O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar

M A S H Q L A R

1. Berilgan o’rin almashtirishlarning biridan ikkinchisiga o’tish mumkin bo’lgan transpozitsiyalarni ko’rsating.

a) (10, 1, 2, 8, 7, 4, 3, 6, 9, 5) o’rin almashtirishdan (8, 9, 5, 1, 10, 7, 2, 3, 6, 4) o’rin almashtirishga;
v) (2, 4, 6, ..., 2n, 1, 3, 5, ..., 2n-1) o’rin almashtirishdan (2n, 2n-1, ..., 4, 3, 2, 1) o’rin almashtirishga.
2. i va k larning (1, 2, 7, 4, i, 5, 6, k, 9) o’rin almashtirish juft bo’ladigan qiymatlarini toping.
3. Agar ASQMUI o’rin almashtirishni tartib deb qarab, MUSIQA o’rin almashtirishidagi inversiyalar sonini toping.
4. Quyidagi o’rin almashtirishlardagi inversiyalar sonini toping. Qanday n larda o’rin almashtirishlar juft, qanday n larda toq bo’lishini aniqlang va shu n larning umumiy ko’rinishini bering.
a) (2, 4, 6, ..., 2n, 1, 3, 5, ..., 2n - 1);
v) (1, 3, 5, ..., 2n - 1, 2, 4, 6, ..., 2n);
c) (2n, 1, 2n - 1, 2, 2n - 2, 3, ..., n + 1, n);
d) (1, 4, 7, ..., 3n - 2, 2, 5, ..., 3n - 1, 3, 6, ..., 3n);
e) (3, 6, ..., 3n, 1, 4, ..., 3n - 2, 2, 5, ..., 3n - 1);
f) (1, 5, ..., 4n - 3, 2, 6, ..., 4n - 2, 3, 7, ..., 4n - 1, 4, 8, ..., 4n);
g) (4n, 4n - 4, ..., 8, 4, 4n - 1, 4n-5, ..., 7, 3, 4n-2, 4n - 6, ..., 6, 2,
4n - 3, 4n-7, ..., 5, 1).
5. (1, 2,.., n) o’rin almashtirishning k-chi o’rnida turgan 1 soni nechta inversiyani hosil qiladi?
6. 1, 2, 3, ..., n o’rin almashtirishning k-chi o’rnida turgan n soni nechta inversiyani hosil qiladi?
7. 1, 2, ..., n sonlarning ixtiyoriy o’rin almashtirishidagi inversiyalar soni va tartiblar soni yig’indisini toping.
8. Qanday n lar uchun 1, 2 , ..., n sonlarning istalgan o’rin almashtirishidagi inversiyalar soni va tartiblar sonlarining juft-toqligi bir xil, qanday n lar uchun har xil bo’ladi?
9. 1, 2, ..., n, sonlarining biror o’rin almashtirishida (12) transpozitsiya bajarsak, inversiyalar soni qanday o’zgaradi?
10. a₁, a₂, ..., a_n-1, a_n o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni k ekanligi berilgan. U holda a_n, a_n-1, ..., a₂, a₁ o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni nechta bo’ladi?
11. n ta elementning barcha o’rin almashtirishlaridagi inversiyalarning hammasi nechta?
12. 1, 2, ..., n sonlarning inversiyalari soni k ga teng bo’lgan ixtiyoriy o’rin almashtirishidan boshlang’ich holatiga k ta transpozitsiyalarni bajarish natijasida o’tish mumkin bo’lib, undan kam sondagi transpozitsiyalar orqali o’tish mumkin emasligini isbotlang.
13. Ixtiyoriy butun k (0 k  C_n²) soni uchun 1, 2, 3, ..., n, sonlarning o’rin almashtirishlari ichida inversiyalari soni k ga teng bo’lgani borligini ko’rsating.
14. Qanday umumiy va yetarli shartda (₁ ₂ ₃ ... _n) o’rin almashtirishida yonma-yon turmagan ikki sonning transpozitsiyasi undagi inversiyalar sonini bittaga oshiradi? Qanday shartda bittaga kamaytiradi?
15. Quyidagi binar munosabatlardan qaysilari o’rniga qo’yish bo’ladi:
; ; ;
; ; .
16. Quyidagi o’rniga qo’yishlarni o’zaro bog’liq bo’lmagan sikllar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalang va dekrement bo’yicha uning juft-toqligini aniqlang.
; ;
;
;
.