Olmaliq filiali

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

ISLOM KARIMOV NOMIDAGI

TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI “OLMALIQ FILIALI”

• 
  Bajardi: Asadbek Piratov
  

GURUH 9 AS 20 TMJ
 

Olmaliq 2021

.Mavzu: Vektor tushunchasi. Vektorlar va ular ustida amallar.

Reja:

1. 
   Vektor haqida elementar tushunchalar
   
2. 
   Vektorlar yig’indisi
   
3. 
   Vektorlar ayirmasi
   
4. 
   Vektorning songa (skalyarga) ko'paytmasi
   
5. 
   Kollinear va komplanar vektorlar
   
6. 
   Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi
   
7. 
   Tekislikda vektorning koordinatalari va ular ustida amallar
   

Ta’rif : Yo’naltirilgan kesmaga vektor deyiladi. Yo’nalishga ega bo’lgan AB kesmani olamiz.


A
A nuqtaga vektorning boshi, B nuqtaga esa vektorning

oxiri deyiladi.

Vektor odatda bitta yoki ikkita harf bilan quyidagicha yoziladi:

1. 
   Ь, a, b, AB .
   

Fizika, mexanika, texnika kabilarda moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch, harakatdagi nuqtaning tezligi, tezlanish singari tushunchalar ko'p uchraydi. Bu tushunchalar faqatgina kattalikka emas, balki ular yo’nalishga ham egadirlar. Demak, bunday kattaliklarni ta’rifga asosan vektor kattalik yoki vektor deb qarash mumkin. Ba’zida vektor miqdor ham deyiladi.

Kattalikka ega bo'lib, uning yo’nalishi talab qilinmaydigan kattaliklarga skalyar kattalik , skalyar miqdor yoki qisqacha skalyar deb ataladi. Masalan, uzunlik,yuza, hajm,massa, temperatura kabilar skalyarga misol bo'la oladi.

Agar vektorning boshi va oxiri ustma-ust tushsa, bunday vektorga nol vektor deyiladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng bo'lib, u yo’nalishga ega emas.

Bunday vektor AA yoki 0 kabi belgilanadi. Chizmada nol vektor bitta nuqta bilan tasvirlanadi.

\a\ = a ko’rinishda


AB
Vektorning uzunligi uning moduli deb ataladi va

yoziladi. Moduli birga teng bo’lgan vektorga birlik vektor yoki ort deyiladi va

\e\ = 1 ko’rinishda yoziladi.


A

С
Agar ikkita a va b vektorlarning uzunliklari teng va yo’nalishlari bir xil bo'lsa, bunday vektorlarga teng vektorlar deyiladi va quyidagicha belgilanadi:

h

AB

CD

\a\

yoki

Vektorlar tengligi quyidagi xossalarga ega:


a = a
-Har qanday vektor o’ziga teng (refleksivlik sharti):

-Agar a vektor b vektorga teng bo’lsa, u holda b vektor a vektorga teng bo’ladi (simmetriklik), ya’ni й = b ,

-Agar a vektor b vektorga teng va b vektor c vektorga teng bo’lsa, a vektor С vektorga teng bo’ladi (tranzitivlik),ya’ni:

h

bo'lsa,

b

\Q\

= \a\ bo’ladi.

2. 
   Vektorlar yig’indisi
   

Ta’rif: Ikkita a va b vektorlarning yig’indisi deb a vektorning boshi bilan (b ) vektorning oxirini tutashtiruvchi С vektorga aytiladi:

a + b = с (1)

0

Vektorlarni bunday qo’shish usuliga uchburchak usuli deyiladi. Bunday atalishiga sabab, qo’shiluvchi va yig’indi vektorlar birgalikda uchburchakni hosil qiladi.

о

Vektorlarni qo’shishning yana bir usuli -parallelogramm usulidir. Bu usul boshi bir nuqtada yotgan hamda ular orasidagi burchak nolga teng bo’lmagan ikkita vektorni qo’shishda qo’llaniladi. Masalan, boshi ixtiyoriy 0 nuqtada bo’lgan

0 A = a va OB = 5 vektorlarni yasaymiz. О A va OB kesmalar orqali OAC.B parallelogramm yasaladi. Parallelogrammning О nuqtasidan o’tkazilgan diagonal a va b vektorlarning yig’indisi с vektor bo’ladi, chunki AC = О A = b hamda

OC = QA+AC.

