Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Nizomiy nomidagi Toshkent da

II. Munosabatlarning xossalari

2.1Ekvivalentlik munosabati.

X to‘plam elementlari orasidagi R munosabat Dekart ko‘paytmaning har qanday qism to‘plami, ya’ni elementlari tartiblangan juftliklar to‘plami bo‘lganligi uchun munosabatlarning berilish usullari to‘plamlarning berilish usullari bilan bir xil bo‘ladi.

1. X to‘plamdan olingan va shu munosabat bilan bog‘langan barcha elementlar juftliklarini sanab ko‘rsatish bilan berish mumkin. Masalan, X={4,5,6,8} to‘plamdagi biror munosabatni quyidagi juftliklar to‘plamini yechish bilan berish mumkin: {(5,4), (6,5)}. Shu munosabatning o‘zini yana graflar bilan berish mumkin.

2. Ko‘pincha X to‘plamdagi R munosabat shu R munosabatda bo‘lgan barcha elementlar juftliklarining xarakteristik xossasini ko‘rsatish bilan beriladi. Masalan, “x soni y sonidan katta”, “x soni y sonidan 10 marta kichik” va h.k. Sonlar uchun “katta” munosabati x>y, x soni y sonidan 10 marta kichik munosabati y=10x ko‘rinishda, parallellik va perpendikulyarlik munosabatlari x ∕ ∕ y, xy ko‘rinishda yoziladi.

Boshlang‘ich matematikada katta e’tibor sonlar orasidagi munosabatlarga qaratiladi. Ular turlicha beriladi: qisqa shaklga ega (“katta”, “…marta katta”, “…ta kam”) bo‘lgan ikki o‘zgaruvchili jumlalar yordamida beriladi.

3. Munosabatlarning xossalari.

1. Refleksivlik. Agar X to‘plamdagi ixtiyoriy element haqida u o‘z-o‘zi bilan R munosabatda deyish mumkin bo‘lsa, X to‘plamdagi munosabat refleksiv munosabat deyiladi va xRx ko‘rinishda yoziladi. Masalan, parallellik va tenglik munosabatli refleksivlik xossasiga ega: a ∕ ∕b bo‘lsa, b ∕ ∕a bo‘ladi, a=b bo‘lsa, b=a bo‘ladi. Ularning graflarida sirtmoqlar bo‘ladi.

2. Simmetriklik. Agar X to‘plamdagi x element y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y elementning ham x element bilan R munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, x to‘plamdagi R munosabat simmetrik munosabat deyiladi. Buni qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan, parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari simmetriklik xossasiga ega simmetriklik munosabatning grafida x dan y ga boruvchi har bir strelka bilan birga, graf y dan x ga boruvchi strelkaga ham ega bo‘ladi.

3. Antisimmetriklik. Agar x to‘plamning turli x va y elementlari uchun x element y element bilan R munosabatda bo‘lishidan y elementning x element bilan R munosabtda bo‘lmasligi kelib chiqsa, x to‘plamdagi R munosabat antisimmetrik mundeyiladi. Bu qisqacha va ko‘rinishda yoziladi. Masalan, “uzunroq” munosabati antisimmetrik munosbat bo‘ladi. Masalan, a kesma b kesmadan uzunroq bo‘lishidan b kesma ham a dan uzunroq bo‘lishi kelib chiqmaydi.

Antisimmetrik munosabat grafining ikkita uchi strelka bilan tutashtirilgan bo‘lsa, bu strelka yagona bo‘ladi.

4. Tranzitivlik. Agar X to‘plamdagi x elementning y element bilan R munosabatda bo‘lishi va y elementning z element bilan R munosabatda bo‘lishi kelib chiqsa, X to‘plamdagi R munosabat tranzitiv munosabat deyiladi. Buni qisqacha va ko‘rinishda yoziladi.

Tranzitiv munosabatning grafi x dan y ga va y dan z ga boruvchi har bir strelkalar juftligi bilan birga x dan z ga boruvchi strelkaga ham ega. Masalan, “x kesma y kesmadan uzunroq” munosabat

1 - m i s o l . {< 2,4 >,< 5,6 >,< 7,6 >,< 8,8 >} tartiblangan juftliklar to'plami binar munosabatdir.

