Определение и примеры алгебры морфизмов фактор-алгебры план

Определение.



Свойства меры на кольце

1. 
   монотонность меры. Если А, В K и А В, то m(A)   m(B);
   
2. 
   если А, В К и А В, то m(B\A) = m(B)-m(A);
   
3. 
   если А, В K, то m(AB) = m(A)+m(B)-m(AB);
   
4. 
   если А, В K, то m(A B) =m(A)+m(B)-2m(AB);
   
5. 
   для любых множеств А, В K выполняется |m(A)-m(B)|  m(A B);
   
6. 
   для любых множеств А, В, С  K имеет место следующее неравенство: m (A B)  m(A C)+m(C B).
   

2. Определение множества (ограниченного) на числовой прямой, измеримого по Лебегу. Примеры измеримых по Лебегу множеств на прямой.

Пусть m – полная, счётно-аддитивная, конечная мера. Множество  называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств К, если выполняется равенство: 
Пусть  – некоторый фиксированный полуинтервал прямой,   – полукольцо, состоящее из полуинтервалов  . Пусть K – алгебра подмножеств, порождённая полукольцом S, каждый элемент которой имеет вид   причём полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца, т.е.  . Для произвольного множества  определим внешнюю меру  , где точная нижняя грань берётся по всем таким наборам полуинтервалов  , что  . Множество  называется измеримым по Лебегу, если  Таким образом, мерой Лебега  на отрезке называется лебеговское продолжение длины.
Примеры:
Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множества:

1. 
   множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера равна нулю;
   
2. 
   всякое не более чем счётное ограниченное множество точек прямой измеримо и его мера равна нулю;
   
3. 
   любой промежуток измерим и его мера равна его длине;
   
4. 
   любое ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо по Лебегу;
   
5. 
   любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.
   

3.