Vektorlarni qo’shish qoidasi quyidagi xossalarga ega:

1°. й + S = B + й (o’rin almashtirish).

2°. (a + b) + V = a + (b + V) (gruppalash).

3⁰. Har qanday a va 0 lar uchun quyidagi o’rinli:

й+б = й.

4⁰. Qarama -qarshi a va a¹ (yoki AB va BA) vektorlar yig’indisi nolga teng ya’ni

a + a¹ =0 yoki AB + BA = 0.

2. 
   Vektorlar ayirmasi
   

Har qanday AB vektorga qarama-qarshi vektorni BA shaklda yozish mumkin. Shuningdek, a vektorga qarama-qarshi vektor - a ko’rinishda belgilanadi.

Qarama-qarshi vektorlar bir xil uzunlikka ega bo'lib, bir-biriga teskari yo’nalgan bo’ladi.

Agar AB = a deb olinsa, unga qarama-qarshi vektor BA = -a bo’ladi. U holda ulaming yig’indisi AB + BA = 0 yoki a + (-a) = 0 bo’ladi.

_f —*

Agar a va b vektorlar uchun |a| b shart bajarilsa hamda b ga qarama-


0
qarshi bo’lgan -b vektor mavjud bo’lsa, u holda, a bilan -b vektorlaming yig’indisi biror c vektordan iborat bo’ladi, ya’ni:







O

—*■ —► с = a + {-b) yoki a = a -b .

Demak, a-b =a + {-b). Bundan quyidagi xulosagakelishmumkin: a

vektordan b vektorni ayirish uchun a vektorga b ga qarama-qarshi bo’lgan -b vektorni qo’shish lozim.

Ta’rif: a vektor va at 0 haqiqiy sonning ko'paytmasi deb shunday с vektorga aytiladiki, bu vektorning uzunligi |c| = \A \ ■ \a\ dan iborat bo'lib, a> 0

bo’lganda a vektor bilan yo’nalishdosh, a< 0 bo’lganda esa a vektorga qarama- qarshi yo’nalgan bo’ladi. Vektorning songa ko'paytmasi с = a a ko’rinishda ifodalanadi.

Agar <2 = 0 yoki a = 0 bo’lsa, aa ko'paytma noaniq yo’nalishli nol vektorga aylanadi.

a vektorni a sonigako'paytirishning geometrik ma’nosi quyidagicha: a vektor a songa ko'paytirilganda й vektor a marta cho’ziladi. Cho’zilish a > 1

bo’lganda sodir bo’ladi. Bir xil yo’nalishiga ega bo’lib, 0 1 bo’lganda esa qisqarish yuzaga keladi, ammo a vektor bilan e - birlik vektorning ko'paytrmasi vektorni songa ko'paytirish ta’rifiga asosan a = \a\e dan iborat bo’ladi.

Bundan, e=^-a. (1)

\a |

Demak, a vektorga yo’nalishdosh bo’lgan e birlik vektorni topish uchun berilgan vektorni -¹. songa ko'paytirish kerak.

a

Vektorni songa ko'paytirish quyidagi xossalarga ega:

1°. Vektorni songa ko'paytirishning gruppalash qonuni: nifiaj= ijm^a 2⁰. Sonlar yig’indisining vektorga ko'paytirishning taqsimot qonuni:

4? + тГа = na + та.

3⁰. Son bilan vektorlar yig’indisini ko'paytirishning taqsimot qonuni:

n(/ + b = na + nb.

5. 
   Kollinear va komplanar vektorlar
   

Ta’rif: Agar ikkita a va b vektorlar o’zaro parallel yoki bir to’g’ri chiziqda yoki bo’lmasa parallel to’g’ri chiziqlarda yotsalar, bunday vektorga kollinear ektorlar deyiladi.

