Оптимальная регуляризация задачи вычисления производной в пространстве

Оптимальная регуляризация задачи вычисления производной в пространстве

1. 
   Пусть С ( ) –множество непрерывных на действительной прямой функций с нормой Предположим, что функция производная которой подлежит определению, задана с погрешностью т.е. фактически вместо известна некоторая функция для которой
   

Требуется построить последовательность (регуляризованное семейство приближенных решений), сходящуюся к по норме пространства и оценить погрешность
(5.21)
на множестве
(5.22)
Таким образом, мы имеем дело с неустойчивой задачей вычисления значений неограниченного оператора в пространствах и, следовательно, для ее решения необходимо применение методов регуляризации некорректно поставленных задач.
Этот принципиальный факт неустойчивости задачи необходимо учитывать при выборе алгоритмов численного дифференцирования. Так, например, в работах [42,160] на обширном числовом материале демонстрируется существенное преимущество (по точности) метода регуляризации Тихонова перед обычном методом центральных разностей. В последнее время получили широкое распространение алгоритмы численного дифференцированная, основанные на интерполяции сеточных функций(кубическими) сплайнами [2] и, в частности, регуляризованными сплайнами [109,193].
Построим оптимальный регуляризатор для задачи дифференцирования в пространстве для оператора а затем рассмотрим оптимальный по порядку метод регуляризации с гладким семейством приближенных решений.

2. 
   Итак, пусть множество задано соотношением (5.22) и
   

Теорема 1. Оператор при связи есть оптимальный регуляризатор задачи дифференцирования на множестве .
Доказательство. В работе [122] доказано, что для рассматриваемого случая задача В разрешима и

Причем существует экстремальный оператор

с нормой
Следствие. При любом способе получения приближенных решений
(5.23)
а при в (5.23) имеет место равенство.

Список литературы
2. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с пограничным слоем. Монография. - Воронеж: ВГУ, 1997. С. 59-68
42. Демидович В.Б. Восстановление функции и его производных по экспериментальной информации. В.кн.: Вычисл. Методы и программ. Вып.8. М., изд. МГУ, 1967. С. 96-102.

109. Михайлов Г.А., Войтишек А.В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. Учебное пособие для студентов вузов. — М.: Академия, 2006. — 368 с. — (Прикладная математика и информатика).

122. Ганенкова Е.Г., Амозова К.Ф. Задачи по функциональному анализу. Учебное пособие для студентов математического факультета. — Петрозаводск: ПетрГУ, 2012. — 103 с.

160. Gullum J. Numerical. Differentiation and regularization. –SIAM. J. Numer. Anal., 1967, 8, №2. P. 254-265.

193. Reinsh. C.H. Smoothing by spline functions.-number. Math., 1967,10, p. 177- 183.