Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Nizomiy nomidagi Toshkent da

2.2To’plamlarni juft-jufti bilan sinflarga ajratish.

Agar aA, bВ bo’lib, (a; b) bo’lsa, u holda a element  munosabat yordamida b element bilan bog’langan deyiladi yoki  munosabat a va b elementlar uchun o’rinli deb yuritiladi va uni ab shaklda yoziladi. Mosliklarni , R, S, T… harflar orqali belgilanadi.
ab da  o’rnida =, //, ,   , … munosabatlar kelishi mumkin.

Misol. Ikkita a va b natural sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisini topish uch o’rinli (ternar) munosabat bo’ladi.

Quyida binar munosabat turlarini ko’raylik:

1. Refleksiflik munosabati.

Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a elementi uchun aa bajarilsa (bajarilmasa), u holda  ga A to’plamda aniqlangan refleksiv (antirefleksiv) munosabati deyiladi. Agar A to’plamning ba’zi bir a elementi uchun aa bajarilib, ba’zi bir b elementi uchun bb bajarilmasa, u holda  ga A to’plamdagi refleksifmas munosabat deyiladi.
Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamida aniqlangan “tenglik” munosabati refliksev, lekin “kichik” (“katta”) munosabati antirefliklsev munosabat bo’ladi.

2. Simmetrik munosabat.

Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a va b elemementlari uchun ab munosabatning o’rinli ekanligidan ba munosabatning ham o’rinli ekanligi kelib chiqsa,(kelib chiqmasa), u holda  ga A to’plamda aniqlangan simmetrik (semmitrikmas) munosabat deyiladi. Agar A to’plamdagi ixtiyoriy a va b elementlar uchun ab va ba munosabatlarning bajarilishidan a=b kelib chiqsa, u holda  ga A to’plamdagi antyisimmetrik munosabat deyiladi.

Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamida “tenglik” munosabati simmetrik, “kichik” (“katta”) munosabatga semmitrik munosabat emas, lekin “kichik emas” (“katta emas”) munosabati antisemmitrik munosabat bo’ladi.

3. Tranzitivlik munosabat.

Ta’rif: Agar A to’plamning ixtiyoriy a, b va c elementlari uchun ab va bc munosabatlarning o’rinli ekanligidan ac munosabatning o’rinli ekanligi kelib chiqsa (kelib chiqmasa), u holda  ga A to’plamdagi tranzitiv (tranzitivmas) munosabati deyiladi.

Masalan, R haqiqiy sonlar to’plamidagi “kichik” (“katta”) munosabati tranzitiv munosabat bo’ladi.

Endi akslantirish (funktsiya) tushunchasini o’rganaylik.

Ta’rif: A va B to’plamlar berilganda, A to’plamning har bir x elementi uchun xfy munosabatni qanoatlantiruvchi yagona yB element mavjud bo’lsa, u holda f moslikka akslantirish (funktsiya) deyiladi va u f:AB yoki y=f(x) ko’rinishlarda belgilanib A to’plam f akslantirishning aniqlanish sohasi deyiladi.

Misol. {(x; y): x, yN, y=x2} funktsiya bo’ladi.

Ta’rif: y=f(x) shartni qanoatlantiruvchi tartiblangan (x; y) juftliklar to’plami funktsiyaning grafigi deyiladi.

Ta’rif. Agar f:AB akaslantirishda A=B, yani f:AA bo’lsa, u holda f akslantyirish to’plamni o’z-o’ziga akslantiruvchi almashtirish deyiladi.

y=f(x) da y element x elementning obrazi (aksi), x element esa y elementning, ya’ni f(x) ning proobrazi (asli) deb yuritiladi.

Ta’rif: Agar B to’plamning har bir elementi asliga ega bo’lsa, u holda f:AB aklantirishga syurektiv (ustiga) akslantirish deyiladi.

Misol. f:xx2 moslik barcha haqiqiy sonlar to’plamini manfiymas haqiqiy sonlar to’plamiga aklantirish syurektiv akslantirish bo’ladi.

Ta’rif: Agar B to’plamning har bir elementi bittadan ortiq asliga (proobrazga) ega bo’lmasa, u holda bunday akslantirishga in’ektiv (ichiga) akslantirish deyiladi.

Ta’rif: Agar f:AB akslantirish bir vaqtda syurektiv va inektiv bo’lsa, u holda f akslantirish biektiv akslantirish deyiladi.