2- m i s o l . Agar p ayniyat munosabatini bildirsa, u holda < x , y > e p yozuv x = у ayniyatni bildiradi.

3- m i s o l . Agar p onalik munosabatini bildirsa, u holda e p yozuv Xurshida Irodaning onasi ekanligini bildiradi.

4- m i s o l . Ternar munosabatga butun sonlar to'plamida aniqlangan qo'shish amalini misol qilib keltirsa bo'ladi. Bundan keyin binar munosabat atamasi o'rnida, qisqalik uchun, munosabat atamasini ishlatamiz.

3- t a ’ r i f . Agar p biror munosabatni ifodalasa, и holda < X,у > e p va x p у ifodalar o ‘zaro almashuvchi ifodalar deb ataladi. x p у ifoda (yozuv) “infiks yozuvi” deb yuritiladi va “ x (predmet) у (predmet)ga nisbatan p munosabatda” deb o'qiladi. Odatdagi x = y , x < y , x у belgilashlar (yozuvlar) x p y ifodadan kelib chiqqan deb hisoblash mumkin.

{ x /x e A} yozuvni, to'plamlar nazariyasidagi kabi, “shunday xlar to'plamiki, x e A ” deb tushunamiz.

4- t a ’ r i f . { x I ayrim у uchun < x, у > £ p ) to'plam p munosabatning aniqlanish sohasi deb ataladi va D p kabi belgilanadi.

5- t a ’ r i f . { у / ayrim x uchun < x ,y > £ /?} to'plam p munosabatning qiymatlar sohasi deb ataladi va Rp kabi belgilanadi.

Boshqacha qilib aytganda, p munosabatning aniqlanish sohasi shu p munosabatning birinchi koordinatalaridan tashkil topgan to'plamdir, ikkinchi koordinatalaridan tuzilgan to'plam esa, uning qiymatlar sohasidir.

5- m i s o l . {< 2,4 >,< 3,3 >,< 6,7 >} ko'rinishdagi p munosabat

berilgan bo'lsin. U holda D p = {2,3,6}, Rp = {4,3,7}. Tartiblangan juftliklar to'plami tushunchasidan foydalanib, Dekart

ko'paytmasini (ushbu bobning 4- paragrafiga qarang) boshqacha ham aniqlash mumkin. Agar x biror X to'plamning elementi, у esa Y to'plamning elementi bo'lsa, u holda tartiblangan »> juftliklar С to'plami X va Y to'plamlarning Dekart ko'paytmasi deyiladi:

С = X x Y = {< x ,y > / x e X , y e Y}. Har bir p munosabat X X Y to'g'ri ko'paytmaning qism to'plami bo'ladi va X D p , Y 3 Rp .

6- t a ’ r i f . Agar p c z X x Y bo'lsa, и holda p shu X dan Y ga bo'lgan munosabat deb ataladi.

7- t a ’ r i f . Agar p с X x Y va Z ID X [ j Y bo ‘Isa, и holda p dan Z ga bo ‘Igan munosabat deb ataladi.

8- t a ’ r i f . Z dan Z ga bo'lgan munosabat Z iehidagi munosabat deb ataladi.

9- t a ’ r i f . X to'plam iehidagi X x X munosabat X iehidagi universal munosabat deb ataladi.

10- t a ’ r i f . {< x, x > / x e X } munosabat X iehidagi ayniyat munosabati deb ataladi va ix yoki i simvoli bilan belgilanadi. Ixtiyoriy X to'plamning x va у elementlari uchun xixy ifoda x = у bilan teng kuchlidir. {< x ,у > e R x R / у < x} shaklda ifodalash mumkin.
2. Ekvivalentlik munosabati. Munosabatlar turli xossalarga egabo'lishi mumkin. Matematikada quyidagi 12- ta’rifda ko‘rsatilgan uchta xossaga ega boigan munosabatlar ko‘p uchragani uchun ularga maxsusnom berilgan.

12-t a ’ r i f . X to'plamning ixtiyoriy x elementi uchun: agar x p x bo ‘Isa, и holda p munosabat X to ‘plamdagi refleksiv

munosabat; agar x p у dan у p x kelib chiqsa, и holda p munosabat simmetrik munosabat; agar x p у va у p z dan x p z kelib chiqsa, и holda p munosabat tranzitiv munosabat deb ataladi.

