O’rta osiyoda matematika rivoji tarixidan 5-mashG’ulot. Al-xorazmiy va uning matematik merosi

x

x

9

4

5





  kabi 

tenglamalarni  yechish  uchun  ikkala  tomondan  x

5

  ni  ayirish  ma’nosini  bildiradi. 

Agar  tenglamaning  ikkala  tomonida  bir  xil  jinslar,  ya’ni  o’xshash  hadlar  bo’lsa, 

ikkala  tomondan  umumiysini  (misolimizda  x

5   ni)  tashlash  «al-muqobala»,  ya’ni 

qolganlarni  tenglashtirish  deyiladi.  By  kitobda  shu  ikki  usuldan  foydalanib,  1-

darajali  tenglamalarning  yechilishi  ko’rsatilgan  va  bunga  quyidagicha  ta’rif 

berilgan:  tenglamalarni  yechish  uchun  ishlatiladigan  amallar  «al-jabr  va  al- 

muqobala»  deb  aytiladi,  Xorazmiyning  bu  asarida  hyech  handay  formulalar  va 

simvollar bo’lmay, balki tenglamalar va ularning yechilishi so’z bilan bayon etilgan. 

U davrlarda boshqa olimlarning asarlarn ham shunday yozilgan. Bunda noma’lum 

«shay» («narsa»), uning kvadrati «mol» («boylik») deb atalgan. Noma’lum, ba’zan 

ildiz  («jazr») deb  ham  atalgan.  Qoidalar esa  ayrim  misollar orqali bayon etilgan, 

miqdorlar ba’zan chiziqlar orqali ifodalangan.  

Kitobning  1-qismida  algebraik  ifodalarni  qo’shish,  ayirish  vz  ko’paytirish 

qoidalari berilgan. Algebraik ifodalar ko’phadlardan iborat bo’lib, unda noma’lum, 

uning kvadrati va kvadrat ildizi qatnashadi. Bundan keyin 2-darajali tenglamalar va 

ularni  yechish  metodlari,  ularning  geometrik  tasviri,  kvadrat  tenglamalarga 

keltiriladigan  masalalar  yechish  bayon  etiladi.  Berilgan  har  qanday  shakldagi 

tenglamani yechish uchun eng oldin bu tenglamani «jabr va muqobala» amallarini 

tatbiq  etish  bilan  quyidagi  tenglamalardan  biri  shakliga  (ya’ni  hadlari 

qo’shiluvchilardan  iborat  tenglamaga)  keltirib,  undan  so’ng  hosil  bo’lgan  sodda 

tenglama ma’lum qoidalar yordami bilan yechiladi.  

1.  Bitta kvadrat ildizga teng (masalan 

x

x



2

).  

2.  Bitta kvadrat songa teng (

36

2



x

),  

3.  Ildizlar songa teng (

100

5

2



x

).  

4.  Bitta kvadrat va ildizlar songa teng (

228

7

2





x

x

).  

5. Bitta kvadrat va son ildizlarga teng (

x

x

10

21

2





).  

---

6. Ildizlar va son bitta kvadratga teng (

2

220

12

x

x





)  

Hozirgi  vaqtda  algebra  bularning  hammasini  harflar  yordami  bilan  bitta 

umumiy  tenglama 

0

2







c

bx

ax

  shaklida  ifodalaydi.  Bunda  a,  b,  s  ning  nol, 

musbat  va  manfiy  qiymatlarga  ega  bo’lishiga  qarab,  yuqoridagi  xususiy  holdagi 

tenglamalarni  hosil  qilish  mumkin.  Shuni  aytish  kerakki,  algebrada  miqdorlarni 

harflar bilan ifodalash usuli, ya’ni simvolika faqat XVI asrning oxirida Yevropada 

qo’llanila boshlandi.  

Yuqoridagi tenglamalardan birini, masalan: 

x

x

10

21

2





ni yechish usulini 

ko’rsatamiz  

Bu  tenglama  shunday  so’zlar  bilan  bayon  etiladi:  «Narsaning  kvadratiga 

yigirma  bir  qo’shilsa,  u  o’sha  kvadrat  ildizning  o’n  baravariga  teng  bo’ladi».  Bu 

tenglamaning ildizlarini topish uchun quyidagicha qoida beriladi:  

«Ildizlar  sanog’ini  ikkiga  bo’ling:  besh  soni  chiqadi.  Bu  sonni  o’z-o’ziga 

ko’paytiring,  ko’paytma  yigirma  besh  bo’ladi,  undan  yigirma  bir  sonini  ayiring, 

qoldiq  to’rt  bo’ladi.  Bundan  ildiz  chiqaring,  bu  ikki  bo’ladi.  Bu  ildizni,  ildizlar 

sanog’ining  yarmidan,  ya’ni  beshdan  ayiring,  qoldiq  uch  bo’ladi.  Mana  shu- 

izlangan kvadratning ildizi bo’ladi".  

Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma’nosini 

21

)

2

10

(

2

10

2







x

 

formula bilan ifodalash mumkin.  

«Yoki sen, bu ildiz ikkini, ildizlar sanog’ining yarmi — beshga qo’shishing 

mumkin, bu yig’indi 7 bo’ladi».  

(ya’ni 

21

)

2

10

(

2

10

2







x

  bo’ladi).  «Bu  izlangan  kvadratning  ildizi  bo’ladi, 

kvadratning  o’zi  esa  49  bo’ladi.  Qachonki  sen  shu  holga  to’g’ri  keladigan  misol 

uchratsang, avval uni yechishni qo’shish orqali sinab ko’rgin va bu maqsadga olib 

kelmasa,  u  vaqtda  shubhasiz,  ayirish  maqsadga  olib  keladi,  chunki  bu  holda  ham 

qo’shish  va  ham  ayirishni  tatbiq  etish  mumkin»;  ham  qo’shish  va  ham  ayirish 

boshqa hollar uchun, tatbiq etilmaydi, chunki u vaqtda manfiy ildiz ham olinadiki, 

bu holni Xorazmiy mumkin bo’lmagan hol deb qaraydi.  

Umumiy holdagi