Ta’rif:. A to’plamning har x elementini yana shu x elementga o’tkazuvchi (akslantiruvchi) akslantirishga ayniy (birlik) akslantirish deyiladi va uni ea:AA orqali belgilanadi.

Refleksiv simmetrik o'tish munosabati ekvivalentlik munosabati deyiladi .

Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deb ataladi .

Antirefleksiv antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartibga solish munosabati deb ataladi .

To'liq antisimmetrik (har qanday uchun {\ displaystyle x, y}x, y amalga oshirildi {\ displaystyle xRy}xRy yoki {\ displaystyle yRx}yRx) o'tish munosabati chiziqli tartibli munosabat deyiladi .

Anti-reflektiv antisimmetrik munosabat dominantlik munosabati deb ataladi .

Binar munosabatlarning turlari

Teskari munosabat[ aniqlash ] (ga teskari munosabat{\ displaystyle R}R) juft elementlardan tashkil topgan ikki o‘rinli munosabatdir {\ displey uslubi (y, x)}(y, x)juft elementlarni almashtirish orqali olinadi {\ displey uslubi (x, y)}(x, y) bu munosabat {\ displaystyle R}R... Ko'rsatilgan:{\ displaystyle R ^ {- 1}}R ^ {{- 1}}... Bu munosabat va uning qarama-qarshiligi uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:{\ displey uslubi (R ^ {- 1}) ^ {- 1} = R}(R ^ {{- 1}}) ^ {{- 1}} = R...

O'zaro munosabatlar (o'zaro munosabatlar) - bir-biriga teskari munosabatlar. Ulardan birining diapazoni ikkinchisining diapazoni bo'lib xizmat qiladi va birinchisining diapazoni ikkinchisining diapazoni hisoblanadi.

Refleksiv munosabat - ikki tomonlama munosabat{\ displaystyle R}R, ba'zi bir to'plamda belgilangan va har qanday uchun xarakterlanadi {\ displaystyle x}x ushbu to'plam elementidan {\ displaystyle x}x munosabatda bo‘ladi {\ displaystyle R}R o'ziga, ya'ni har qanday element uchun {\ displaystyle x}x bu to'plam sodir bo'ladi {\ displaystyle xRx}xRx... Refleksiv munosabatlarga misollar: tenglik , bir vaqtdalik , o'xshashlik .ilik munosabat

Aloqalar bilan bog'liq muhim mantiqiy tushunchalarni ko'rib chiqing, xususan, geometriyaning har qanday aksiomatikasida qo'llaniladi.

To'plamlarning bevosita mahsuloti

Tartiblangan juftlik \ langle {x, y} \ rangle- ma'lum tartibda olingan ikkita element xva dan iborat to'plam y: element xjuftlikda birinchi, element yesa ikkinchi hisoblanadi. Ikki juft buyurdi \ langle {x_1, y_1} \ rangleva \ langle {x_2, y_2} \ rangledeyiladi teng bo'lsa va faqat x_1 = x_2va y_1 = y_2.

(Kartezyen) mahsulot silsilasini yo'naltirish Xva Ybarcha buyurgan juft majmuini \ langle {x, y} \ ranglebunday X ichida x \va Y ichida y \. To'g'ridan-to'g'ri mahsulot belgilanadi X \ marta Yva holatda Y = X- oddiygina X ^ 2, ya'ni. X \ marta X = X ^ 2...

Buyurtma qilingan uchlik, to'rtlik va boshqalar, shuningdek, uch, to'rt va hokazolarning bevosita mahsulotlari ham xuddi shunday aniqlanadi. to'plamlar. Misol uchun, to'g'ridan-to'g'ri mahsulot \ overbrace {\ mathbb {R} \ marta \ mathbb {R} \ marta \ cdots \ marta \ mathbb {R}} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ nsilsilasini \ mathbb {R}haqiqiy sonlar butun buyurdi fotoalbomlarda majmui hisoblanadi \ langle x_1, x_2, \ ldots, x_n \ ranglebo'lgan nreal sonlar x_1, x_2, \ ldots, x_n.
Misol B.1. Raqamli to'plamlar uchun X = \ {1; 2 \}va Y = \ {3; 4 \}toping: X \ marta Y, ~ Y \ marta X, ~ X ^ 2, ~ Y ^ 2.
Ekvivalentlik munosabati
To'plamdagi p ikkilik munosabat bu tartiblangan juftliklar X \ marta Yto'plamining kichik to'plamidir\ rho\ langle x, y \ rangle, X da ~ x \, Y da ~ y \ . Agar juftlik \ langle x, y \ ranglemunosabatlarga tegishli bo'lsa \ rho, unda \ langle x, y \ rangle \ in \ rhoyoki yozing x \, \ rho \, y. Agar bo'lsa Y = X, u holda munosabat \ rho, ya'ni. to'plamning kichik to'plamiga to'plamdagi ikkilik munosabatX ^ 2 deyiladi . XA ikkilik aloqa \ rhomajmui ustida Xdeb ataladi:- o'zlik, agar x \, \ rho \, xbiron uchun X ichida x \;

