Optimallashtirish usullari

Matematika fakulteti

Matematika yo’nalishining 4-kurs talabalari

Hamroyeva Fotima va Xodjiyev Baxodirning

“Optimallashtirish usullari “ fanidan

Mustaqil ishi

Mavzu: Izopermetik masala.

Izopermetik masala tushunchasi qadimgi Gretsiyada kelib chiqqan bo’lib, u masala eng katta yuzali maydonni perimetrini hisoblash uchun ishlatilgan.

Masalada chegaralari o’zgaruvchi parametrik ko’rinishdagi egri chiziqlar berilgan bo’lib

yoki

Funksionalning maximumi topiladi bu shartda funksional

Bu doim ahamiyatini saqlaydi

Bu ko’rinishdan shu yerda biz Variatsion masala shartli ekstremumga o’z obrazida ega bo’lishiga ega bo’lamiz:

Integral doimo ahamiyatini saqlaydi.

Hozirgi kunda izopermetik masala umumiy katta sinfli masala deyiladi, aynan barcha masalada funksionalning ekstrimumini topish uchun foydalaniladi.

Shunga ko’ra uni izopermetik masala deb nomlaymiz

Bu yerda - o’zgarmas

m esa n dan katta,kichik yoki teng bo’lishi mumkin.

Masalani mantiqan yechish uchun murakkab bo’lgan funksional.

Izopermetik masala shartli ekstrimum masalasiga bog’liq bo’lishi mumkinligini bilamiz,uni quyidagicha noma’lum funksiya orqali belgilaymiz

Bunda va shartdan ekanligiga ega bo’lamiz ni bo’yicha differensiyallab quyidagi

ega bo’lamiz

Bunda integralni izopermetrik bog’liqligini

differensiyal bilan bog’laymiz

va shunday qilib kelib chiqishini o’tgan mavzularda ko’rganmiz

Bu qoidani ishlatishda

shartli ekstrimum bilan

shartsiz ekstrimum orasidagi bog’lanish mavjudligini o’rganamiz.

Bu yerda

uchun Eyler tenglamasi quyidagicha ko’rinishda bo’ladi

yoki

Oxirgi m ta tenglamada barcha lar o’zgarmas, birinchi tenglamada

funksional

Eyler tenglamasi uchun mos keladi.

Bu yerdan biz quyidagi qoidani qabul qilamiz.

Izopermetik masalada

Ekstremumini topishda yordamchi

Funksiyadan foydalaniladi ya’ni

Bu yerda o’zgarmas larni Eylerning umumiy tenglamalar sistemasidan topiladi o’zgarmaslar esa va izopermetrik shartdan hisoblanadi.

Eyler tenglamalar sisyemasi funksional uchun o’zgarmaydi agar noma’lum o’zgarmasga ko’paytirilsa uning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

Bunda ko’rinishda belgilanadi.

Barcha funksiyalar simmetrik joylashgan chunki variatsion masala ekstremumini topishda va funksionalning ekstremumini topishga doim izopermetrik boshlang’ich shart ixtiyoriy da da o’xshash ya’ni bir xil.

1-masala.

Egri chiziqli CABD trapetsiya yon tomoni bilan berilgan maxsimumga erishadigan S yuzani toping?

Yechish

Funksionalni ekstremumga tekshiramiz

Izopermetrik shart avval yordamchi funksionalni tuzib olamiz

Integral ostidagi funksiyada x qatnashmaydi,Eyler tenglamasi uchun yoki ko’rinishda bo’ladi bu yerdan

Ko’rinishga kelamiz va uni yangi t parametrga o’tib deb belgilaymiz bu yerdan keyin ekstremal masalani parametric ko’rinishida



yoki parametrsiz aylana tenglamasi ko’rinishida yoza olamiz va o’zgarmaslarni boshlang’ich va shartlardan foydalanib topamiz.

Shu yerda aylana radiusi bo’lib , chiziq uzunligini orqali hisoblaymiz.