Optimallashtirish usullari (Optimallashtirish masalalari, N’yuton usuli)

0 0	+ -
Minimum nuqta maksimun nuqta
0	0	no’malum

bo`sa, bu nuqtada

bu esa, x0 nuqtaning (1) funksiyaga nisbiy minimum beradigan nuqta bo`lishligiga ziddir.
(7) shart (1) funksiyaning minimum mavjudligining ikkinchi tartibli zaruriy sharti deyiladi.
Agar x0 nuqtada bo`lsa, bu nuqtada qaralayotgan funksiya maksimumga ega. Agar
x0 nuqtada bo`lsa, x0 nuqtaning qanday nuqta ekanligi no’malum bo`lib qoladi.
Funksiyalarni ikkinchi tartibli hosila yorda-
mida ekstremumini tekshirishni 1-jadvaldagidek tasvirlash mumkin.
Yuqorida isbotlangan 1- va 2- teoremalardagi shartlar funksiya minimum mavjudligining zaruriy shartlari bo`lib, yetarli shartlar bo`la olmaydi. Bunga ushbu
funksiya misol bo`la oladi.Haqiqatdan ham x0=0 nuqtada
ya’ni, minimum mavjudligining birinchi va ikkinchi tartibli zaruriy shartlari bajariladi, lekin (rasmga qarang) x0=0 nuqta qaralayotgan funksiyamizga absolyut maksimum beruvchi nuqtadir.
3-teorema. f(x) funksiya kritik nuqta x0 ni o`z ichiga oluvchi birorta oraliqda uzliksiz va shu oraliqning hamma (x0 nuqtaning o`zidan boshqa) nuqtalarida differensiyallanuvchi bo`lsin (-rasm). Agar shu nuqtaning chap tomonidan o`ng tomoniga o`tishda
hosilaning ishorasi manfiydan musbatga o`zgarsa, funksiya x0 (-rasm. ) nuqtada minimumga, agar musbatdan manfiyga o`zgarsa, maksimumga egadir; agar ishorasini o`zgartirmasa, u holda ekstremum mavjud emas.
Funksiya minimumlarini topishda kritik nuqtalar yaqinda hosilaning ishorasini tekshirishni shu nuqtalarning o`zida ikkinchi tartibli hosilaning ishorasini tekshirish bilan almashtirish mumkin, ya’ni quyidagi teorema o`rinlidir.
4-teorema. Agar funksiya sonlar o`qi R1 da aniqlangan, uzluksiz va ikki marta differ rensiallanuvchi bo`lib, x0 nuqtada quyidagi shartlar:
(8)
bajarilsa, x0 nuqta f(x) funksiyaga nisbiy minimum beruvchi nuqta bo`ladi.
Isbot. Teylor formulasiga asosan (8) shartlarni nazarda tutib, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:
Shunday bo`lganda sonni kiritamizki,
bo`lganda
bo`lib, quyidagi
tengsizlik bajarilsin, bu esa x0 nuqtaning qaralayotgan funksiyamizga nisbiy minimum beruvchi nuqta ekanligini ko`rsatadi.
Misol. x0=0 nuqtaning
funksiyaga nisbiy minimum beradigan nuqta ekanligini ko`rsating.
4-teoremaning shartlari x0=0 nuqtada bajariladi:
Demak, x0=0 nuqta berilgan funksiyaga nisbiy minimum beruvchi nuqta ekan.
http://fayllar.org