13- t a ’ r i f . Agar biror to'plamdagi munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitivlik xossalariga ega bo'lsa, и holda bunday munosabat shu to ‘plamdagi ekvivalentlik munosabati deb ataladi. Agar p munosabat X to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsa, u holda Dp = X bo'lishi ravshandir. o'xshashlik munosabati.

3. Butun sonlar to'plamidagi n modul bo'yicha taqqoslash munosabati.

4. O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamidagi “bir uyda yashovchilar” munosabati. Ekvivalentlik munosabati ushbu asosiy xususiyatga ega: u to'plamni kesishmaydigan qism to'plamlarga bo'ladi. Masalan, 7- misolning 4- bandidagi “bir uyda yashovchilar” munosabati O'zbekiston Respublikasida yashovchi odamlar to'plamini bir-biri bilan kesishmaydigan “bir uyda

yashovchilar” va “qolganlar” qism to'plamlariga bo'ladi. Bu aytilganlami quyidagicha umumlashtirish mumkin.

14- t a ’ r i f . p biror X to'plamdagi ekvivalentlik munosabati bo'lsin. Agar X to'plamning A qism to'plamida shunday x element topilib, A = {y / x p y } bo ‘Isa, и holda A qism to 'plam ekvivalentlik

sinfi yoki ekvivalentlik p -sin/i deb ataladi. Keltirilgan ta’rifga asosan X to'plamning A qism to'plami ekvivalentlik sinfi bo'lishi uchun X to'plamning Л = ;р [{.*}] tenglikni qanoatlantiruvchi x elementi mavjud bo'lishi yetarli va zarurdir. Agar p

munosabat to'g'risida hech qanday shubha fag'ifmaydigan bo'lsa, u holda X to'plamdagi x elementlarning p -obrazlari to'plami [x] slhaklrda belgilanadi (ya’ni p[{x}] = [x]) va bu to'plam x yuzaga keltirgan 1‘kvivak‘ntlik sinfi deb ataladi. Ekvivalentlik sinfi quyidagi ikki xususiyatga ega:

1) X e [x] - bir sinfning hamma elementlari o'zaro ekvivalentdir;

2) agar x p у bo'lsa, u holda [x] = [ j'] .

1) xossa ekvivalentlik munosabatining refleksivlik xususiyatidan kelib chiqadi.

2) xossani isbotlaymiz. x p у bo'lsin, ya’ni x element у elementga ekvivalent bo'lsin, u holda [у] с [x ]. Haqiqatan ham, z 6 [j^] (ya’ni, y p z ) munosabatdan va x p z bo'lganligi uchun, p munosabatning

tranzitiv xususiyatiga asosan, x p z kelib chiqadi, ya’ni z e [ x \ . Ekvivalentlik munosabatining simmetriklik xossasidan foydalanib, [x] с [у] bo'lishini isbot qilish mumkin. Demak, [x] [ y ]Ma’lumki, A to‘plamda aniqlangan R binar munosabat simmetrik munosabat bo‘lishi uchun R = R–1 shartning bajarilishi, ya’ni R munosabat uning teskarisiga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. 4.7-Ta’rif. Agar har doim (a,b)R va (b,a)Rekanligidan a=b ekanligi kelib chiqsa, R munosabat antisimmetrikbinar munosabat deyiladi. 4.8-Ta’rif. Agar (a,b)R va (b,c)R shartlar o‘rinli bo‘ladigan ixtiyoriy a,b,cA elementlar uchun (a,c)R shart ham o‘rinli bo‘lsa, A to‘plamda aniqlangan R binar munosabat tranzitiv munosabatdeyiladi. A to‘plamdagi R binar munosabat tranzitiv munosabat bo‘lishi uchun RRR shartning bajarilishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi. Binar munosabatlarning muhim turi sifatida ekvivalentlik munosabatini keltirish mumkin. 4.9-Ta’rif. AgarA to‘plamda aniqlangan R binar munosabat bir vaqtning o‘zida refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lsa, u holda R munosabatga ekvivalentlik munosabatideyiladi. 4.1-Teorema. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda aniqlangan ihtiyoriy R ekvivalentlik munosabati A to‘plamni o‘zaro kesishmaydigan sinflarga ajratadi va aksincha, A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan sinflarga bo‘lingan bo‘lsa, u holda A to‘plamda berilgan bo’linishlarga mos keluvchi ekvivalentlik munosabati aniqlash mumkin.

