sinflarini  keltiradi.  Bundan  keyin  konkret  misollar  bilan  boshqa  har  qanday 

tenglamalar  risola  mohiyatidagi  asosiy  amallar  -  aljabr  va  almuqobala  amallari 

yordamida olti kanonik ko’rinishga keltirilishi ko’rsatiladi. 

Tenglamalarning  avvalgi  uch  ko’rinishini  Xorazmiy  konkret  misollarda 

og’zaki  yechadi.  Bular  kvadrat  ildizlarga  teng,  kvadratlar  sonlarga  teng,  ildizlar 

songa teng. 

Xorazmiy 6 ta kanonik ko’rinishdagi tenglamalarni yechish usulini muafassal 

bayon  qilgandan  so’ng  algebraik  ifodalar  ustida  bajariladigan  asosiy  amallar 

bayoniga  o’tadi.  Bu  bo’limda 

)

5

2

1

(

)

2

10

(

,

)

10

(