Operatorlar fazosi

Kompakt operatorlar
Oldingi bo‘limlarda ko‘rganimizdek, chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorlar matritsalar orqali to‘liq aniqlanadi. Lekin cheksiz o‘lchamli fazolarda chegaralangan chiziqli operatorlarni har doim ham bunday tavsiflash mumkin emas. Chekli o‘lchamli fazolardagi operatorlar sinfiga yaqin bo‘lgan operatorlar bu kompakt operatorlardir. Kompakt operatorlar funksional analizning juda ko‘p tatbiqlarida qo‘llaniladi, jumladan, integral tenglamalar nazariyasida keng qo‘llaniladi. Ta’rif. Agar X Banax fazosidagi chiziqli operator har bir chegaralangan to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda har bir chiziqli operator kompakt operatordir. Chunki bu fazolarda chiziqli operator chegaralangan to‘plamni chegaralangan to‘plamga akslantiradi va har bir chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir. Agar X Banax fazosidagi A chiziqli operatorning qiymatlari to‘plami R(A) chekli o‘lchamli bo‘lsa, u holda A chekli o‘lchamli operator deyiladi.
1. Agar A kompakt operator, B chegaralangan operator bo‘lsa, u holda AB va BA ham kompakt operator bo‘ladi. Yechimi. Aytaylik, S ⊂ X chegaralangan to‘plam bo‘lsin. A kompakt ekanligidan, A(S) nisbiy kompakt to‘plamdir. Nisbiy kompakt to‘plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi nisbiy kompaktligi va B operatorining uzluksizligidan, (AB)(S) = B(A(S)) to‘plam ham nisbiy kompaktdir. Demak, AB kompakt operator bo‘ladi. Xuddi shunday BA kompakt ekanligi kelib chiqadi. Agar {An} Banax fazosidagi kompakt operatorlar ketma-ketligi A operatoriga norma bo‘yicha yaqinlashsa, u holda A kompakt operator bo‘ladi. Yechimi. A operatorining kompaktligini isbotlash uchun X fazosidagi ixtiyoriy {x_n} chegaralangan ketma-ketlik olinganda, {Ax_n} ning yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligi mavjudligini ko‘rsatamiz. A₁ kompakt operator bo‘lganligidan, {Ax₁} ning yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligi mavjud.