29 Isbot. Aytaylik A to’plamda R ekvivalentlik munosabati aniqlangan bo’lsin. Ixtiyoriy aA element uchun R[a]={xA|(a, x)R} to’plamni aniqlaymiz. R refleksiv bo’lganligi uchun aR[a], ya’ni aniqlangan to’plam bo’sh emas. Ushbu to’plamlar A to‘plamda o‘zaro kesishmaydigan sinflarni hosil qilishini ko’rsatamiz. Aytaylik, R[a] va R[b] to’plamlar umumiy elementga ega bo’lsin. U holda zR[a]∩R[b], ya’ni zR[a] va zR[b]. Bundan esa (a, z)R va (b, z)R ekanligini hosil qilamiz. Ixtiyoriy xR[a] element olaylik, u holda (a, x) R. Agar (a,z)R ekanligi, hamda R munosabatning simmetrik va tranzitivligidan foydalansak, (z, a) R, (a, x) R ekanligini, bundan esa (z, x) R bo’lishini hosil qilamiz. (b, z) R ni hisobga olib esa (b,x)R ni olamiz. Bu esa xR[b] ekanligini anglatadi. Demak, R[a] R[b]. Xuddi shunga o’xshash R[a] R[b] ekanligini, ya’ni R[a] = R[b] ni hosil qilamiz. Bu esa R[a] o’zaro kesishmaydigan sinflar ekanligini anglatadi. Va aksincha, agar A to’plam o’zaro kesishmaydigan sinflarning birlashmasi shaklida ifodalangan bo’lsa, R munosabatni quyidagicha aniqlaymiz. Agar a va b elementlar bitta sinfga tegishli bo’lsa, ularni R binar munosabat orqali bo’g’langan deymiz. Ravshanki, bu R munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi. ±Agar biror A to‘plam R ekvivalentlik munosabati yordamida o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlarga bo‘lingan bo‘lsa, ana shu qism to‘plamlarni ekvivalentlik sinflar deb ataymiz. A ning bu ekvivalentlik sinflar to‘plamini A/R kabi belgilanadi va A/R to’plam faktor-to‘plam deb ataladi. 30 n ta elementli A to’plamda aniqlangan barcha ekvivalentlik

Ta’rtif: Bo’sh bo’lmagan A va B to’plamlarda A to’plam elementlarini birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar to’plamiga A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi va u AxB ko’rinishda belgilanadi.

Ta’rifga ko’ra AxB={(x;y)/xA, yB} bo’ladi. Tartiblangan (x; y) juftlikni uzunligi teng ikkiga bo’lgan kortej ham deyiladi. Uzunligi n ga teng bo’lgan kortej deganda tartiblangan (a1, a2,..., an) belginin tushinamiz. Agar ikkita kortejning uzunliklari va mos komponentalari o’zaro teng bo’lsa, u holda bu kortejlani teng deyiladi.

Misol. A={1, 2, 3}, B={4, 5} bo’lsa u holda AxB={(1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5)} bo’ladi.

Agar A to’plamda m ta B to’plamda n ta element bo’lsa, u holda AxB to’g’ri ko’paytmada mn ta element bo’ladi.

Ta’rif: Har qanday A1, A2, ... An to’plamlar berilgan bo’lsa, u holda A1xA2x…xAn dekart ko’paytmaning ixtiyoriy W qism to’plami shu to’plamlar elementlari orasida aniqlangan n o’rinli moslik, n ga esa shu W moslikning rangi deyiladi.

Xususiy holda A1=A2=…=An=A bo’lsa, u holda W moslik A to’plamdan aniqlangan munosabat deb yuritiladi.

bo’lib An={(x1, x2,…, xn)|xiA (i=)} bo’ladi.

Dekart ko’paytma kommutativ emas.

Ta’rif: AxB dekart ko’paytmaning ixtiyoriy  qism to’plamiga A va B to’plam elementlari orasida aniqlngan binar (ikki o’rinli) munosabat deyiladi.