Noldan farqli, ya’ni uzunligi nolga teng bo’lmagan ikki a^; y^wa

b (x₂ ; y₂) vektorlar kollinear bo’lishi uchun ularning bir ismli (ya’ni x va x₂ hamda yi vay₂) koordinatalari o’zaro proporsional bo’lishi zarur va etarlidir:

^ = (1)

*2 У 2

^x\ У1

— = m va — = m deb olinsa,

*2 У 2

x_x = mx₂ va y_x = my₂. (2)

Bundan m>0 bo'lsa, a va b vektorlar bir xil yo’nalishda; m<0 bo’lsa bu vektorlar qarama-qarshi yo’nalgan bo’ladi.

Ta'rif: Bitta tekislikda yoki o’zaro parallel tekisliklarda yotuvchi vektorlarga komplanar vektorlar deyiladi.

Agar yuqoridagi shartlar bajarilmasa, vektorlarga komplanar bo'lmagan vektorlar deyiladi:

Bir tekislikda yoki o’zaro parallel tekisliklarda yotuvchi to’g’ri chiziqlarga komplanar to'g'ri chiziqlar deb aytiladi.

5. 
   Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi
   

Ta ’rif: Ikki a va b vektorning skalyar ko 'paytmasi deb, shu vektorlar uzunliklari hamda ular orasidagi burchakning kosinusi ko'paytmasiga teng bo’lgan

аБ= а-Б •cosa (1)

skalyar ko'paytmaga aytiladi. a - ikki vektor orasidagi burchak.

Agar ko'paytirilayotgan vektorlardan biri nolga teng bo’lsa, bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi noldan iborat bo’ladi.

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi ta’rifini bir vektorning ikkinchi vektorga tushirilgan proeksiyasiga nisbatan ham berish mumkin.

Ta’rif: Ikkita a' va b vektorning skalyar ko'paytmasi ulardan birining modulini ikkinchi vektorning birinchi vektordagi (va aksincha) proeksiyasiga ko'paytirilganiga teng, ya’ni:

ab = \a\pr_ab yoki ab = b pr_ba . (2)

Agar a va b vektorlar o’zaro teng bo’lsa, ularning skalyar ko'paytmasi quyidagicha bo’ladi:

Bunga a vektorning skalyar kvadrati deyiladi.

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi quyidagi xossalarga ega:

Reja: 2

2.Vektorlar yig’indisi 5

3.Vektorlar ayirmasi 7

5.Kollinear va komplanar vektorlar 8

6.Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi 9

7.Tekislikda vektorning koordinatalari va ular ustida amallar Tekislikning biror 0 nuqtasidan boshlab qo’yilgan 10

рг(й+Б)=pf&+pi%. (6) 11

a = xi +yj . (7) 11

Г ⁽T^; 11

3. 
   . a = 0 yoki b= 0 bo’lganda, yoki bo’lmasa, a _L b bo’lganda va faqat shu holdagina ab = 0.
   

5. 
   Tekislikda vektorning koordinatalari va ular ustida amallar Tekislikning biror 0 nuqtasidan boshlab qo’yilgan
   

N
o’zaro perpendikulyar i va j birlik vektorlar jufti berilgan bo’lsin.

Tekislikdagi bunday vektor jufti to ’g ’ri burchakli bazis deb yuritiladi. i *

(i, j) to’g’ri burchakli bazis hamda 0 boshlang’ich nuqta birgalikda - to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini tashkil

etadi. Bunda i va j vektorlar koordinata vektorlari, 0 nuqta - koordinatalar boshidan iborat.

0 nuqtadan x0y tekisligining ixtiyoriy nuqtasiga yo’naltirilgan ON vektor shu nuqtaning radius vektori deb nomlanib, quyidagicha belgilanadi: ON = f.

Radius- vektorning koordinata o’qlariga tushirilgan proeksiyalari prj = x _va pr/ = y (i)

lar vektorning koordinatalari deyiladi va bunday yoziladi:


Xb-Xa

0

X

A
ON = r = (x; y) (2)

Agar a = AB vektorning boshi

1. 
   nuqtada yotmasa, uning koordinatalar o’qidagi proeksiyalari