- simmetrik bo'lsa, agar uning qaysi X ichida x, y \biri x \, \ rho \, yuchu quyidagilar bo'lsa y \, \ rho \, x; - har X da x, y, z \biri uchun o'tishli bo'lsa x \, \ rho \, yva y \, \ rho \, zbundan keyin keladi x \, \ rho \, z.

To'plamdagi refleksiv, simmetrik va o'tish munosabati to'plamdagi ekvivalentlik munosabatiX deyiladi va belgi bilan belgilanadi . X\ sim

Misol B.2. Berilgan ikkilik munosabatlar:

a) munosabat = ~ (x = y" xteng y") haqiqiy sonlar to'plamida;

b) nisbat & lt; ~ (x & lt; y- " xkamroq y") haqiqiy sonlar to'plami bo'yicha;

v) munosabat \ leqslant ~ (x \ leqslant y- " xendi yo'q y") haqiqiy sonlar to'plami bo'yicha;

d) munosabat \ mathbf {B} ~ (x \ mathbf {B} y- " xbirodar y") odamlar to'plamiga;

e) munosabat \ sim ~ (M \ sim N- "ko'pburchak ko'pburchak Mkabi N") muntazam ko'pburchaklar to'plamida;

f) m = n \ pmod {p}butun sonlar to'plamiga munosabat : " mson son nmoduli bilan taqqoslanadip ", ya'ni. raqamlar bo'limi keyin Boqiy mva ntabiiy qator pteng.

Berilgan munosabatlarning refleksiv, simmetrik, tranzitiv, ekvivalent munosabatlar ekanligini aniqlang.

Yechim:

a) x = xHar qanday haqiqiy son xuchun munosabat =refleksli bo'lgani uchun. Yildan x = yu quyidagicha y = x, nisbati simmetrik bo'ladi. Chunki tengliklardan x = yvay = z bundan kelib chiqadiki x = z, munosabat o'tish davridir. Demak, tenglik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.

b) “kam” munosabati refleksiv emas (tengsizlik x & lt; xnoto‘g‘ri) va simmetrik (u x & lt;yergashmaydi, y & lt; xbalki o‘tish xususiyatiga ega (chunki tengsizliklar x & lt;yvay & lt;z bo‘lishi kerak x & lt;z)) Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas.

c) “Endi yo‘q” nisbati refleksiv (tengsizlik x \ leqslant xhar qanday haqiqiy sonlar uchun to‘g‘ri) va o‘tishli (tengsizlik x \ leqslant yva y \ leqslant zkerak x \ leqslant z), lekin simmetrik emas (masalan, 1 \ leqslant 2shuni anglatmaydi).2 \ leqslant 1 ). Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas.

d) "Birodarlik" munosabatlari refleksiv emas (har qanday shaxs o'zi uchun birodar emas), simmetrik (agar xuka bo'lsa y ~ (x \ mathbf {B} y), u holda yaka x ~ (x \ mathbf {B} y)noto'g'ri, chunki u yuchun opa-singil bo'lishi mumkin x), o'tishli. (masalan, agar uch kishi uchun x, y, zbizda x \ mathbf {B} yva bo'lsa y \ mathbf {B} z, unda bu erga kelmaydi x \ mathbf {B} z, chunkiz uchun opa-singil bo'lishi mumkin x). Bu munosabat ekvivalentlik munosabati emas.

e) Har bir ko'pburchak o'ziga o'xshaydi M \ sim M. Demak, o'xshashlik munosabati refleksivdir. Ko'pburchaklarning o'xshashligidan M \ sim Nkelib chiqadiki, N \ sim Mnisbat simmetrikdir. Ko'pburchaklarning o'xshashligi tufayli M \ sim Nva N \ sim Kbundan kelib chiqadiM \ sim K , munosabat o'tishli. Demak, ko‘pburchaklarning o‘xshashlik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.

f) qiyoslash m = n \ pmod {p}shartga teng: farq mnTo‘plamni ekvivalentlik sinflariga bo‘lish